1、第四节平面向量应用举例三年12考高考指数:1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点，也是热点.2.以向量为工具解决平面几何问题是难点.3.三大题型均可能出现，客观题，主要考查向量的基础知识，与三角函数、解析几何综合的题目主要以解答题出现，难度中档偏上.1.向量在平面几何中的应用(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧线平行、点共线、相似问题利用共线向量定理：ab
2、_垂直问题利用数量积的运算性质：ab_夹角问题利用夹角公式：(为a、b的夹角)a=b(b0)ab=0(3)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题【即时应用】判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”)若，则三点A、B、C共线.()在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形.()在ABC中，若=0，则ABC为直角三角形.()在四边形ABCD中，边AB与CD为对边，若，则此四边形为平行四边形.()【解析】因共始点A，且，故正确；B为锐角，不能判断ABC的形状，故不正确；B为直角，故正确；,AB DC,故正确.答案：2.平面向量在物理中的应用(1)由于物
3、理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的_相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积.即W=Fs=|F|s|cos(为F与s的夹角).加法和减法【即时应用】(1)已知两个力F1、F2的夹角为90，它们的合力F的大小为10N，合力与F1的夹角为60,那么F1的大小为_.(2)如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为_N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为_.【解析】(1)如图所示.|F1|=|F|cos60=10=5(N).(2)F1=(2,3),F2=(3,1)，合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),合
4、力的大小为答案：(1)5N (2)(5，4)向量在平面几何中的应用【方法点睛】平面几何问题的向量解法平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a|可以求线段的长度，利用(为a与b的夹角)可以求角，利用ab=0可以证明垂直，利用a=b(b0)可以判定平行.【提醒】向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别，例如：向量并不能说明直线ABCD.【例1】(2011天津高考)已知直角梯形ABCD中，ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则|的最小值为_.【解题指南】以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数表示出点P、C、B、A的坐标，进而表示出|，然后转化为函
5、数问题求解.【规范解答】建立平面直角坐标系如图所示.设P(0,y),C(0,b)，则B(1,b),A(2,0),则=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).|2=25+(3b-4y)2(0yb),当y=b时，|最小，|min=5.答案：5【反思感悟】平面几何问题的向量解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.这种解题方法具有普遍性，应该把它掌握好.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.向量在三角函数中的应用【方法点睛】平面向量与
6、三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)三角函数借助向量运算得到关系式的命题形式和解题思路是：一般题目条件给出向量，其中的坐标中含有三角函数的形式，然后给出向量的运算规则，或共线或垂直或等式成立等，按照规则得到三角函数的关系式，然后考查化简恒等变形，考查三角函数的图象性质.(2)平面向量借助三角函数的有界性求值域问题的命题形式和解题思路是：一般给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域.【例2】(1)已知向量x0,则函数g(x)=|a-b|的值域为_.(2)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a
7、、b、c，向量q=(cos2A,2sinA),且pq.求sinA的值；若b=2,ABC的面积为3，求a.【解题指南】(1)利用向量的基本运算写出关于x的函数，然后求出值域.(2)利用pq列出关于sinA的方程；由sinA,b及SABC=bcsinA可求出c，再由余弦定理求a.【规范解答】(1)|a|=1，|b|=1，x0,，g(x)=|a-b|=2sinx，x0,，g(x)0,2.答案：0,2(2)pq,cos2A=(1-sinA)2sinA,6(1-2sin2A)=7sinA(1-sinA),5sin2A+7sinA-6=0,sinA=.(sinA=-2舍)由SABC=bcsinA=3,b=
8、2,得c=5,又a2=b2+c2-2bccosA=4+25-225cosA=29-20cosA,当cosA=时,a2=13,a=当cosA=-时，a2=45,a=【反思感悟】1.该类题的解题关键把向量关系转化为向量的运算，再进一步转化为纯三角函数的运算，即该类题的解题关键是“转化思想方法的应用”.2.向量在该类题中的作用向量作为载体，通过向量间的平行、垂直关系转化为三角函数运算.平面向量在解析几何中的应用【方法点睛】向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关
9、距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用abab=0,ab a=b(b0),可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.【例3】已知两点M(-1,0),N(1,0)，且点P使成公差非负的等差数列.(1)求点P的轨迹方程;(2)若为的夹角，求的最大值及此时点P的坐标.【解题指南】(1)设P(x,y),直接求点P的轨迹方程;(2)先求出cos的范围，再求的最大值.【规范解答】(1)设点P坐标为(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),=(2,0),=2(1-x),=x2+y2-1,=2(1+x)，依题意
10、得点P的轨迹方程为x2+y2=3(x0).(2)=(-1-x,-y)(1-x,-y)=x2+y2-1=2,0 x ,cos1,0 .的最大值为,此时x=0,点P的坐标为(0,).【反思感悟】1.向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算.2.相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握.【易错误区】忽视对直角位置的讨论致误【典例】(2012烟台模拟)已知平面上三点A、B、C，=(2-k,3),=(2,4).(1)若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，求k的值.【解题指南】(1)三点A、B、C不能构
11、成三角形，即A、B、C三点共线.(2)对A、B、C谁为直角顶点进行分类讨论.【规范解答】(1)由三点A、B、C不能构成三角形，得A、B、C在同一直线上，即向量平行，,4(2-k)-23=0,解得k=.(2)=(k,1).ABC为直角三角形，则当BAC是直角时，2k+4=0，解得k=-2;当ABC是直角时，k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1;当ACB是直角时，16-2k=0，解得k=8.综上得k-2,-1,3,8.【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到如下误区警示和备考建议：误区警示解答本题易出现以下两个错误：(1)由于思维定势误认为A一定是直角，从而使解答不完整.(2)混淆向
12、量坐标运算中垂直与平行的充要条件导致错误.备考建议建议在学习平面向量的应用时，要高度关注：(1)加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题，考虑问题要全面.(2)要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或垂直的坐标运算等.1.(2012福州模拟)若的模相等，则四边形ABCD是()(A)平行四边形(B)梯形(C)等腰梯形(D)菱形【解析】选C.四边形ABCD为等腰梯形.2.(2012厦门模拟)如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值等于()(A)2 (B)0 (C)-1 (D)-2【解析】选D.=-23.(2012南平模拟)如图，在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若=2，则的夹角等于_.【解析】而在等腰ABC中，作底边的高CD，则在RtACD中由已知边长可得设的夹角为，从而cos=,又0,=.答案：4.(2012福建师大附中模拟)如图，已知ABO中，点C为线段AB中点，点D是线段OB上的点，且AD和OC交于点E，设(1)用a,b表示向量；(2)若求实数m,n的值.【解析】(1)C为AB中点，(2)在OEA中，即
