1、第三节 平面向量的数量积内 容要 求ABC平面向量的数量积平面向量的平行与垂直三年3考高考指数:非零向量0180同向反向垂直【即时应用】(1)已知正三角形ABC的边长为1，则 方向上的投影为_.(2)已知则向量的夹角等于_.【解析】(1)方向上的投影为(2)且0180,=60.答案：2.平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量为向量的夹角.结论几何表示坐标表示模数量积夹角x1x2+y1y2=0【即时应用】(1)思考：若是否说明向量的夹角为钝角？提示：不一定，也可能是平角.(2)已知判断下列命题的真假.(请在括号内填“真”或“假”)()若为向量()若()()【解析】答案：真 真 真 真【即时
2、应用】(1)思考：相等吗？提示：不一定相等，均为实数，不一定相等.(2)若非零向量满足则的夹角为_.【解析】设的夹角为，答案：120平面向量数量积的运算【方法点睛】1.平面向量的数量积题目类型及求法(1)已知向量的模及夹角，利用公式求解；(2)已知向量的坐标，利用数量积的坐标形式求解.2.利用数量积求解长度问题常借助的式子【例1】(1)(2011大纲版全国卷改编)设向量满足(2)(2011湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设(3)(2011辽宁高考改编)已知向量【解题指南】(1)借助求解；(2)用基向量表示向量(3)借助进而求【规范解答】答案：(2)由题意画出图形如图所示，取基底结合图形
3、可得答案：BACDE(3)由得k=12,答案：-140【反思感悟】数量积运算的两种形式平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角；二是利用坐标来计算.对于第一种形式，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.平面向量的垂直问题【方法点睛】两向量垂直的判断方法及应用(1)若为非零向量，则若非零向量(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题.【例2】已知若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向
4、量【解题指南】设出向量列出方程组，求出【规范解答】方法一：设向量由题意可知,从而有：所以方法二：设向量所以向量相互垂直的单位向量，即有解得【反思感悟】坐标形式下的向量垂直利用向量的坐标运算表示向量的垂直关系，优点在于将向量的几何特征转化为代数特征，运算过程也就代数化，从而降低了思维难度，在进行向量的运算时，若能建立坐标系使用坐标运算，应尽量采用坐标运算.平面向量的夹角的求法【方法点睛】求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义其中两向量夹角的范围为0180，求解时应求出三个量：或者找出这三个量之间的关系.(2)利用坐标公式，若则(3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中，利用正、余弦
5、定理，三角形的面积公式等求解.【提醒】即是为锐角(钝角)的必要而不充分条件.【例3】(1)(2011湖北高考改编)若向量则的夹角等于_.(2)(2011浙江高考)若平面向量满足且以向量为邻边的平行四边形的面积为则的夹角的取值范围是_.【解题指南】(1)先求出的坐标，再用夹角的坐标公式求夹角.(2)利用平行四边形的面积可得出sin的范围，进而求出夹角的范围.【规范解答】(1)设的夹角为,答案：(2)由可得，答案：【反思感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cos,进而求，要注意0,.【满分指导】平面向量主观题的规范解答【典例】(14分)(201
6、1陕西高考)叙述并证明余弦定理.【解题指南】利用向量数量积证明，由把展开利用代入，即可证明.【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.或：在ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，有b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.4分证明：如图，【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)余弦定理用文字语言叙述不完整、不规范，用符号语言表述时三个只写一个.(2)用证明时计算失误.备考建议解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易
7、造成失分,在备考时要高度关注：(1)公式记错(2)对向量的夹角理解错误(3)混淆向量平行与垂直的充要条件另外熟练掌握数量积问题的常见求法，才能快速正确地解决平面向量的数量积问题.1.(2011江苏高考)已知的两个单位向量，则实数k的值为_.【解析】答案：2.(2011重庆高考改编)已知向量且与共线，那么=_.【解析】解得答案：43.(2011广东高考改编)若非零向量满足且则【解析】答案：04.(2011辽宁高考改编)若均为单位向量，且的最大值为_.【解析】得又均为单位向量，得故的最大值为1.答案：15.(2011上海高考)在正三角形ABC中，D是BC上的点.若AB=3，BD=1，【解析】答案：
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