1、第九节 正弦定理、余弦定理的应用内 容要 求ABC正弦定理、余弦定理及其应用三年2考高考指数:1.实际问题中的有关概念及常用术语基线仰角和俯角在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线.在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图）.铅垂线视线水平线视线仰角俯角方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的角，如B点的方位角为（如图）.东西北南B方向角相对于某一正方向的水平角（如图）北偏东：指北方向顺时针旋转到达目标方向.东北方向：指北偏东45或东偏北45.其他方向角类似.东北北偏东目标坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h与水平宽度b的
2、比即i=tan（其中为坡角）叫做坡比（如图）.坡角bh视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角（如图）.观测目标，即为视角视线视线BAO【即时应用】(1)思考:仰角、俯角、方位角有什么区别？提示:三者的参照不同仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.(2)思考:如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示:利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可惟一确定一点的位置.(3)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的_方向.【解析】由已知ACB180406080，又ACBC，A
3、ABC50，605010.灯塔A位于灯塔B的北偏西10方向.答案：北偏西102.解三角形应用题的一般步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.(3)选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.【即时应用】(1)已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得ABC=120，则A、C两地的距离为_km.(2)如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为6
4、0和30，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为_米.【解析】(1)如图所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-21020cos120=700，(2)设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则在ABC中，所以ACB30，由正弦定理，得故h30米.答案：测量距离的问题【方法点睛】求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【例1】(1)如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下
5、列四组数据，不能确定A、B间距离的有_.，a，b ，aa，b，b(2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则这条河的宽度为_.(3)隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距的C、D两点，同时，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A、B、C、D在同一平面内)，则两目标A、B之间的距离为_.【解题指南】(1)判断由题中条件能否惟一确定三角形即可；(2)作出高线可直接应用直角三角形的边角关系求得；(3)确定好三角形利用正弦定理和余弦定理解三角形求得.【规范解答】(1)当已知a,b时不能惟一确定三角形解的情况
6、，故不能确定AB的距离.答案：(2)如图，在ABC中，过C作CDAB于D点，则CD为所求宽度，在ABC中，CAB30，CBA75，ACB75，ACAB120 m.在RtACD中，CDACsinCAD120sin3060(m)，因此这条河宽为60 m.答案：60 m(3)如图所示，在ACD中，ADC30，ACD120，CAD30，在BDC中，CBD180457560.由正弦定理可得在ABC中，由余弦定理可得AB2AC2BC22ACBCcosBCA，即两目标A、B间的距离为答案：【反思感悟】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.(2)利用正、余弦定理解出
7、所需要的边和角，求得该数学模型的解.测量高度问题【方法点睛】高度问题的处理方法在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角是一个关键在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.【例2】(2012淮安模拟)如图，为了测量山顶上的电视塔PQ的高度，有一组同学设计出如下方法：在A处,测得塔顶P的仰角为,塔底的仰角为,由A处向山脚下方向前进t米到达B处,测得塔顶的仰角为,试求塔高PQ.(用、t
8、表示)【解题指南】充分利用已知条件，在ABP中，求出AP的长度，然后在APQ中应用正弦定理求PQ.【规范解答】在ABP中，APB=-，ABP=-,由正弦定理得:在APQ中，AQP=90+，PAQ=-,由正弦定理知【反思感悟】解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形，准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应；分清已知和待求的关系，正确地选择定理和公式，特别注意高度垂直地面构成的是直角三角形.测量角度的问题【方法点睛】测量角度问题的关键点解决测量角度问题的方法与步骤(1)弄清题意，画出表示实际问题的图形.(2)在图形中标出有关的角和距离.(3)用正弦定理或余弦定理解三角形.(4)
9、将解得的结果转化为实际问题.【提醒】把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量.【例3】在海岸A处，发现北偏东45方向、距离A处海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？【解题指南】设出缉私船t小时后在D处追上走私船后，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间.【规范解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有在ABC中，利用余弦定理可得由正弦定理，得
10、得ABC=45，即BC与正北方向垂直.于是CBD=120.在BCD中，由正弦定理，得得BCD=30,又所以当缉私船沿东偏北30的方向能最快追上走私船，最少要花小时.【反思感悟】利用正弦定理和余弦定理来解实际问题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中抽取主要因素，进行适当的简化.另外要准确选择恰当的三角形，把实际问题转化到三角形中时，正确地表示出所用的边和角.【满分指导】三角形中实际应用问题的规范解答【典例】(14分)(2012苏州模拟)如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于
11、水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1 km.(1)试探究图中B，D间的距离与另外哪两点间距离会相等？(2)求B，D间的距离.【解题指南】作出图形确定利用的三角形，(1)要充分利用仰角和俯角与三角形中的角的关系；(2)利用正弦定理正确地解答.【规范解答】(1)如图，在ADC中，DAC=30，ADC=60DAC=30,CD=AC=0.1 km，4分又BCD=1806060=60，CED=90，CB是CAD底边AD的中垂线，BD=BA.8分(2)在ABC中，由正弦定理得：即10分12分故B，D间的距离是14分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：失分
12、警示解答此题时有两处容易造成失分:在(1)中由于角多不能正确地利用角之间的关系，特别是三角形的外角的应用.在(2)中计算的失误造成失分，特别是sin15的计算.备考建议关于解决三角形的实际应用问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对题目所给条件不能作出相关示意图.(2)不会将实际问题转化到三角形中利用正、余弦定理求解.另外,对于仰角、俯角、方向角、方位角要正确地理解和应用.1.(2012连云港模拟)一蜘蛛沿正北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x=_cm.【解析】由题意可得简图如图所示,可
13、知BAC=75，ACB=45，B=60,根据正弦定理可得：答案：2.(2012宿迁模拟)在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2，再向塔底前进又测得塔顶的仰角为4，则塔的高度为_.【解析】如图.由题意得PB=PA=30 m,在BPC中,由余弦定理可得：在BCD中，可得=15(m).答案：15 m3.(2012苏州模拟)甲船在岛B的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是_分钟.【解析】假设经过x小时两船相距最近,甲、乙分别行至C,D如图所示.可知BC=10-4x,BD=6x,CBD=120,当小时,即分钟时，距离最小.答案：
