1、第六节简单的三角恒等变换三年3考高考指数:能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).1利用公式变换,进行三角函数式的化简是本节考查的热点.2.常与实际应用问题、函数等结合命题.3.高考主要以解答题的形式进行考查.1.半角公式【即时应用】(1)思考：你能用sin、cos表示tan 吗？提示：(2)判断下列公式及其变形是否正确.(请在括号中填写“”或“”)()()()【解析】根据公式可知根号下分子上应该是“+”，故错;等号右边分子上应该是“-”，故错；等号右边分子上应该是“-”，可以化
2、简验证，故错.答案：(3)填空：cos215-sin215=_.2sin215-1=_.【解析】cos215-sin215=cos30=2sin215-1=-cos30=-答案：-2.形如asinx+bcosx的式子的化简asinx+bcosx=_sin(x+)(其中)【即时应用】(1)把下列三角函数式化成sin(x+)的形式sin+cos=_;sin+cos=_;5sin+12cos=_.(2)计算：【解析】(1)sin+cos=;5sin+12cos=sin(+)=13sin(+)(其中tan=).(2)原式答案：(1)2sin(+)13sin(+)(其中tan=)(2)三角函数式的求值【
3、方法点睛】三角函数式求值的类型和思路(1)三角函数式求值的类型三角函数式求值分为直接求值和条件求值,直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值.条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围.(2)条件求值的一般思路先化简所求式子或所给条件;观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);将已知条件代入所求式子,化简求值.【例1】求下列三角函数式的值.(1)sin50(1+tan10)=_.(2)若cos(+)=,cos(-)=,则tantan=_.(3)已知tan(+)=2,则=_.【解题指南】(1)把切函数
4、换成弦函数再用公式化简求值，重在公式的逆用；(2)利用两角和、差的余弦公式展开求coscos,sinsin，相除得结果；(3)根据已知条件求出tan，把所给的三角函数式变形，代入tan即可.【规范解答】(1)原式=sin50()=sin50=2sin50=(2)cos(+)=coscos-sinsin=cos(-)=coscos+sinsin=由解得coscos=,sinsin=,则(3)由于是=答案：(1)1 (2)(3)【反思感悟】三角函数式求值问题的注意点(1)三角函数式求值时一定要准确地应用公式和选择恰当的思路，否则会使求值过程繁琐.(2)条件求值要求准确利用所给的条件，在此可能涉及到
5、式子的变形和角的变换，同时要注意角的范围.三角函数式的化简【方法点睛】三角函数式化简的原则、要求及方法(1)三角函数式的化简原则:一是统一角，二是统一函数名.能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.三角函数式化简的要求能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.(2)(3)三角函数式化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角.【提醒】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常应用，特别是“1”的代换经常用到.【例2】化简(,2).【解题指南】利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式，但要注意的范围.
6、【规范解答】原式=(,2),cos 0,当时，sin +cos 0，原式=2(sin +cos )-2cos =2sin当0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)求函数f(x)在区间0，上的取值范围.【解题指南】先利用三角恒等变换把f(x)化成y=Asin(x+)+B的形式，求周期得到,再讨论三角函数的性质.【规范解答】(1)f(x)=因为函数f(x)的最小正周期为,且0，所以=，解得=1.(2)由(1)得f(x)=因为0 x ,所以所以因为0sin 所以f(x)在区间0,上的取值范围为0,.【反思感悟】此题第(1)问主要是要求正确的恒等变形，第(2)问要注意0，.这样2x-的范围就能具体求出
7、，再求f(x)的取值范围.【满分指导】三角函数性质综合题的规范解答【典例】(13分)(2011四川高考)已知函数f(x)=xR.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)已知cos(-)=,cos(+)=-,0 ,求证：f()2-2=0.【解题指南】(1)把f(x)化成Asin(x+)的形式；(2)利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得2coscos=0，结合0 可得=.【规范解答】(1)f(x)=2sin(x-).4分f(x)的最小正周期T=2，f(x)的最小值为-2.6分(2)由已知得coscos+sinsin=,coscos-sinsin=-,两式相加得2coscos=0.9分f(
8、)2-2=4sin2 -2=0.13分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示解答本题时有三处容易失分：(1)第(1)问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错得不到化简后的正确结果.(2)由,的和差的余弦值得不到2coscos=0而导致后续计算无法进行.(3)在第(2)问中得到2coscos=0后忽略0 而得不到的值，而无法继续往下做.备考建议解答此类问题时还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)三角恒等变形转化不准确造成后面求解繁琐或错误.(2)忽略特殊角的值而使问题漏解.另外如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过恒等变换
9、，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数讨论其图象和性质.1.(2011大纲版全国卷)已知(,)，sin=,则tan2=_.【解析】由(,),sin=，得cos=-,答案：2.(2011大纲版全国卷)已知(,)，tan=2，则cos=_.【解析】由(,),tan=2得sin=2cos,又sin2+cos2=1,所以cos=-答案：-3.(2011重庆高考)已知sin=+cos,且(0,),则的值为_.【解析】由题意知sin-cos=,两边平方可得sin2=,所以(sin+cos)2=1+sin2=,又(0,),所以sin+cos=,答案：4.(2012福州模拟)已知函数f(x)=tan(2x+),(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设(0,)，若f()=2cos2,求的大小.【解析】(1)由kZ，所以kZ.所以f(x)的定义域为xR|kZ,f(x)的最小正周期为(2)由f()=2cos2得tan(+)=2cos2,整理得因为(0,)，所以sin+cos0,因此(cos-sin)2=,即sin2=，因为(0,)，所以=.
