1、第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式三年9考高考指数:1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考的常考点.2.公式逆用、变形应用是高考热点.3.在选择题、填空题、解答题中都有所考查.1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式公式名公式两角和与差的正弦两角和与差的余弦两角和与差的正切【即时应用】(1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“”或“”)cos15=co
2、s(45-30)=cos45-cos30()sin15=sin(45-30)=cos45sin30-sin45cos30()cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45()cos15=cos(60-45)=cos60cos45-sin60sin45()(2)计算sin72cos18+cos72sin18=_.(3)计算cos72cos12+sin72sin12=_.【解析】(1)cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30,故错误；sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30，故错误;正确，cos1
3、5=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45,故错误.(2)原式=sin(72+18)=sin90=1.(3)原式=cos(72-12)=cos60=.答案：(1)(2)1 (3)2.二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式二倍角的正弦二倍角的余弦二倍角的正切【即时应用】(1)思考：二倍角公式tan2=中对任意的都成立吗？提示：不一定,k+,2k+(kZ).(2)sin15cos15的值等于_.【解析】sin15cos15=2sin15cos15=sin30=.答案：(3)若tan=,则tan2=_.【解析】tan2=答案：三角函数的化简【方法点睛】三角函数的化简技巧(1
4、)寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；(2)正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；(3)一些常规技巧：“1”的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等；(4)三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，正切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化【提醒】公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2,形式相似，容易出错，应用时要加强“目标意识”.【例1】化简下列各式：(1)(,2)=_.(2)=_.【解题指南】(1)若注意到化简式是开平方根和2是的二倍，是的二倍，以及其范围不难找到解题的突
5、破口；(2)分子逆用二倍角公式，分母“切化弦”后再逆用公式即可得结果.【规范解答】(1)因为2,所以=|cos|=cos,又因为,所以=|sin|=sin ,所以，原式=sin .(2)原式=答案：(1)sin (2)1【反思感悟】1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意2,+,-三个角的内在联系的作用，cos2=sin(2)=2sin()cos()是常用的三角变换.2.化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧.3.公式变形cos=，cos2=,sin2=.三角函数的求
6、值【方法点睛】三角函数求值的方法和关注点(1)求值常用方法，利用两角和与差、倍角、半角等公式进行变换，使其出现特殊角，若非特殊角，则可出现正负抵消或约分的情况.(2)已知某些函数值，求其他三角函数值，一般应先化简所求式子(或变化已知式)，弄清所求再求解，主要方法有：消元法；平方法；比例性质法.(3)灵活运用角的变形和公式的变形.如：2=(+)+(-),tan+tan=tan(+)(1-tantan)等.(4)重视角的范围对三角函数值的影响，要注意角的范围的讨论.(5)要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角之间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用
7、等.【提醒】给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.【例2】(2012龙岩模拟)若cos(+x)=,x,求的值.【解题指南】本题可以利用x=(+x)-的变换，同时要注意x的范围和符号，求出sinx和cosx代入原式求解；也可以化简原式后得到二倍角与和角的三角函数，利用2x=2(+x)-的变换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解.【规范解答】方法一：由x,得x+2,又因cos(+x)=,sin(+x)=-.cosx=cos(+x)-=cos(+x)cos +sin(+x)sin =-,从而sinx=-,tanx=7.原式=-.方法二：原
8、式=sin2xtan(+x),而sin2x=sin2(+x)-=-cos2(+x)=-2cos2(+x)-1=,tan(+x)=-,所以，原式=(-)=-.【反思感悟】1.此题若将cos(+x)=的左边展开成coscosx-sin sinx=,再求cosx,sinx的值就很繁琐，把+x作为整体，并注意角的变换2(+x)=+2x,运用二倍角公式，关键是在于化难为易，化繁为简的三角恒等变换.2.解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角.三角函数的给值求角【方法点睛】1.三角函数的给值求角问题的一般思路(1)求出该角的某一三角函数值；(2)确
9、定角的范围；(3)根据角的范围写出角.2.三角函数给值求角时应注意的问题求角的某一三角函数值时,应选择在该角所在范围内是单调的函数.这样,由三角函数值才可以唯一确定角.如:若角的范围是(0,),选正、余弦皆可;若角的范围是(0,),选余弦较好;若角的范围为(-,),则选正弦.【例3】已知cos=,cos(-)=,且0.(1)求tan2的值；(2)求.【解题指南】(1)利用同角三角函数关系式求出sin,tan,再求出tan2；(2)把写成-(-)，根据已知条件求出的正弦，-的正弦，求出cos，根据范围确定角.【规范解答】(1)由cos=,0,得sin=tan=4 .于是(2)由0,得0-.又co
10、s(-)=,sin(-)=由=-(-),得cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=.【反思感悟】根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinBcosAsinAcosB两端同除以cosAcosB得tanB=tanA等变化技巧也经常用到.三角函数的综合应用【方法点睛】三角函数公式和三角函数性质的关系(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为y=Asin(x+)的形式,再进一步探讨定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.(2)注意
11、特殊角三角函数值，诱导公式等基础知识的应用，主要考查基本运算能力【例】已知函数f(x)=2sin(-x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间-,上的最大值和最小值.【解题指南】先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换，再求三角函数的性质.【规范解答】(1)f(x)=2sin(-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,函数f(x)的最小正周期为.(2)由-x -2x,-sin2x1,f(x)在区间-,上的最大值为1，最小值为-.【反思感悟】利用三角函数公式进行三角恒等变形，要求熟练掌握公式和变换技巧，强化运算能力.以基本三角函数的性质为基础求y=Asin(x+)的性质
12、，有时给出角的范围时要注意x+的范围的变化.【满分指导】两角和与差公式主观题的规范解答【典例】(13分)(2011广东高考)已知函数f(x)=2sin(x-),xR.(1)求f()的值;(2)设，0,f(3+)=,f(3+2)=,求cos(+)的值.【解题指南】(1)把x=代入解析式直接求解；(2)由题目条件可求出sin及cos的值，然后利用同角三角函数关系，求出cos及sin的值，再利用两角和的余弦公式求解.【规范解答】(1)f()=2sin(-)=2sin =，3分(2)由f(3+)=得2sin=,即sin=,6分由f(3+2)=得2sin(+)=,从而cos=8分、0,cos=,sin=
13、,10分cos(+)=coscos-sinsin=13分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)忽略角,的范围，求解cos,sin的值时出错；(2)在利用两角和的余弦公式时由于对公式记忆不准确导致出现错误.备考建议解决三角函数问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对公式记忆不准确；(2)三角公式不能灵活应用和变形应用；(3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.另外需要熟练掌握特殊角的三角函数值，才能快速正确地解决一些三角函数的问题.1.(2011福建高考)若tan=3，则的值等于()(A
14、)2 (B)3 (C)4 (D)6【解析】选D.2.(2011 浙江高考)若0,-0,cos(+)=,cos(-)=，则cos(+)=()(A)(B)-(C)(D)-【解析】选C.由cos(+)=,+可得sin(+)=,由cos(-)=及-可得sin(-)=,所以cos(+)=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=3.(2011福建高考)若(0，)，且sin2+cos2=，则tan的值等于()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.sin2+cos2=,sin2+(1-2sin2)=，sin2=又(0,),sin=cos=,tan=.4.(2011辽宁高考)设sin(+)=，则sin2=()(A)-(B)-(C)(D)【解析】选A.将sin(+)=展开得(cos+sin)=，两边平方得(1+sin2)=，所以sin2=-.5.(2011江苏高考)已知tan(x+)=2,则的值为_.【解析】由tan(x+)=2,可得tanx=，=.答案：
