1、第二节三角函数的诱导公式三年1考高考指数:能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切及的正弦、余弦的诱导公式.1.利用诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点.2.主要以选择题、填空题的形式考查.三角函数的诱导公式函数角sinxcosxtanx+2k（kZ）-+-+-sinsincostancos-sin-costansin-cos-tan-tancossincos-sin诱导公式的记忆方法与规律：(1)记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.(解释：公式中的角可以表示为k(kZ)的形式，“奇、偶”是指k的奇偶性；“符号”是指把任意角看作是锐角时原函数值的符号)(2)可以分类记忆：函数名称
2、“变与不变”，函数值的符号“变与不变”.【即时应用】(1)思考:给定一个任意角的三角函数,如何选取诱导公式化为一个锐角三角函数？提示:一般先把任意角的三角函数化为任意正角的三角函数,再化为0到360角的三角函数,最后化为锐角的三角函数.(2)sin(-)=_.【解析】sin(-)=-sin(+)=sin =.答案：(3)已知tan(+)=3,则=_.【解析】tan(+)=3,tan=3.原式=7.答案：7利用诱导公式求值【方法点睛】诱导公式的应用方法(1)诱导公式及同角三角函数的关系式是求值问题的常用工具,“切化弦”是解含有正切函数问题的常用方法.(2)解题时注意已知角或三角函数名称与所求角或
3、三角函数名称之间存在的关系,要向所求角和三角函数进行化归.【提醒】诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号.【例1】(1)已知tan=2,sin+cos0,为第一象限角或第三象限角，又sin+cos0,为第三象限角.由tan=2,得sin=2cos，代入sin2+cos2=1,解得sin=-.答案：-(2)f()=-cos.cos(-)=,-sin=,从而sin=-.又为第三象限角,cos=-=-,即f()的值为.【反思感悟】在利用诱导公式求值时，一般要先化简，再根据条件求值，掌握诱导公式的关键是对“函数名称”和“正负号”的正确判断.另外，诱导公式的应用非常灵活，可以正用、逆用和变形应
4、用,但是要尽量避开平方关系.利用诱导公式化简证明【方法点睛】1.化简的方法和技巧(1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.(2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为止.(3)化简前,注意分析角的结构特点,选择恰当的公式和化简顺序.2.三角恒等式证明的常用方法(1)从左向右证或从右向左证(以从繁化到简为原则).(2)两边向中间证.(3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.【例2】(1)化简:(2)求证:对于任意的整数k,【解题指南】(1)利用诱导公式化简三角函数式，一般思路是根据公式逐一化简，特别要注意名称
5、和符号.(2)由于此题中的k不明确，需要对其分偶数和奇数讨论.【规范解答】(1)原式=(2)当k为偶数时,设k=2n(nZ),则原式=当k为奇数时,设k=2n+1,nZ，则原式=故对任意的整数k,【反思感悟】1.公式符号的判断看象限,在用诱导公式时,注意把任意角看成锐角来处理.2.把异角利用诱导公式化为同角,再用同角三角函数关系式化简是求解的关键.诱导公式在三角形中的应用【方法点睛】三角形中的诱导公式在三角形ABC 中常用到以下结论:sin(A+B)=sin(-C)=sinC,cos(A+B)=cos(-C)=-cosC,tan(A+B)=tan(-C)=-tanC,sin(+)=sin(-)
6、=cos ,cos(+)=cos(-)=sin .【例3】(2012漳州模拟)在ABC中，若sin(2-A)=-sin(-B),cosA=-cos(-B),求ABC的三个内角.【解题指南】先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cosA，进而可求得角A,B,C.【规范解答】由已知得sinA=sinB,cosA=cosB两式平方相加得2cos2A=1,即cosA=或cosA=-.(1)当cosA=时,cosB=,又角A、B是三角形的内角,A=，B=,C=-(A+B)=.(2)当cosA=-时，cosB=-,又角A、B是三角形的内角，A=，B=，不合题意.综上知，A=，B=，C=.【反思感悟
7、】1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A+B=-C；2A+2B+2C=2；+=.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角.【满分指导】三角函数主观题的规范解答【典例】(13分)(2012南安模拟)已知sin(-)-cos(+)=().求下列各式的值：(1)sin-cos;(2)sin3(-)+cos3(+).【解题指南】利用诱导公式将已知条件化简，再利用同角三角函数关系式求解，即可求得.【规范解答】由sin(-)-cos(+)=得sin+cos=2分将两边平方得1+2sincos=,故2sincos=-，4分又0,cos0.5分(1)(sin-cos
8、)2=1-2sincos=1-(-)=，sin-cos=.9分(2)sin3(-)+cos3(+)=cos3-sin3=(cos-sin)(cos2+cossin+sin2)=-(1-)=-.13分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)忽略的范围而使解的三角函数值符号错误；(2)在化简时公式应用错误，而使结果错误.备考建议在用诱导公式解三角函数的问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)诱导公式的准确记忆和应用;(2)注意角的范围和象限，防止符号的错误.另外,需要熟练掌握几种常见角的变形和公式的变形，才能快速正确地解决这类问题.1.(2012福州模拟)已知sin(-)=-,则cos(+)的值为()(A)(B)-(C)(D)-【解析】选B.cos(+)=-sin=sin(-)=-.2.(2012泉州模拟)已知(-,0),tan(3+)=(a0且a1)，则cos(+)的值是()(A)(B)-(C)(D)-【解析】选B.由题意tan(3+)=,tan=，cos(+)=sin，(-,0),sin0,sin=-.3.(2012厦门模拟)sin cos tan(-)=_.【解析】原式=sin(+)cos(4+)tan(-2+)=(-sin )cos tan()=-(-1)=.答案：
