1、第四节二次函数三年4考高考指数:1.理解并掌握二次函数的定义、图像及性质；2.会求二次函数在闭区间上的最值；3.能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题.1.二次函数图像的应用及求最值是高考的热点.2.常将二次函数及相应的一元二次不等式、一元二次方程交汇在一起命题,重点考查三者之间的综合应用.3.题型以选择题、填空题为主,若与导数、解析几何知识交汇，则以解答题的形式出现.1.二次函数的解析式解析式一般式顶点式零点式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=a(x-h)2+k(a0),顶点坐标为(h,k）f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0),x1,x2为f(x)的
2、零点【即时应用】(1)判断下列函数是否为二次函数.(请在括号内填“是”或“否”)y=()y=x4-x2;()y=()y=1+3x-x2;()y=2(x+1)2-3;()y=-3(x+2)(x-3);()y=2sin2x+sinx+3;()y=()(2)若二次函数图像的最高点为(-1,-3),且过点(0,-4),则其解析式为_.(3)已知抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(1,0)并经过点M(0,1),则抛物线的解析式为_.【解析】(1)根据二次函数的概念及特点判断是二次函数，其余都不是.(2)设y=a(x+1)2-3,又过点(0,-4),-4a(0+1)2-3,解得a=-1,y=-(x+1)
3、2-3=-x2-2x-4.(3)点A(-1,0),B(1,0)是抛物线与x轴的交点,设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-1)将M(0,1)代入,得1=-a,即a=-1,y=-(x+1)(x-1)=-x2+1.答案：(1)否 否 否 是 是 是 否 否(2)y=-x2-2x-4(3)y=-x2+12二次函数的图像与性质函数y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)奇偶性最值顶点对称轴当x=时,函数有最小值当x=时,函数有最大值(，)函数的图象关于x=成轴对称当b=0时为偶函数【即时应用】(1)已知二次函数f(x)的图像的对称轴是x=x0，它在区间a,
4、b上的值域为f(b),f(a),判断下列命题的真假.x0b ()x0a ()x0(a,b)()x0 (a,b)()(2)已知函数f(x)=3x2-12x+5,当x0,3时,f(x)min=_,f(x)max=_.(3)如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(xa,b)的图像关于直线x=1对称，则函数f(x)的最小值为_【解析】(1)二次函数f(x)在a,b上的值域为f(b),f(a)，a,b应在二次函数对称轴的某一侧或x0=a或x0=b.又x=x0为其对称轴方程，x0(a,b).故真，假，假，假.(2)f(x)=3(x-2)2-7,f(x)在0,2上递减,在(2,3上递增,f(x)min=f
5、(2)=-7,f(x)max=f(0)=5.(3)函数f(x)=x2+(a+2)x+b的对称轴为又函数f(x)=x2+(a+2)x+b(xa,b)的图像关于直线x=1对称，a=-4,b=6，f(x)=x2-2x+6(x-4,6)，因此，该函数当x=1时取最小值5.答案：(1)假 假 假 真(2)-7 5 (3)5求二次函数的解析式【方法点睛】求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式,一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【例1】设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)且图像在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为求f(x)的解析式.【
6、解题指南】二次函数f(x)满足f(x+t)=f(t-x),则其对称轴方程为x=t;图像在x轴上截得的线段长度公式为|x1-x2|,本题可设f(x)的一般式,亦可设顶点式.【规范解答】设f(x)的两零点分别为x1,x2，方法一：设f(x)=ax2+bx+c,则由题知：c=1,且对称轴为x=-2.=-2,即b=4a.f(x)=ax2+4ax+1.函数f(x)的解析式为f(x)=+2x+1.方法二：f(x-2)=f(-x-2),二次函数f(x)的对称轴为x=-2.设f(x)=a(x+2)2+b,且f(0)=1,4a+b=1.f(x)=a(x+2)2+1-4a=ax2+4ax+1,【反思感悟】待定系数
7、法求二次函数解析式的步骤：二次函数的图像与性质的应用【方法点睛】1.求二次函数最值的类型及解法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值2.二次函数单调性问题的解法主要结合二次函数图像的升、降对对称轴进行分析讨论求解.【提醒】配方法是解决二次函数最值问题的常用方法,但要注意自变量范围与对称轴之间的关系.【例2】(2012郑州模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x
8、-4,6.(1)当a=-2时,求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数；(3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.【解题指南】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系,结合图像或单调性直接求解,对于(3),应先将函数化为分段函数,再求单调区间.【规范解答】(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,则函数在-4,2)上为减函数,在(2,6上为增函数,f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4(-4)+3=35.(2)函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为x=-a,要使f(x)在-4,6上为单
9、调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6.(3)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3其图像如图所示：又x-4,6,f(|x|)的减区间为(-4,-1)和(0,1),增区间为(-1,0)和(1,6).321-2321-1(1,2)(-1,2)oxy【反思感悟】1.影响二次函数f(x)在区间m,n上最值的要素有三个,即抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间；常用数形结合思想求解,但当三要素中有一要素不明确时，要分情况讨论.2.二次函数单调性的确定与应用，常与二次函数的图像数形结合求解.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题【方法点睛】1.解决一元二次方程根的分布问题的方法常
10、借助于二次函数的图像数形结合来解一元二次方程根的分布问题,一般常从以下几点着手(1)开口方向；(2)对称轴位置；(3)判别式；(4)端点函数值符号四个方面分析.2.解决一元二次不等式的有关问题的策略一般需借助于二次函数的图像、性质求解.【例3】(2012巢湖模拟)已知函数f(x)=ax2+2x+c(a、cN+)满足：f(1)=5;6f(2)11.(1)求a、c的值；(2)若对任意的实数x，都有f(x)-2mx1成立，求实数m的取值范围.【解题指南】解答本题(1)利用f(1)=5，将c用a表示，再根据6f(2)11构造a的不等式，结合aN+求解.(2)可以有两条途径.方法一：构造函数g(x)=f
11、(x)-2mx，求其在上的最大值g(x)max，再构造不等式g(x)max1求解；方法二：用分离参数法求解.【规范解答】(1)f(1)=a+2+c=5,c=3-a.又6f(2)11,即64a+c+42时，故只需m2,m综上可知，m的取值范围是m方法二：由f(x)-2mx1,即x2+2(1-m)x+21,x得2(1-m)-(x+)在上恒成立.令g(x)=-(x+),则g(x)=当x1时，g(x)0，故g(x)在1上递增，当x1,时，g(x)0，故g(x)在1，上递减.而【反思感悟】1.一元二次不等式的求解，恒成立问题及一元二次方程根的确定与应用问题常转化为二次函数图像和性质的应用问题求解，但要注
12、意讨论及考虑全面.2.关于不等式的恒成立问题,能用分离参数法，尽量用.因为该法可以避开频繁地对参数的讨论.【满分指导】二次函数解答题的规范解答【典例】(12分)(2012西安模拟)已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1(a为实常数)(1)若a=1，作函数f(x)的图像；(2)设f(x)在区间1,2上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式(3)设h(x)=若函数h(x)在区间1,2上是增函数，求实数a的取值范围【解题指南】解答本题(1)需将f(x)化为分段函数,从而转化为画二次函数图像的问题,但要注意函数的定义域；(2)分a=0,a0两种情况讨论,而a0,又需按对称轴与区间1,2的关系,再次
13、分类讨论.(3)可由h(x)0在1,2上恒成立求解.【规范解答】(1)当a=1时，作图(如图所示)2分(2)当x1,2时，f(x)=ax2-x+2a-1.若a=0，则f(x)=-x-1在区间1,2上是减函数，g(a)=f(2)=-33分若a0，则f(x)=f(x)图像的对称轴是直线当a0时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)=f(2)=6a-34分当01，即a时，f(x)在区间1,2上是增函数，g(a)=f(1)=3a-2当1 2，即时，g(a)=f()=2a-1，当2，即0a时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)=f(2)=6a-35分(3)当x1,2时，h(x)=h(x)=又h
14、(x)在1,2上为增函数,h(x)0在1,2上恒成立.7分令(x)=当2a-10即a时,(x)在1,2上为减函数,由h(x)0,得：(2)=8分当2a-1=0,即a=时,h(x)=x-1,显然在1,2上为增函数；9分当2a-10,即a时,(x)在1,2上为增函数,(x)min=(1)=-a+1,由已知得：-a+10,解得：a1,又a,故a1.11分综上可知：a1.12分【阅卷人点拨】通过对试题的阅卷数据分析，我们可以得到以下失分警示和备考建议:失分警示在解答本题时有以下几点容易造成失分:(1)在第(2)(3)中忽略了讨论;(2)在第(2)题讨论时忽视了a=0,在第(3)题忽视了2a-1=0;(
15、3)未能将(2)(3)讨论的结果进行整合而失分.备考建议在解决二次函数图像、性质应用问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)在求闭区间上的最值时,忽视对开口方向的讨论而失误.(2)在研究二次函数单调性时，将对称轴与区间端点位置关系弄反而失误.(3)在将一元二次不等式恒成立及一元二次方程问题转化为二次函数问题时失误.另外需要熟练掌握“三个二次”间转化的思想，才能快速正确地解决这些问题.1.(2012蚌埠模拟)若函数f(x)=x2+ax(aR)，则下列结论正确的是()(A)存在aR，f(x)是偶函数(B)存在aR,f(x)是奇函数(C)对于任意的aR，f(x)在(0，+)上是增
16、函数(D)对于任意的aR,f(x)在(0，+)上是减函数【解析】选A.对函数f(x)=x2+ax(aR)，当a=0时，f(x)为偶函数，故A正确.2.(2012新余模拟)若关于x的方程x2-x-(m+1)=0在-1，1上有解，则m的取值范围是()【解析】选D.由x2-x-(m+1)=0,得m+1=x2-x=(x-)2-即m=(x-)2-当x-1,1时，m1故选D.3.(2011湖南高考)函数y=ax2+bx与x(ab0,|a|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是()【解析】选D在A中由抛物线的开口向上得到a0，由抛物线与x轴的另一个交点的横坐标满足01，不能得到1，A不正确在B中由抛物线的开口
17、向下得到a0，由抛物线与x轴的另一个交点的横坐标满足0 1，B不正确在C中由抛物线的开口向下得到a0，由抛物线与x轴的另一个交点的横坐标满足1，此时对数函数图像应该单调递增，C错误在D中由抛物线的开口向上得到a0，由抛物线与x轴的另一个交点的横坐标满足-10，可以得到1，此时对数函数图像单调递减，D正确4.(2011浙江高考)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y=f(x)的图像的是()【解析】选D.设h(x)=f(x)ex,则h(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=ax2+(2a+b)x+b+cex,由x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,得h(-1)=0,c=a,f(x)=ax2+bx+a,若f(x)对应方程有两根x1,x2,则x1x2=1,D中图像不满足该条件.
