1、第一节函数及其表示三年16考高考指数:1.了解构成函数的要素，会求一些函数的定义域和值域,了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单的应用.1.函数的概念、定义域及其表示(特别是分段函数)是近几年高考命题的热点.2.常和对数、指数函数的性质等相结合考查，有时也会命制新定义问题.3.题型主要以选择、填空题为主，属中低档题.函数映射定义建立在两个非空_A到B上的一种_的对应关系f，其要求：集合A中的_一个_，在集合B中都有_的数_和它对应建立在两个非空_A到B上的一种_的对应关系f，其要求:集合A中的_一个_，在集合B中都有_的_与之
2、对应记法y=f(x),xAf:AB1.函数与映射的概念数集任意数x 唯一确定f(x)集合确定任意元素x 唯一确定元素y确定【即时应用】(1)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.(请在括号中填“是”或“否”)A=R，B=x|x0,f:x|x|;()A=R，B=R，f:xx2;()A=Z,B=R，f:x；()A=Z，B=Z，f:xx2-3.()(2)设A=0,1,2,4，B=,0,1,2,6,8，判断下列对应关系是否是A到B的映射.(请在括号中填“是”或“否”)f:xx3-1 ()f:x(x-1)2()f:x2x-1()f:x2x ()【解析】(1)否，因为A中的元素0在B中没有对应元素;否，
3、因为A中的元素为负数时在B中没有对应元素;是，满足函数的定义，是从A到B的函数.(2)不是，当A中的x=0，2，4时在B中没有对应元素；不是，当A中的x=4时在B中没有对应元素；是，满足映射的定义，是从A到B的映射；不是，当A中的x=2时在B中没有对应元素.答案：(1)否 是 否 是(2)否 否 是 否2.函数的构成要素函数由_、_、_三个要素构成，对函数y=f(x),xA，其中，(1)定义域:自变量x的_.(2)值域：函数值的集合_.定义域值域对应关系取值范围Af(x)|xA【即时应用】(1)判断下列各组函数中，是否是同一函数.(请在括号中填“是”或“否”)f(x)=x与g(x)=()f(x
4、)=|x|与g(x)=()f(x)=x|x|与()f(x)=与g(t)=t+1(t1)()(2)函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为_.(3)设集合,集合B=y|y=x2,xR,则AB=_.【解析】(1)否，函数f(x)与g(x)的定义域不同；否，函数f(x)与g(x)的对应关系不同；否，函数f(x)与g(x)的定义域不同；是，函数f(x)=x+1(x1)与g(t)=t+1(t1)是同一函数.(2)当x取0,1,2,3时，对应的函数y的值依次为0,-1,0,3,所以其值域为-1,0,3.(3)已知A=x|x-20=x|x2,B=y|y0,AB=x|x2.答案:(1)否 否
5、否 是(2)-1,0,3 (3)x|x23.函数的表示方法表示函数的常用方法有：_，_和_.解析法列表法图象法【即时应用】(1)下列四个图象是函数f(x)=x+的图象的是_.(2)若，则f(x)的解析式为_.【解析】(1)正确.(2)方法一：令t=+1，则x=(t-1)2,t1，代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,f(x)=x2-1(x1).方法二：f(x)=x2-1(x1).答案：(1)(2)f(x)=x2-1(x1)4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.对应关系【即时应用】(1)已知函数f(x)=则=_.
6、(2)设f(x)=若f(x)=3，则x=_.【解析】(1)(2)当x-1时，-x+2=3，得x=-1，符合要求；当-1x2时，x2=3，得x=，只有符合要求；当x2时，2x=3,得x=,不符合要求.综上可知，x=-1或.答案：(1)(2)-1或【方法点睛】1.简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.求简单函数的定义域、值域(3)对抽象函数：若已知函数f(x)的定义域为a,b，则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出.若已知函数f(g(x)的定义域为a,b，则f(x
7、)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.2.求简单函数值域的方法(1)观察法；(2)图象观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)均值不等式法；(6)换元法.【例1】(1)(2012大连模拟)求函数f(x)=的定义域;(2)已知函数f(2x)的定义域是-1,1，求f(x)的定义域；(3)求下列函数的值域.y=x2+2x,x0,3,y=log3x+logx3-1,【解题指南】(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组求解即可；(2)要明确2x与f(x)中x的含义，从而构建不等式求解;(3)根据解析式的特点，分别选用图象观察法；均值不等式法；单调性法求值域.【规范解答】(1)要使该函数有
8、意义，需要则有：解得:-3x0或2x3,所以所求函数的定义域为(-3,0)(2,3).(2)f(2x)的定义域为-1，1，即-1x1,2x2，故f(x)的定义域为,2.(3)y=(x+1)2-1在0,3上的图象如图所示,由图象知：0y32+23=15,所以函数y=x2+2x，x0,3的值域为0,15.，定义域为(0,1)(1,+)，当0 x1时，当x1时，综上可知，其值域为(-,-31,+).因为x2-1-1，又y=2x在R上为增函数,故值域为,+).【反思感悟】1.由解析式求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式(组)，从而求解.2.f(g(x)的定义域为a,b，指的是
9、x的取值范围是a,b，而不是g(x)的取值范围是a,b.3.求函数的值域时，若能画出图象，则用图象观察法求解；若能判断单调性则用单调性法求解；若能满足用基本不等式的条件，则用基本不等式求解.分段函数及其应用【方法点睛】确定与应用分段函数的一般步骤首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论.【提醒】分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【例2】(1)(2012北京模拟)已知函数则f(x)-f(-x)-1的解集为()(A)(-,-1)(1,+)(B)-1,)(0,1(C)(-,0)(1,+)(D)-1,(
10、0,1)(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.【解题指南】(1)根据每一段的解析式分类求解，再求其并集.(2)已知图象形状，求解析式，可用待定系数法.【规范解答】(1)选B.当-1x0时，0-x1，此时f(x)=-x-1，f(-x)=-(-x)+1=x+1,f(x)-f(-x)-1化为-2x-2-1，得x，则-1x.当0 x1时，-1-x0，此时，f(x)=-x+1，f(-x)=-(-x)-1=x-1,f(x)-f(-x)-1化为-x+1-(x-1)-1,解得x，则0 x1.故所求不等式的解集为-1,)(0,1.(2)根据图象，设左侧的射线对应的
11、解析式为y=kx+b(x1).点(1,1),(0,2)在射线上,解得左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x1);同理,x3时，函数的解析式为y=x-2(x3).再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1x3,a0)，点(1,1)在抛物线上，a+2=1,a=-1,1x3时，函数的解析式为y=-x2+4x-2(1x3),综上，函数的解析式为【反思感悟】分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的值.求函数值【方法点睛】求函数值的类型及解法(1)f(g(x)型：遵循先内后外的原则；(2)分段函数型：根据自变量值所在区间对应
12、求值，不确定时要分类讨论；(3)已知函数性质型：对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值，要用好其函数性质，将待求值调节到已知区间上求解；(4)抽象函数型：对于抽象函数求函数值，要用好抽象的函数关系，适当赋值，从而求得待求函数值.【例3】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),求的值.【解题指南】求解该题，需知道f(x),f(x+1)满足的关系式，将f(x+1)用f(x)表示，然后再给x赋值，先求出，再求的值.【规范解答】若x0，则有取x=,则有(f(x)是偶函数，由此得于是，若x=0，则0f(0+1)=(1+0)f(0)，有f
13、(0)=0,【反思感悟】对于这类给出函数所满足的抽象性质，但又不知道函数解析式的求值问题，求解时应根据该抽象的函数关系的结构特征，结合待求值的特点，给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，达到求出函数值的目的.【创新探究】与函数有关的新定义问题【典例】(2011广东高考)设f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意实值函数，如下定义两个函数和(fg)(x)；对任意xR，=f(g(x)；(fg)(x)=f(x)g(x).则下列等式恒成立的是()【解题指南】根据新的定义逐个选项验证其真伪，从而作出判断.【规范解答】选B.根据新函数的定义分析如下表，选项分析结论A等式不恒成立选项分析结论B等式恒成
14、立选项分析结论C等式不恒成立选项分析结论D等式不恒成立【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议:创新点拨本题有以下创新点：(1)本题为新定义问题，命题背景、题目设置新颖.(2)考查内容创新：本题是将新定义的两个函数用于辨别与之有关的等式是否恒成立问题，主要考查对新定义抽象函数的理解，需要考生有较强的理解能力、推理论证能力和抽象概括能力.备考建议对于这类与函数有关的新定义、新运算试题，我们在备考2013年高考中，要高度关注以下几点：(1)熟练掌握函数有关的概念、运算;(2)强化对该类试题的训练，能正确理解所给的新定义、新运算，会类比函数有关的定义、运算熟练求解；(3
15、)平时的学习中要注重训练对所学数学知识的应用能力及转化与化归的能力.1.若则f(x)的定义域为()(A)(,0)(B)(,+)(C)(,0)(0,+)(D)(,2)【解析】选C.要使函数f(x)有意义,则需即f(x)的定义域为(,0)(0,+).2.(2011北京高考)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为(A，c为常数)，已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()(A)75，25(B)75，16(C)60，25(D)60，16【解析】选D.当A4时，解得c=60，A=16;当A4时，无解.3.(2011江苏高考)已知实数a0
16、，函数若f(1-a)=f(1+a)，则a的值为_.【解析】当a0时，1-a1,1+a1,由f(1-a)=f(1+a)可得2-2a+a=-1-a-2a，解得a=，不合题意；当a0时，1-a1,1+a1,由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a，解得答案：4.(2011湖南高考)给定kN*，设函数f：N*N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)=n-k.(1)设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为_;(2)设k=4，且当n4时，2f(n)3,则不同的函数f的个数为_.【解析】(1)本题定义的函数有两个条件，一是定义域和值域都是正整数，二是对于任意大于k的正整数n，f(n)=n-k.那么n=1时只要满足函数值是正整数即可，所以答案是a(a为正整数).(2)k=4,n4的正整数都一一对应，只要对n4的进行定义，又f(n)=2或f(n)=3，f(1)=2或3,f(2)=2或3，f(3)=2或3，f(4)=2或3，所以f的个数为：2222=16.答案：(1)a(a为正整数)(2)16
