1、第十一节导数与导数的运算三年12考高考指数:1.了解导数概念的某些实际背景；2.理解导数的几何意义；3.能根据导数定义求函数y=c(c为常数)，y=x,y=x2,y=x3,y=的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.导数的几何意义是考查重点；2.导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般不单独命题，常在考查导数应用的同时进行考查.3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中会渗透导数的运算.1.导数的定义及几何意义(1)函数f(x)在x=x0处的导数定义：称函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数，用f(x0)表示,记
2、作_=_.几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点_处的_.相应地，切线方程为_.(x0,f(x0)切线的斜率y-f(x0)=f(x0)(x-x0)(2)函数f(x)的导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x):f(x)=_,则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的_，通常也简称为导数.导函数【即时应用】(1)思考：f(x)与f(x0)有何区别？提示:f(x)是x的函数，f(x0)只是f(x)的一个函数值.(2)曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是_.【解析】y=2x，曲线y=x2在点(1,1
3、)处的切线斜率是2.答案：2(3)函数f(x)=lnx的图像在点(e,f(e)处的切线方程是_.【解析】f(e)=所求的切线方程为y-f(e)=f(e)(x-e)，即y-lne=(x-e)，化简得x-ey=0.答案：x-ey=02.基本初等函数的导数公式(1)(c)=_；(c为常数)(2)(x)=_；(是实数)(3)(sinx)=_；(4)(cosx)=_；(5)(ex)=_；(6)(ax)=_(a0)；(7)(lnx)=_；0 x-1cosx-sinxexaxlna(8)(logax)=_(a0且a1);(9)(tanx)=_;(10)(cotx)=_.【即时应用】(1)y=x-5，则y=_
4、.(2)y=4x，则y=_.(3)y=log3x，则y=_.(4)y=sin ，则y=_.答案：3.导数的运算法则若y=f(x)，y=g(x)的导数存在，则(1)f(x)g(x)=_；(2)f(x)g(x)=_；(3)=_f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)【即时应用】(1)y=x3+sinx，则y=_.(2)y=x4-x2-x+3，则y=_.(3)y=(2x2+3)(3x-2)，则y=_.(4)f(x)=则f(x)=_.【解析】(1)y=(x3)+(sinx)=3x2+cosx.(2)y=4x3-2x-1.(3)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(
5、3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9.或：y=6x3-4x2+9x-6,y=18x2-8x+9.(4)答案：(1)3x2+cosx (2)4x3-2x-1(3)18x2-8x+9 (4)导数的运算【方法点睛】求函数的导数的方法(1)总原则：先化简解析式，再求导.(2)具体方法连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导.根式形式：先化为分数指数幂，再求导.复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导.【例1】(1)(2011江西高考)若f(x)=x2-2x-4lnx，则f(x)0的解集为()(A)(0,+)(B)(-1,0)(2,+)(C)(2,+)(D)(-1,0)(2
6、)求下列函数的导数.y=x2sinx；【解题指南】(1)首先求出f(x)的导数，再解分式不等式.(2)利用积的导数法则；利用商的导数法则或先化简分式再求导.【规范解答】(1)选C.f(x)=2x-2-0,即x0,(x-2)(x+1)0,x2.(2)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.方法一：方法二：【反思感悟】准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则，根据所给函数解析式的特点，确定求导方法.导数的几何意义【方法点睛】导数几何意义的应用导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导
7、数值：k=f(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)=k；(3)已知过某点M(x1,f(x1)(不是切点)的切线斜率k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用求解.【提醒】审题时注意所给点是否是切点.【例2】(1)(2011湖南高考)曲线在点M(0)处的切线的斜率为()(2)(2011山东高考)曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()(A)-9(B)-3(C)9(D)15【解题指南】利用导数的几何意义，(1)可以求出切线斜率；(2)先求出切线方程，得到与y轴交点的纵坐标.【规范解答】(1)选B.(2)选C.y=3x2，切线斜率为3
8、,切线方程为y=3x+9，与y轴交点的纵坐标是9.【反思感悟】1.要体会切线定义中的运动变化思想，由割线切线，由两个不同的公共点无限接近重合(切点).2.利用导数的几何意义求曲线的有关切线的问题时，一定要抓住切点的多面性：在曲线上、在切线上，该点处的导数是切线斜率.【易错误区】导数几何意义应用的易错点【典例】(2012南昌模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于()【解题指南】因为点(1,0)不在曲线y=x3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线相切求a的值.【规范解答】选A.设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,)，所以切线方程为又(1,0)在切
9、线上，则x0=0或x0=当x0=0时，由y=0与相切可得当时，由相切可得a=-1，所以选A.【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1，0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系.备考建议解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握；(3)对于直线的方程与斜率公式的求解要熟练掌握.1.(2011江西高考)曲线y=ex在点A(0,1)处的
10、切线斜率为()(A)1 (B)2 (C)e (D)【解析】选A.y=ex,曲线在点A(0，1)处的切线的斜率为k=e0=1.2.(2011重庆高考)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为()(A)y=3x-1(B)y=-3x+5(C)y=3x+5(D)y=2x【解析】选A.由y=-3x2+6x知,切线斜率为k=-3+6=3.所以切线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1.3.(2012淮南模拟)已知f(x)=lnx(x0),f(x)的导数是f(x)，若a=f(7),b=f(),c=f()，则a、b、c的大小关系是()(A)cba(B)abc(C)bca(D)baba.4.(2012西安模拟)已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1)处的切线方程是y=+2,则f(1)+f(1)=_.【解析】由题意，得f(1)=且点M(1,f(1)也在切线y=+2上，f(1)+f(1)=3.答案：3
