1、第十节函数的应用三年9考高考指数:1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.函数模型的应用是高考考查的重点.2.建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点，常与导数、均值不等式、函数的单调性、最值等交汇出现，主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力.3.选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，但以解答题为主.1.三种函数模型性质比较y=ax(a1）y=logax (a1）y=xn(n0)在(0,+)上的单调性增长速度图像的变
2、化相对平稳随n值变化而不同单调增函数单调增函数单调增函数越来越快越来越慢随x值增大,图像与y轴接近平行随x值增大,图像与x轴接近平行【即时应用】(1)思考:对于直线上升、指数增长、对数增长三种增长模型，你作为老板，希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长?提示:公司的利润选择直线上升或指数模型增长,而员工奖金选择对数模型增长.(2)当x越来越大时，判断下列四个函数中，增长速度最快的是_.y=2x,y=x10,y=lgx,y=10 x2【解析】由函数图像知，y=2x的增长速度最快.答案：(3)函数y=2x与y=x2的图像的交点个数是_.【解析】由y=2x与y=x2的图像知有3个交点.答案：32.常
3、见的几种函数模型(1)直线模型:一次函数模型y=_,图像增长特点是直线式上升(x的系数k0),通过图像可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=_.(2)反比例函数模型:y=_,增长特点是y随x的增大而减小.(3)指数函数模型:y=abx+c(b0,b1,a0)，其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b1,a0)，常形象地称为指数爆炸.kx+b(k0)kx(k0)(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a0,a1,m0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a1,m0).(5)幂函数模型:y=axn+b(a0)型，其中最常见的是二次函数模型:_(
4、a0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大(a0).y=ax2+bx+c(6)分段函数模型：其特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围,特别是端点.【即时应用】(1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2011年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2011年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是_.(2)某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利
5、润y与时间x的关系，可选用六种常见模型中的_.(3)某种电热水器的水箱盛满水是200 L，加热到一定温度，即可用来洗浴.洗浴时，已知每分钟放水34 L，若放水t分钟时，同时自动注水总量为2t2 L.当水箱内的水量达到最少时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65 L，则该热水器一次至多可供_人洗浴.【解析】(1)设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为a,则由题意得1-0.05=a50,(2)由增长特点知应选对数函数模型.(3)在放水程序自动停止前,水箱中的水量为y=2t2-34t+200=2(t-8.5)2+55.5，由二次函数的性质得，经过8.5 min，放水停止,共出水348.5=289
6、(L)，289654.45,故至多可供4人洗浴.答案：(1)(2)对数函数模型(3)4用函数刻画实际问题【方法点睛】用函数图像刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图像(增加、减少的缓急等)相吻合即可.【例1】如图所示，向高为H的容器A，B，C，D中同时以等速注水，注满为止：(1)若水深h与注水时间t的函数图像是下图中的(a)，则容器的形状是_;(2)若水量v与水深h的函数图像是下图中的(b)，则容器的形状是_;(3)若水深h与注水时间t的函数图像是下图中的(c)，则容器的形状是_;(4)若注水时间t与水深h的函数
7、图像是下图中的(d)，则容器的形状是_.【解题指南】根据实际问题中水深h,水量v和注水时间t之间的关系，结合图像使之吻合即可.【规范解答】(1)该题图中的(a)说明了注入水的高度是匀速上升的，只有C中的容器能做到，所以应填C；(2)该题图中的(b)说明了水量v增长的速度随着水深h的增长越来越快，在已知的四个容器中，只有A中的容器能做到，所以应填A；(3)该题图中的(c)说明水深h与注水时间之间的对应关系，且反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四个容器中，只有D中的容器能做到，所以应填D；(4)该题图中的(d)说明水深h与注水时间t之间的对应关系，且反映出来的是水深升高的速度是先慢后
8、快，在已知的四个容器中，只有B中的容器能做到，所以应填B答案：(1)C (2)A (3)D (4)B【反思感悟】用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问题中两个变量间的关系，从中发现其变化的规律，并与函数的图像和性质联系起来，从而使问题解决.利用已知函数模型解决实际问题【方法点睛】利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数关系式，或可确定其函数模型的图像,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.【提醒】要结合实际意义限制自变量的范围【例2】(1)(2012南昌模拟)酒店用餐时顾客要求：将温度为10、质量为0.25 kg的同规格某种袋装
9、黄酒加热到3040.服务生将n袋该种袋装黄酒同时放入温度为80、质量为2.5 kg的热水中，5分钟后取出可以供顾客饮用，此时袋装黄酒的温度与水的温度恰好相等.假设m1kg该规格袋装黄酒提高的温度t1与m2 kg水降低的温度t2满足关系：m1t1=0.8m2t2,则n的最小值是_.(2)为了预防流感,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后，y与t的函数关系式为(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为_.【解题指南】(1
10、)先设服务生将n袋该种袋装黄酒加热到t，再由题意列出n关于t的函数，并结合“黄酒加热到3040”,即可求得n的最小值.(2)结合图像通过特殊点用待定系数法求出关系式.【规范解答】(1)设服务生将n袋该种袋装黄酒加热到t，则由：m1t1=0.8m2t2，得：0.25n(t-10)=0.82.5(80-t),它是一个关于t的减函数，而黄酒要加热到3040,当t=40时，n取最小值，10.7,则n的最小值是10.(2)药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比,则设函数y=kt(k0),将点(0.1,1)代入可得k=10,则y=10t;将点(0.1,1)代入则所求关系
11、式为答案：(1)10 (2)【反思感悟】解决这类已给出数学模型的实际问题,关键是从实际问题分析出其经过的特殊点或满足的特殊情况,从而代入求得其解析式.自建函数模型解决实际问题【方法点睛】建立函数模型解决实际问题的步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论【例3】(2012北京模拟)某特许专营店销售上海世博会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需要向上海世博局
12、交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时，该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元，则增加销售400枚；而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元.(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x元之间的函数关系式(并写出这个函数的定义域);(2)当每枚纪念章销售价格x为多少时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值.【解题指南】解答本题时(1)首先应根据题意确定出销售价格x的取值范围;再分别求出减少,增加一元时的销售利润,从而得到一年所得利润y(元
13、)的函数关系式.(2)根据函数关系式的结构特征，选择适当的求最值方法求解.【规范解答】(1)依题意销售价格x(7,40)，即定义域为(7,40)，而当7x20，xN+时，则增加销售400(20-x)枚,故其一年内销售所获得利润为y=2 000+400(20-x)(x-7);当20 x40，xN+时，则减少销售100(x-20)枚.故其一年内销售所获得利润为y=2 000-100(x-20)(x-7)(2)因为若7x20,则当x=16时,ymax=32 400(元).若20 x40,则当x=23或24时,ymax=27 200(元).综上可得当x=16时，该特许专营店获得的利润最大,为32 40
14、0元.【反思感悟】解决这类问题常见的两个误区(1)不会将实际问题转化为函数模型，从而无法求解.(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件.【满分指导】函数模型应用解答题的规范解答【典例】(12分)(2011江苏高考)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值?(2)某厂商要求包
15、装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解题指南】解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示成x的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解.【规范解答】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm),由已知得(1)S=4ah=8x(30-x)4分=-8(x-15)2+1 800,所以当x=15时,S取得最大值.6分(2)8分V=(20-x).由V=0得x=0(舍)或x=20.9分当x(0,20)时,V0;当x(20,30)时,V0.所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.11分此时即包装盒的高与底面边长的比值为12分【阅卷人点拨】通过高考中的
16、阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)忽视实际问题对变量x的限制即定义域.(2)将侧面积、容积求错，从而造成后续的求解不正确.备考建议解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注：(1)读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型.(2)对涉及到的相关公式，记忆错误.(3)在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解.1.(2012青岛模拟)牛奶保鲜时间因储藏时温度不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度是一种指数函数型关系.若牛奶放在0的冰箱中，保鲜时间约是19
17、2 h,而在22的厨房中则约是42 h，则保鲜时间y(h)关于储藏温度x()的函数解析式是()【解析】选D.设y=abx.则由已知得：2.(2012黄山模拟)某种产品市场产销量情况如图所示，其中l1表示产品各年年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况，下列叙述：(1)产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去;(2)产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；(3)产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量.你认为较合理的叙述是()(A)(1)(2)(3)(B)(1)(3)(C)(2)(D)(2)(3)【解析】选D.由图像知产品产量、销售量均以直线上升，但产品产量比销售量上
18、升速度快得多，由此必然产生供大于求的情况,从而导致价格下降，库存积压也越来越严重，由此分析得(2)(3)较为合理.3.(2011湖北高考)里氏地震M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为_级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍.【解析】当A0=0.001,A=1 000时,M=lgA-lgA0=lg1 000-lg0.001=lg106=6;设9级地震的最大振幅是A9,5级地震最大振幅是A5,则9=lgA9-lgA0,5=lgA5-lgA0，所以lgA9-lgA5=4，即答案：6 10 0004.(2012九江模拟)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？【解析】设温室的左侧边长为x m，则后侧边长为蔬菜种植面积y=(x-4)(-2)=808-2(x+)(4x400),当且仅当x=即x=40,此时=20,y最大=648,当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，为648 m2.
