1、第三节随机变量及其概率分布三年1考高考指数:内容要求ABC随机变量及其概率分布1.随机变量X的概率分布列及其性质(1)随机变量X的概率分布列一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1,x2,xn,且P(X=xi)=pi,i=1,2,，n 则称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.也可表示为此表称为随机变量X的概率分布表.它和都叫做随机变量X的概率分布.(2)随机变量概率分布的性质_;_.Xx1x2xnP_p1p2pnpi0,i=1,2,n【即时应用】(1)设X是一个随机变量，判断下列各组是否为X的概率分布.(请在括号中填写“是”或“否”)()()(a为实数)()()X1234
2、5P00010X1234P0.10.20.30.4X01Pa1-a(2)已知随机变量X的概率分布列为P(Xk)k1,2，则P(2X4)等于_.(3)设随机变量X的概率分布列为P(X=xi)=a()i,i=1,2,3，则a=_.【解析】(1)符合分布列的性质，中a0时，不满足分布列的性质.(2)P(2X4)P(X3)P(X4)=(3)由分布列的性质，得a()=1,a=答案：(1)是 是 否 是(2)(3)2.0-1分布(两点分布)若随机变量X服从两点分布，则其概率分布表为X01P_1-pp【即时应用】(1)思考：如果随机变量X的概率分布如下，它服从两点分布吗？提示：不服从，因为随机变量X的取值不
3、是0和1.X25P0.30.7(2)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于_.【解析】设失败率为p，则成功率为2p.X的分布列为：则“X=0”表示试验失败，“X=1”表示试验成功,由p+2p=1得即P(X=0)=.答案：X01PP2P随机变量概率分布的性质【方法点睛】1.概率分布性质的作用(1)利用概率分布中各事件概率之和为1可求参数的值.(2)随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.2.随机变量组合的概率分布问题(1)随机变量是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量的线性组合=a+b(
4、a,bR)也是随机变量.(2)求=a+b的概率分布可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出概率分布.【提醒】求概率分布中参数的值时应保证每个概率值均为非负数.【例1】设是一个随机变量，其概率分布为:(1)求q的值;(2)求P(0).【解题指南】(1)由概率分布的性质求q，(2)利用互斥事件的概率求P(0).-101P0.51-2Pq2【规范解答】(1)由概率分布的性质得：(2)P(0)=P(0)+P(1)=1-P(-1)=1-0.5=0.5.【反思感悟】1.本题在求q值时，常因忽略验证1-2q0，q20而产生增解.2.若是随机变量，则2也是随机变量，若对于不同的，2相同时，P(2)的值等
5、于所有满足2相同的值对应概率P()之和.离散型随机变量的概率分布【方法点睛】1.概率分布的表示方法概率分布可由三种形式，即表格、等式和图象表示.在概率分布的表格表示中，结构为2行n+1列，第1行表示随机变量的取值，第2行是对应的变量的概率.2求概率分布的步骤第一步，明确随机变量的取值范围；第二步，求出每一个随机变量取值的概率；第三步，列成表格.【例2】(2012无锡模拟)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变
6、量X的概率分布；(3)计分介于20分到40分之间的概率【解题指南】(1)可根据古典概型直接求解，也可利用对立事件求解；(2)应分清事件所代表的意义，如“X5表示取出的3个球中至少有一个球标有数字5，而剩下的球，应从标有1,2，3,4的球中任意选”；(3)分解为几个互斥事件的和来求概率.【规范解答】(1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件因为P(B)所以P(A)1P(B)(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.所以随机变量X的概率分布为X2345P(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”记为事件C，则P(C)P(X3或X4)P(X3)P(X4)=【反思感悟】求解概率分布的注意点(1)搞清随机变量每个取值对应的随机事件；(2)计算必须准确无误；(3)注意运用概率分布的两条性质检验所求的概率分布是否正确.
