1、部郸市联盟校20202021学年度第一学期期中考试高二数学试题一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 给出下列四个命题，其中正确的命题为（ ）A. “一元二次方程有解”是必然事件B. “飞机晚点”是不可能事件C. “冬天会下雪”是必然事件D. “购买的体育彩票能否中奖”是随机事件【答案】D【解析】分析】根据随机事件、必然事件，以及不可能事件概念，结合客观事实逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，一元二次方程是否有解，要根据判别式判定，判别式小于零时，无解，故A错；B选项，“飞机晚点”是随机事件，故B错；C选项，“冬天会下雪”
2、是随机事件，故C错；D选项，“购买的体育彩票能否中奖”是随机事件，正确；故选：D.2. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，根据抛物线的方程直接写出其准线方程.【详解】抛物线的标准方程为所以，准线方程为.故选：C3. 一商店有奖促销活动中仅有一等奖二等奖鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据对立事件的概念计算公式，结合题中条件，即可得出结果.【详解】中奖的概率为，中奖与不中奖互为对立事件，所以不
3、中奖的概率为.故选：B.4. 小张一星期的总开支分布如图所示，一星期的食品开支如图所示，则小张一星期的肉类开支占总开支的百分比约（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题可知，肉类开支占总开支的百分比食品开支占总开支的比例肉类开支占食品开支的比例，计算即可.【详解】由题图知，小张一星期的食品开支为元，其中肉类开支为100元，占食品开支的，而食品开支占总开支的，所以小张一星期的肉类开支占总开支的百分比为.故选：A.5. 已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】转化条件为该双曲
4、线的一条渐近线的倾斜角为，进而可得，由离心率公式即可得解.【详解】由题意，(为坐标原点)，所以该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，即，所以离心率.故选：A.6. 在某次测量中得到的A样本数据如下17，25，11，27，18，19，31，27，41，16，若，B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数【答案】C【解析】【分析】根据样本数据的特征及计算方法分析即可.【详解】当A样本数据都减，每个数据大小改变，则数据的中位数、众数都发生变化，设A样本数据的平均数为，则B样本数据的平均数变为，所以B样本数据中
5、保持不变，根据方差的计算公式可知，B样本数据的方差保持不变.故选：C.【点睛】本题考查样本数据的数字特征，一般地，设样本数据为的平均数为，方差为，则有：（1）数据的平均数为，方差为不变；（2）数据的平均数为，方差为；（3）数据的平均数为，方差为.7. 如图，已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，直线与轴交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题可得，代入点P的横坐标可得，则有，解得，即可由此求出离心率.【详解】设的坐标为，由，可得，代入点P的横坐标，有，可得，则有，得，则椭圆C的离心率为.故选：B.8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交
6、于两点，若，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设点的坐标分别为，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及焦半径公式，结合题中条件，列出方程求解，即可得出直线斜率，进而可得直线方程.【详解】设点的坐标分别为，由题意，点的坐标为，设直线的方程为，联立方程.消去后整理为，有，由抛物线的性质，有，可得，解得，有，解得，故直线的方程为.故选：C.【点睛】方法点睛：求解抛物线焦点弦问题时，一般先设弦所在直线方程，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及焦半径公式，结合所给条件，求出斜率，即可得出焦点弦所在直线方程；要求学生要熟记抛物线的性质等.二多项选择题
7、：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 下列命题中是真命题的是（ ）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“，都有”的否定是“，使得”C. 数据的平均数为6，则数据的平均数是6D. 当时，方程组有无穷多解【答案】ABD【解析】【分析】A. 解不等式，利用充分条件和必要条件的定义判断；B.根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断；C.利用平均数公式判断；D.利用两直线的位置关系判断.【详解】A. 由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确；B.因为命题“，都有”是全称量词命题，所以其否定
8、是“，使得”，故正确；C.因为数据的平均数为6，则数据的平均数是，故错误；D.当时，方程组，两直线重合，所以有无穷多解，故正确；故选：ABD10. 已知与之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为，若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是（ ）参考公式，.A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，结合回归方程的公式计算相关数据比较大小即可得答案.【详解】解：因为某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为，所以，根据题意得：，所以，所以，.故选：ABD.【点睛】本题考查线性回归方程的求解，考查运算
9、求解能力，是中档题.解题的关键在于熟练应用，进行运算求解，同时熟记回归直线必过样本中心点.11. 已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线上的动点，设点，当取得最小值时，则（ ）A. 的斜率为B. C. 内切圆的面积为D. 内切圆的面积为【答案】BD【解析】【分析】过点A作准线的垂线，垂足为C，则则，当取得最小值时，即取得最小值，也即取得最小值，也即是最大，此时AB与抛物线相切，然后由直线与抛物线相切，求出直线的斜率，再对各个选项进行逐一分析计算得出答案.【详解】过点A作准线的垂线，垂足为C，由题意，点B为抛物线的准线与轴的交点，由抛物线的定义可得,则，当取得最小值时，即取得最小值，也即取得最小值，
10、也即是最大，此时AB与抛物线相切，设AB的方程为，则消去y可得，则，解得，所以选项A不正确.将代入中解得点A的坐标，可得为等腰直角三角形，所以选项B正确.设内切圆半径为，则解得，当，结果仍有的内切圆的面积为,所以选项C不正确，选项D正确.故选：BD【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的几何性质的应用，解题的关键是当当取得最小值时，即取得最小值，也即取得最小值，也即是最大，此时AB与抛物线相切，由此求出直线的斜率,属于中档题.12. 设为双曲线的左、右焦点，过左焦点且斜率为的直线与在第一象限相交于一点，则下列说法正确的是（ ）A. 直线倾斜角的余弦值为B. 若，则的离心率C. 若，则的离心率D. 不
11、可能是等边三角形【答案】AD【解析】【分析】设直线倾斜角为，则，求出可判断选项；若，可得，在焦点中，由余弦定理得到齐次关系，即可求出，可判断选项真假；选项同理求出，可判断真假；，可判断选项真假.【详解】设直线倾斜角为，则，所以.在第一象限内，若，则，由余弦定理得，整理得，解得或（舍）.若，则，由余弦定理得，整理得，解得或（舍）.由，知不可能为等边三角形.故选:AD.【点睛】本题考查双曲线的离心率，注意余弦定理在焦点三角形中的应用，属于中档题.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 甲、乙两人进行5轮投篮训练，每轮投篮10次，每轮投进的次数如下：甲：7，7，9，7，8；乙：4，5，
12、7，9，9若甲的中位数为a，乙的众数为b，则_【答案】2【解析】【分析】分别求出的值，即可得的值.【详解】由题意得，则故答案为：2【点睛】本题主要考查了求众数和中位数，属于基础题.14. 若双曲线的虚轴长为，则实数的值为_.【答案】或1【解析】【分析】分别讨论，两种情况，根据双曲线的虚轴长，即可得出结果.【详解】因为双曲线的虚轴长为，当时，双曲线方程可化为，有，得；当时，双曲线方程可以化为，得；故实数的取值为或1.故答案为：或1.15. 为实现“两个一百年”的奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某高校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：年份2016201
13、720182019教师发表在省级刊物以上的文章篇数x32303436获得省级以上单位（或组织）颁奖的教师数y52485759根据上表可得回归方程中的为1.9，此校2020年教师发表在省级刊物以上的文章篇数为40篇，据此模型预报该校今年获得省级以上单位（或组织）颁奖的教师数为_（结果四舍五入，精确到个位）【答案】67【解析】【分析】由已知数据计算出，求得回归方程, 再代入，可得答案.【详解】计算出，代入回归方程中，得，所以当时，故答案为：67.【点睛】本题考查求回归直线方程，以及运用回归方程对总体进行估计，属于基础题.16. 椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的
14、取值范围为_.【答案】【解析】【分析】记椭圆的左焦点为，连，根据椭圆的对称性和性质知，由椭圆定义得到，得到，进而可求出结果.【详解】记椭圆的左焦点为，连，由椭圆的对称性和性质知，由，可得，得，由，可得，则，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的常用方法有：（1）直接法：根据椭圆的性质，结合题中条件，求出，可直接得出离心率；（2）构造齐次方程求离心率：结合题中条件，以及椭圆的性质和定义等，列出关于，的齐次等量关系，再化简整理，即可求得结果.三解答题17. 已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】若是的必要不充分条件，则，然后根据集合间的关系分类讨论求解即
15、可.【详解】解：因为，或当时，集合或，若，则有，解得：；当时，或，若，则有，解得：；当时，成立，综上所述：.【点睛】本题考查根据必要不充分条件确定参数的取值范围问题，难度一般. 解答时，一般将问题转化为根据集合的包含关系求参问题，注意分类讨论思想的运用.18. 从某歌唱比赛中抽取若干名选手的参赛成绩，绘制成如下的频率分布直方图（1）求这些选手的平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）求这些选手成绩的中位数（精确到0.1）【答案】（1）10.1分；（2）10.3.【解析】【分析】（1）由频率直方图，根据平均数计算方法可得答案；（2）根据中位数的计算方法可得答案.【详解】解：（1）由题
16、意，得中间值579111315频率0.10.150.20.30.150.1所以所以这些选手的平均成绩为10.1分（2）设这些选手的成绩的中位数为y，因为，所以 所以，则，故这些选手的成绩的中位数为10.3.【点睛】本题考查根据频率直方图求得平均数和中位数，属于基础题.19. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为精圆上一点，|（1）求椭圆的方程方程；（2）求点的坐标.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由定义可求出，由余弦定理可求出，即可求出，得出椭圆方程；（2）点的坐标为，根据的面积关系可求出，再把点代入椭圆即可求出.【详解】解：（1）设椭圆的焦距为由椭圆的定义，有在中，有，得，故椭圆的
17、方程为；（2）设点的坐标为，又由，有，解得，将点的坐标代入椭圆的方程有，解得，故点的坐标为或.【点睛】结论点睛：本题考查焦点三角形问题，解决此类问题常用椭圆的定义结合余弦定理求解.20. 为了监控一条生产线上的某种零件的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尽寸(单位，cm)，下面是检脸员在一天内依次抽取的18个零件的尺寸：抽取次序123456789零件尺寸9.279.269.849.879.789.659.559.439.39抽取次序101112131415161718零件尺寸9.369.429.779.839.939.349.829.959.33零件尺寸在内为
18、一级；在内为二级；在丙为超标（1）求这18个数据中不超标数据的中位数；（2）在以上零件为一级的数据中，随机抽取2个数据，求其中恰有一个零件尺寸小于9.3的概率；（3）以这18个零件尺寸来估计该生产线的情况，若该生产线每日生产3600个零件，那么约有多少个零件超标.【答案】（1）；（2）；（3）约有个的零件超标.【解析】【分析】（1）列出数据中不超标数据，然后再求其中位数.（2）零件为一级的数据有，列出从中任取2个数据的结果，再列出其中恰有一个零件尺寸小于的结果，由古典概率公式可得答案.（3）零件超标的概率,则3600个零件中零件超标的个数为.【详解】解：（1）不超标数据有：，共10个数中位数为
19、（2）由题目条件可知，零件为一级的数据共有4个，分别为则由一切可能的结果组成的基本事件空间为，共由6个基本事件组成.设“其中恰有一个零件尺寸小于为事件，则，共有4个基本事件所以（3）由题意，零件超标的概率因为，所以一天约有个的零件超标.21. 已知抛物线过点，（1）求物线的方程；（2）为坐标原点，AB为抛物线C上异于原点不同两点，直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线过点，由求解.（2）设点的坐标分别为，由，易得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理由求解即可.注意直线的斜率不存在的情况.【详解】（1）因
20、为抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线方程为.（2）设点的坐标分别为，所以，由题意有，得，当直线的斜率不存在时，此时，直线的方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程，消去后整理为，可得，得，直线的方程为，可化为，由知直线过定点.【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意22. 如图，在平面直标中，椭圆过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）点A为椭圆C的左顶点，过点A的直线与椭圆C交于x轴上方一点
21、B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中直线CD过原点，求平行四边形ABCD面积S的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在如下的平行四边形ABCD：“原点到直线AB的距离与线段AB的长度相等”，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在满足条件的平行四边形，理由见解析.【解析】【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程得到方程组，解出方程即可得到答案.（2）设点的坐标为,可求出，则直线AB的方程为，点到直线AB的距离为，得出S的表达式，从而可得出答案.(3)假设存在满足条件的平行四边形，则，结合， 分析解方程组是否有解，从而得出答案.【详解】解：（1）由题意有，解得故椭圆的标准方程为（2）设点的坐标为，有点A的坐标为，直线AB的方程为，整理为点到直线AB的距离为由，可知当时，平行四边形面积的最大值为（3）由（2）有，若存在满足条件的平行四边形，只需要方程组有解整理为上述方程组有解的问题化归为椭圆与圆是否有交点的问题由下图可知，椭圆和圆有两个交点，显然点为所示故存在满足条件的平行四边形.【点睛】关键点睛：本题中求四边形的面积的关键是选择一个合适的量将面积的目标函数表示出来，设,则，然后表示出直线AB的方程，由点到直线的距离求出高，即可表示出目标函数,(3)问中分析出方程组所表示的几何意义是关键，属于中档题.
