1、第三节二项式定理三年10考高考指数:1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数n等是考查重点；2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法，也是高考考查的热点；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题为主.1.二项式定理二项式定理二项展开式的通项二项式系数(a+b)n=_(nN*)Tk+1=_,二项展开式中各项的系数为 _(k=0,1,2,n)它表示第_项【即时应用】(1)(a+b)n展开式中，二项式系数(k=0,1,2,n)与展开式中项的
2、系数_(填：“一定”，“不一定”)相同.(2)=_.(3)的展开式中，x3的系数等于_.【解析】(1)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念,二项式系数是指它只与各项的项数有关，而与a,b无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a,b所代表的项有密切关系.(2)原式=(1-2)11=-1.(3)的通项为Tr1令6r3，得r2，r30，故x3的系数为(1)215.答案：(1)不一定(2)-1 (3)152.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即_.(2)增减性：二项式系数当k_时，二项式系数是递增的；当k_时，二项式系
3、数是递减的.(3)最大值:当n是偶数时，中间的一项_取得最大值；当n是奇数时，中间两项_和_相等，且同时取得最大值.【即时应用】(1)二项式(1-x)4n+1的展开式中，系数最大的项为第_项.(2)若展开式中第6项的系数最大，则不含x的项等于_.【解析】(1)因为4n+1为奇数，所以展开式有4n+2项，则T2n+1=(-x)2n,T2n+2=(-x)2n+1，系数分别为所以系数最大的项为第2n+1项.(2)由已知，得第6项应为中间项，则n=10.令30-5r=0，得r=6.T6+1=210.答案：(1)2n+1 (2)2103.各个二项式系数的和(1)(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等
4、于_，即_；(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即=_=_.2n2n-1【即时应用】(1)若(x)n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为_.(2)已知(3-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4等于_.(3)已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则(a0+a2a4)(a1a3a5)的值等于_【解析】(1)依题意，得15，即15，n(n1)30(其中n2)，由此解得n6，因此展开式中所有项的系数之和为(1)6(2)由题意，可知令x1，代入式子，可得a0-a1+a2-a3+
5、a43(1)4256.(3)分别令x1、x1,得a0a1a2a3a4a50,a0a1a2a3a4a532，由此解得a0a2a416，a1a3a516，所以(a0 a2a4)(a1a3a5)256.答案:(1)(2)256 (3)-256求二项展开式中特定的项或特定项的系数【方法点睛】1.理解二项式定理应注意的问题(1)Tr+1通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心,以防出错.2.求特定项的步骤(1)根据所给
6、出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整数，r为非负整数，且rn)；(2)根据所求项的指数特征求所要求解的项.【例1】(1)(2012宁波模拟)在的展开式中，系数为有理数的项共有_项.(2)(2012烟台模拟)(x+-1)5展开式中的常数项为_.(3)在的展开式中，系数绝对值最大的项是第几项？【解题指南】(1)先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项展开式的通项找出符合条件的项的个数.(2)可将括号内的三项分成两组看成两项，再利用二项式定理求解，也可直接展开所给式子进行求解.(3)设第r+1项系数的绝对值最大，据此可构造含有r的不等式
7、组，求出r的范围后，再求项数.【规范解答】(1)要求系数为有理数的项，则r必须能被4整除.由0r20且rN知，当且仅当r=0,4,8,12,16,20时所对应的项系数为有理数.答案:6(2)方法一：(x+-1)5=(x+)-15,它的展开式的通项为：Tr+1=(0r5).当r=5时，Tr+1=1(-1)5=-1，当0r5时，(x+)5-r的通项公式为0r5且rZ,r只能取1或3,相应的k值分别为2或1，即或所以，其常数项为(-1)+(-1)3+(-1)=-51.方法二：由于本题只是5次展开式，也可以直接展开(x+)-15，即(x+)-15=(x+)5-5(x+)4+10(x+)3-10(x+)
8、2+5(x+)-1.由x+的对称性知，只有在x+的偶次幂中，其展开式才会出现常数项，且是各自的中间项.所以，其常数项为：答案:-51(3)设第r+1项系数的绝对值最大，则即：5r6，故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.【反思感悟】求二项式n次幂的展开式中的特定项，一般利用结合律，借助于二项式定理的通项求解；当幂指数比较小时，可以直接写出展开式的全部或局部.二项式系数和或各项的系数和【方法点睛】赋值法的应用(1)对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和
9、，只需令x=y=1即可.(2)若f(x)=a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+=偶数项系数之和为a1+a3+a5+=【提醒】“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意.【例2】(2012梅州模拟)设(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a5x5，求：(1)a0+a1+a2+a3+a4;(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|；(3)a1+a3+a5；(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2.
10、【解题指南】(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a5x5为关于x的恒等式，求系数和的问题可用赋值法解决.【规范解答】设f(x)=(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a5x5，则f(1)=a0+a1+a2+a5=1,f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243.(1)a5=25=32,a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31.(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f(-1)=243.(3)f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5),a1+a3+a5=122.(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a
11、5)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=f(1)f(-1)=-243.【反思感悟】1.赋值法是解这类问题的重要方法，运用赋值法求值要抓住代数式的结构特征，通过特殊值代入构造相应的结构.2.本题是关于二项展开式各项系数的常见问题，应掌握f(1),f(-1)的意义，借助f(1)求展开式各项的系数和是常用的方法.二项式定理的综合应用【方法点睛】二项式定理的综合应用(1)利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1+x)n1+nx.(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题:在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开
12、后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.(3)利用二项式定理证明不等式:由于(a+b)n的展开式共有n+1项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【例3】(1)求证：46n5n19能被20整除.(2)根据所要求的精确度，求1.025的近似值.(精确到0.01).【解题指南】(1)将6拆成“5+1”，将5拆成“4+1”,进而利用二项式定理求解.(2)把1.025转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必要的几项即可.【规范解答】(1)46n5n194(6n1)5(5n1)4(51)n15(41)n120(5n1)(4n1)，是20的倍数，所以46n5n19能被20整除.
13、(2)1.025=(1+0.02)5=当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10.【反思感悟】利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意(ab)n中，a，b中有一个是除数的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚.【易错误区】对展开式中的项考虑不全面致误【典例】(2011新课标全国卷)(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()(A)-40(B)-20(C)20(D)40【解题指南】用赋值法求各项系数和，确定a的值，然后再求常数项.【规范解答】选D.令x=1，可得(x+)(2x-)5的展开式中各项系数和为1
14、+a，1+a=2，即a=1.(2x-)5的通项公式(x+)(2x-)5的展开式中的常数项为【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两点容易出错：(1)各项系数的和与二项式系数和混淆，不能准确求出a的值；(2)对展开式中的常数项的构成考虑不全面，造成计算错误.备考建议解决二项展开式问题时，还有以下几点容易失误，在备考时要高度关注：(1)二项展开式的通项Tr+1中项数与r的关系搞不清；(2)不能正确写出二项式通项公式导致错误；(3)对于二项式定理的应用不会逆用公式而导致错误；(4)在展开(a-b)n时忽略中间的“-”号.在解决这些问题
15、时，一定要准确理解题意，正确运用二项展开式的通项进行运算，才能避免此类错误.1.(2011陕西高考)(4x-2-x)6(xR)展开式中的常数项是()(A)-20(B)-15(C)15(D)20【解析】选C.令12x-3xr=0，则r=4，所以T5=15，故选C.2.(2011山东高考)若展开式的常数项为60，则常数a的值为_.【解析】由二项式定理的展开式令6-3k=0，则k=2,=15a=60,a=4.答案:43.(2011浙江高考)设二项式(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是_.【解析】令r=2,得A=令r=4,得B=由B=4A可得a2=4，又a0，所以a=2.答案:24.(2012湛江模拟)展开式中常数项为_.【解析】由=0得r=2，常数项为T3=(-2)2=415=60.答案:60
