1、专题四 第3讲空间向量与立体几何一、选择题(每小题4分，共24分)1已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量是A(1,1,1)BC D解析设平面ABC的法向量n(x，y，z)，则n，n，故n0，n0，即xy0，xz0，取x1，得yz1，即平面ABC的一个法向量是(1,1,1)，单位化得.故选C.答案C2直线l的方向向量s(1,1,1)，平面的法向量为n(2，x2x，x)，若直线l平面，则x的值为A2 BC. D解析线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故x220，解得x，故选D.答案D3平面，的法向量分别是n1(1,1,1)，n2(1,0，1)
2、，则平面，所成锐角的余弦值是A. BC. D解析cosn1，n2，故平面，所成角的余弦值是.答案C4点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s(1，1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是A(0,0，2) B(0,0，3)C(0,0，) D(0,0，1)解析设M为(0,0，z)，直线l的一个单位方向向量为s0，故点M到直线l的距离d ，解得z3.答案B5(2012抚州一中月考)已知直线l的方向向量为l，直线m的方向向量为m，若lb c(，R)，ma，ab，ac且a0，则直线m与直线lA共线 B相交C垂直 D不共面解析由ma且a0，可得：mta(tR)，所以mlm(bc)mbmctabtac0
3、，故m与l垂直，即直线m与直线l垂直答案C6正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为A. B.C. D.解析如图建立直角坐标系，设AB1，则(1,1,0)，(0,1,1)，设平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，则令z1，则y1，x1，n(1，1,1)又(0,0,1)，cos ，n.所以BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.答案D二、填空题(每小题5分，共15分)7(2012长沙一中月考)已知a(2，1,1)，b(1，4，2)，c(11,5，)，若向量a、b、c共面，则_.解析由向量a、b、c共面可得：cxayb(x，yR)，故有，解得.答案18已知2ab(0，
4、3，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则b，c_.解析因为(2ab)c01(3)(2)(10)(2)26，而(2ab)c2acbc8bc，故bc18.又|c|3，故cosb，c，所以b，c.答案9如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2，则点A到平面MBC的距离等于_解析取CD的中点O，连接OB、OM，则OBCD，OMCD.又平面MCD平面BCD，则OM平面BCD，所以OMOB.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得OBOM，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2)所以(1，0)，(0，)
5、，(0,0,2)设n(x，y，z)是平面MBC的法向量，由n，得xy0；由n，得yz0.令x，则y1，z1，所以n(，1,1)是平面MBC的一个法向量所以点A到平面MBC的距离为.答案三、解答题(每小题12分，共36分)10如图所示，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，AEF45.(1)求证：EF平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM平面BCE.证明ABE是等腰直角三角形，ABAE，AEAB.又平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF平面ABCDAB，AE平面ABCD，AEAD，即AD、AB、AE两两
6、垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系设AB1，则AE1，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)(1)FAFE，AEF45，AFE90，从而F，(0，1,1)，(1,0,0)，于是0，0，EFBE，EFBC.BE平面BCE，BC平面BCE，BCBEB，EF平面BCE.(2)M，P，从而.于是00.PMEF，又EF平面BCE，直线PM不在平面BCE内，PM平面BCE.11(2012朝阳二模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，EFAB，AB4，AE2，EF1.(1)若点M在线段AC上，且满足CMCA，求证：EM平面FBC；(2)求证：AF
7、平面EBC；(3)求二面角AFBD的余弦值解析(1)证明过M作MNBC于N，连接FN，则MNAB，又CMAC，所以MNAB.又EFAB且EFAB，所以EFMN，且EFMN，所以四边形EFNM为平行四边形，所以EMFN.又FN平面FBC，EM平面FBC，所以EM平面FBC.(2)证明因为EA平面ABCD，ABAD，故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由已知可得，A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，E(0, 0,2)，F(1,0,2)显然(1,0,2)，(0,4,0)，(4,0，2)则0，0，所以，.即AFBC，AFEB，故AF平面EBC.(3)
8、因为EFAB，所以EF与AB确定平面EABF，由已知得，(0,4,0)，(3,0，2)，(4,4,0)因为EA平面ABCD，所以EABC.由已知可得ABBC且EAABA，所以BC平面ABF，故是平面ABF的一个法向量设平面DFB的一个法向量是n(x，y，z)由得即令x2，则n(2,2,3)，所以cos，n.由题意知二面角AFBD锐角，故二面角AFBD的余弦值为.12(2012西城二模)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求证：ABDE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使EC
9、平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由解析(1)证明取AB中点O，连接EO，DO.因为EBEA，所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形，AB2CD2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形，所以ABOD.所以AB平面EOD.所以ABED.(2)因为平面ABE平面ABCD，且EOAB，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OAOBODOE，设OB1，所以O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，E(0,0,1)所以(1,1，1)，平面ABE的一个法向量为(0,1,0)设直线EC与平面ABE所成的角为，所以sin ，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.(3)存在点F，且时，有EC平面FBD.证明如下：由知，F，所以.设平面FBD的法向量为v(a，b，c)，则有所以取a1，得v(1,1,2)因为v(1,1，1)(1,1,2)0，且EC平面FBD，所以EC平面FBD.即点F满足时，有EC平面FBD.