1、第六章万有引力与航天第四节万有引力理论的成就第四节万有引力理论的成就阿基米德曾说过一句话：“假如给我一个杠杆，一个支点，我就能撬动地球”他想，地球的质量可以通过计算这个杠杆的动力臂与阻力臂的比来得出，相信很多人都有同样的想法这当然不能够实现，但现在我们可以用“万有引力定律”这个法宝来“测”地球和太阳的质量1了解万有引力定律在天文学上的应用2会用万有引力定律计算天体的质量，理解“称量地球的质量”“计算太阳的质量”的基本思路3认识万有引力定律的科学成就，体会科学思想方法一、计算中心天体的质量和密度1天体质量的计算(1)对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有引力提
2、供卫星做匀速圆周运动的向心力若已知卫星绕中心天体做圆周运动的周期T和半径r，则由Gmr，解得中心天体的质量为M如果测出周期T和半径r，就可以算出中心天体的质量(2)对于没有卫星的天体(或虽有卫星，但不知道卫星运行的相关物理量)，可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力的关系列式，计算天体质量若已知天体的半径r和该天体表面的重力加速度g，则有mgG.解得天体的质量为M2天体密度的计算如果中心天体为球体，则密度，式中R为中心天体的半径，r为中心天体与行星(卫星)间的距离特例：当做匀速圆周运动的天体在中心天体表面运行时，rR，则二、发现未知天体1海王星的发现过程18世纪，人们观测发现，1781年发
3、现的太阳系的第七颗行星天王星的运动轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗行星的轨道1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”后来，这颗行星命名为海王星2哈雷彗星的“按时回归”1705年，英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算了一颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归，这就是哈雷彗星 解决天体运动问题的两条思路一、两条思路1我们在应用万有引力定律解决有关天体运动问题时，常把天体的运动近似看做匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提
4、供，有下列关系式可选用：G由此可推出重要比例关系：a向G，或a向；v，或v；，或；T2，或T.2根据研究问题的实际情况，还可以利用物体在地球(天体)表面时受到的引力等于物体的重力这一关系，即mgG.式中的R为地球(天体)的半径，g为地球(天体)表面物体的重力加速度则可以得到GMgR2，此式被称为“黄金代换”公式二、典例剖析已知地球半径约为6.4106 m，已知月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，运动周期为27天，则可估算出月球到地心的距离约为_m(结果只保留一位有效数字)解析：由地球表面物体的重力近似等于万有引力，即mg.由月球绕地球做圆周运动的向心力为地球对它的万有引力，有Gm月r，整理
5、得r.地球表面的重力加速度g取10 m/s2，月球的运动周期T27天，代入数据得r4108 m.答案：41081如果我们能测出月球表面的加速度g，月球的半径r和月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了已知引力常量G，用M表示月球的质量，关于月球质量，下列正确的是(A)AMBMCM DM2一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量(C)A飞船的轨道半径 B飞船的运行速度C飞船的运行周期 D行星的质量3有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(D)A.
6、 B4倍C16倍 D64倍4若已知某行星的一颗卫星绕其运转时轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则可求得(B)A该卫星的质量B行星质量C该卫星的平均密度D行星的平均密度 一、选择题1设在地球上和在x天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为k(均不计阻力)，且已知地球和x天体的半径比也为k，则地球质量与x天体的质量比为(B)A1 Bk Ck2 D.2已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G为已知)(AC)A月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离r1B地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离r2C人造卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3D地球绕
7、太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离r4解析：根据求解中心天体质量的方法，如果知道绕中心天体运动的行星(卫星)的某些量便可求解，方法是利用万有引力提供向心力，则可由Gmr2mmvmv等分析3地球的半径为R，地球表面处物体所受的重力为mg，近似等于物体所受的万有引力关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法中，正确的是(C)A离地面高度R处为4mgB离地面高度R处为C离地面高度2R处为D离地心处为4mg4太阳表面半径为R，平均密度为，地球表面半径和平均密度分别为R和，地球表面附近的重力加速度为g0 ，则太阳表面附近的重力加速度g等于(C)A.g0 B.g0C.g0 D.g05假设火星和地球都是
8、球体，火星质量M火和地球质量M地之比为p，火星半径R火和地球半径R地之比为q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比等于(A)A.2 Bpq2 C. Dpq6设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为(D)A1 B. C. D.7如图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则(BD)A经过时间tT1T2，两行星再次相距最近B经过时间t，两行星再次相距最近C经过时间t，两行星相距最远D经过时间t，两行星相距最远解析：紧扣运
9、动的等时性及两行星转过的角度之差展开分析解法一单位时间内两行星转过的角度之差为，则12.当两星再次相遇时，转过的角度之差为2，所需时间t为t.两行星相距最远时，转过的角度之差为，所需时间t为t.选项B、D正确解法二设t s后两行星相遇，B行星转过n周，A行星转过(n1)周，则nT2(n1)T1t，解得t.当两行星相距最远时，可得nT2(n)T1t，得t二、非选择题8两颗靠得很近的恒星称为双星，这两颗恒星必须各以一定的速率绕某一中心转动，才不至于因万有引力作用而吸引在一起，已知双星的质量分别为m1和m2，相距为L，求：(1)双星转动中心的位置；(2)双星的转动周期解析：(1)设双星的转动中心与其
10、中一颗恒星(质量为m1)的距离为x，它们做圆周运动的向心力为双星之间的万有引力，所以它们的向心力大小相等，转动的周期相同根据牛顿第二定律，对双星分别列方程，有：Gm1x，Gm2(Lx)，联立，得：xL.(2)将(1)问的x值代入，可解得T2L.答案：(1)L(2)2L9某星球自转的周期为T，在它的两极处用弹簧秤称得某物体的重力为W，在赤道上称得该物体的重力为W，求该星球的平均密度.解析：设物体质量为m，在星球的两极物体受星球的引力与弹簧秤的弹力作用，因该处的物体无圆周运动，则有F引WG，又MVR3，代入式后整理得，在星球赤道处，物体受星球的引力与弹簧的弹力作用，物体随星球自转做圆周运动，所以：F引WmR，又F引W，则WWmR，mR.代入中，整理后得.答案：
