1、2016-2017学年河南省南阳一中高三（上）第三次月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1函数y=的定义域为（）A（2，1）B2，1C（0，1）D（0，12已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共扼复数为（）ABCD3已知a0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）AxR，f（x）f（x0）BxR，f（x）f（x0）CxR，f（x）f（x0）DxR，f（x）f（x0）4设2a=5b=m，且，则m=（）AB10C20D1005已知点A（4，1），将OA绕坐
2、标原点O逆时针旋转至OB，设C（1，0），COB=，则tan=（）ABCD6平面向量，共线的充要条件是（）A，方向相同B，两向量中至少有一个为零向量CR，D存在不全为零的实数1，2，7已知关于x的不等式的解集为P，若1P，则实数a的取值范围为（）A（，10，+）B1，0C（，1）（0，+）D（1，08已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3=15，且，则a2=（）A2BC3D9设x，y满足约束条件，当且仅当x=y=4时，z=axy取得最小值，则实数a的取值范围是（）A1，1B（，1）C（0，1）D（，1）（1，+）10已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（0），如果
3、存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）f（x）f（x0+2016）成立，则的最小值为（）ABCD11若函数f（x）=loga（x32x）（a0且a1）在区间（，1）内恒有f（x）0，则f（x）的单调递减区间为（）A（，），（，+）B（，），（，+）C（，），（，+）D（，）12已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）+（m+1）f（x）+m+4=0（mR）有四个相异的实数根，则m的取值范围是（）A（4，e）B（4，3）C（e，3）D（e，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13在ABC中，A=90，AB=3，AC=2， =2，则=14已知函数f（x）=x，则方程f（
4、x1）=f（x23x+2）的所有实根构成的集合的非空子集个数为15数列an满足an+1+（1）n an=2n（nN*），则an的前40项和为16已知a2+4b2=1，则2a2+4ab的最大值为三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知函数f（x）=（1+）sin2x+msin（x+）sin（x）（1）当m=0时，求f（x）在区间，上的取值范围；（2）当tana=2时，f（a）=，求m的值18数列an满足a1=1，an+1=（nN+），（1）证明为等差数列并求an；（2）设Sn=a12+a22+an2，bn=S2n+1Sn，是否存在最小的正整数m，使对任意nN+，有bn成立？设若存在，求出m
5、的值，若不存在，说明理由19已知mR，设P：x1和x2是方程x2ax2=0的两个实根，不等式|m25m3|x1x2|对任意实数a1，1恒成立Q：函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+6在（，+）上有极值求使P正确且Q正确的m的取值范围20数列an的前n项和记为 Sn，a1=2，an+1=Sn+n，等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且 T3=9，又 a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列（）求an，bn的通项公式；（）求证：当n2时， +21在ABC中，点D为边BC的中点，BAD=90（1）若cosB=，求cosC；（2）求cosC的取值范围22已知函数f（x）=ax2+（a1）
6、2x+a（a1）2ex（其中aR）（）若x=0为f（x）的极值点，求a的值；（）在（）的条件下，解不等式f（x）（x1）（+x+1）；（）若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求实数a的取值范围2016-2017学年河南省南阳一中高三（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1函数y=的定义域为（）A（2，1）B2，1C（0，1）D（0，1【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可【解答】解：由题意得：，解得：0x1，故选：C2已知复
7、数z=（i为虚数单位），则复数z的共扼复数为（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z的共扼复数可求【解答】解：由z=，得故选：A3已知a0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）AxR，f（x）f（x0）BxR，f（x）f（x0）CxR，f（x）f（x0）DxR，f（x）f（x0）【考点】四种命题的真假关系【分析】由x0满足关于x的方程2ax+b=0得出x=x0是二次函数的对称轴，由a0可知二次函数有最小值【解答】解：x0满足关于x的方程2ax+b=0，a0，函数f（x）
8、在x=x0处取到最小值是等价于xR，f（x）f（x0），所以命题C错误答案：C4设2a=5b=m，且，则m=（）AB10C20D100【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可【解答】解：，m2=10，又m0，故选A5已知点A（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，设C（1，0），COB=，则tan=（）ABCD【考点】任意角的三角函数的定义【分析】设直线OA的倾斜角为，则tan=，再根据=+，求得tan=tan（+）的值【解答】解：由题意，设直线OA的倾斜角为，则tan=，=+，tan=tan（+）=，故选：D6平面向量，共线的
9、充要条件是（）A，方向相同B，两向量中至少有一个为零向量CR，D存在不全为零的实数1，2，【考点】向量的共线定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据向量共线定理，即非零向量与向量共线的充要条件是必存在唯一实数使得成立，即可得到答案【解答】解：若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数1，2，使得；若，则由两向量共线知，存在0，使得，即，符合题意，故选D7已知关于x的不等式的解集为P，若1P，则实数a的取值范围为（）A（，10，+）B1，0C（，1）（0，+）D（1，0【考点】一元二次不等式的应用【分析】由题意可得，或式子无意义，即或a=1由此解得a的取值范围【解答】解：由题
10、意可得，或式子无意义化简可得，或a=1解得1a0故选B8已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3=15，且，则a2=（）A2BC3D【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质【分析】本题考查的知识点是等差数列的前n项和，及等差数列的性质，由数列an是等差数列，a1a2a3=15，且，我们易得到一个关于a2的方程，解方程即可求出a2的值【解答】解：数列an是等差数列，S1=a1，S3=3a2，S5=5a3，又又a1a2a3=15，a2=3故选C9设x，y满足约束条件，当且仅当x=y=4时，z=axy取得最小值，则实数a的取值范围是（）A1，1B（，1）C（0，1）D（，1）（1，
11、+）【考点】简单线性规划【分析】作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数可得y=axz，其中直线斜率为a，截距为z，由题意可得a的范围【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=ax+z，其中直线斜率为a，截距为z，z=axy取得最小值的最优解仅为点A（4，4），直线的斜率a1，即实数a的取值范围为（，1）故选：B10已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）f（x）f（x0+2016）成立，则的最小值为（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【分析】由题意可得区间x0，x0+2
12、016能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（2x+）+，再根据2016，求得的最小值【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016）是函数f（x）的最大值显然要使结论成立，只需保证区间x0，x0+2016能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可又f（x）=cosx（sinx+cosx）=sin2x+=sin（2x+）+，故2016，求得，故则的最小值为，故选：D11若函数f（x）=loga（x32x）（a0且a1）在区间（，1）内恒有f（x）0，则f（x）的单调递减区间为（）A（，），（，+）B（，），（，+）C（，），（
13、，+）D（，）【考点】复合函数的单调性【分析】求函数的定义域，利用换元法结合条件判断a的取值范围，利用复合函数和导数即可求出函数单调递减区间【解答】解：设t=g（t）=x32x，由t=0得x（x22）=0，则x=0，或x=或x=，由x32x0得x0或x，g（t）=3x22，当x1时，g（t）0，此时函数g（t）为增函数，则0g（t）1，若a1，则y=logat0恒成立，则不满足条件f（x）0，若0a1，则y=logat0恒成立，满足条件，即0a1，要求函数f（x）的单调递减区间，即求函数t=g（t）=x32x的递增区间，由g（t）=3x220得x或x，x0或x，x或x，即函数f（x）的单调递减
14、区间为（，），（，+），故选：B12已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）+（m+1）f（x）+m+4=0（mR）有四个相异的实数根，则m的取值范围是（）A（4，e）B（4，3）C（e，3）D（e，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，利用换元法，设t=f（x），将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论【解答】解：f（x）=，由x0时，f（x）=的导数为f（x）=，可得x1，f（x）递增，0x1时f（x）递减，x=1处取得极小值e；当x0时，f（x）=的导数为f（x）=，可得x0时f（x）递增，作出函数f（x）对应的图象如图：设
15、t=f（x），方程f2（x）+（m+1）f（x）+m+4=0等价为t2+（m+1）t+m+4=0，由题意结合图象可得0，且0t1e且t2e，即有（m+1）24（m+4）0，解得m5或m3，由f（t）=t2+（m+1）t+m+4，可得f（0）0，f（e）0，即为m4，me，由可得4me故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13在ABC中，A=90，AB=3，AC=2， =2，则=6【考点】平面向量数量积的运算【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，由向量共线的知识可得=+，再由向量的数量积的性质即可得到所求值【解答】解：A=90，AB=3，AC=2，可得=0，=2，即为=2（），
16、即有=+，则=（+）=+2=0+9=6故答案为：614已知函数f（x）=x，则方程f（x1）=f（x23x+2）的所有实根构成的集合的非空子集个数为7【考点】函数的零点与方程根的关系；子集与真子集【分析】由题意可判断函数f（x）是R上的偶函数，且可判断在0，+）上是增函数；从而可得x1=x22x+1或x1=（x22x+1），从而解得，即可求出子集的个数【解答】解：f（x）=xf（x）=（x）（）=x（）=x=f（x），函数f（x）是R上的偶函数，f（x）=+，当x0时，f（x）0；故函数f（x）在0，+）上是增函数；f（x1）=f（x22x+1），x1=x22x+1或x1=（x22x+1），x
17、=1或x=2或x=0，所有实根构成的集合的非空子集个数为231=7故答案为：715数列an满足an+1+（1）n an=2n（nN*），则an的前40项和为【考点】数列的求和【分析】由已知数列递推式可得a2k1+a2k+a2k+1+a2k+2=取k=1，3，5，19，作和得答案【解答】解：由an+1+（1）n an=2n（nN*），当n=2k时，有a2k+1+a2k=22k，当n=2k1时，有a2ka2k1=22k1，当n=2k+1时，有a2k+2a2k+1=22k+1，得：a2k+1+a2k1=22k1，+得：a2k+2+a2k=322k，a2k1+a2k+a2k+1+a2k+2=S40=故
18、答案为：16已知a2+4b2=1，则2a2+4ab的最大值为【考点】基本不等式【分析】利用换元法转化为三角函数，利用三角函数的有界性求解【解答】解：a2+4b2=1，设a=cos，b=sin，（0，）则2a2+4ab=2cos2+4cossin=1+cos2+sin2=1+sin（2+），sin（2+）的最大值为1，2a2+4ab=1+sin（2+）的最大值为：1+故答案为：1+三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知函数f（x）=（1+）sin2x+msin（x+）sin（x）（1）当m=0时，求f（x）在区间，上的取值范围；（2）当tana=2时，f（a）=，求m的值【考点】两角和与
19、差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；正弦函数的定义域和值域【分析】（1）当m=0时，利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 +sin（2x），再根据x的范围，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间，上的取值范围（2）由tana=2时，f（a）=，利用同角三角函数的基本关系求得 sin2a=，cos2a=化简tan（a） 等于，可得=，由此解得m的值【解答】解：（1）当m=0时，函数f（x）=（1+）sin2x=sin2x=sin2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x）x，02x，sin（2x）1，0f（x），故f（x）在区间，上的取值范围为0，（2）当tan
20、a=2时，f（a）=，sin2a=，cos2a=再由f（a）=（1+ ）sin2a+msin（a+）sin（a）=sin2a+m（sin2acos2a ）=，可得=，解得m=218数列an满足a1=1，an+1=（nN+），（1）证明为等差数列并求an；（2）设Sn=a12+a22+an2，bn=S2n+1Sn，是否存在最小的正整数m，使对任意nN+，有bn成立？设若存在，求出m的值，若不存在，说明理由【考点】数列的求和；等差关系的确定【分析】（1）由，两边平方，取倒数化为，利用等差数列的通项公式即可得出（2）bn=S2n+1Sn，可得bn+1=S2n+3Sn+1，作差，代入化简可得其单调性进
21、而得出【解答】（1）证明：，即，为等差数列，又由题知an0，（2）解：bn=S2n+1Sn，bn+1=S2n+3Sn+1，=，bn+1bn即数列bn为递减数列，则要使恒成立，只需，存在最小的正整数m=8，使对任意nN+，有成立19已知mR，设P：x1和x2是方程x2ax2=0的两个实根，不等式|m25m3|x1x2|对任意实数a1，1恒成立Q：函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+6在（，+）上有极值求使P正确且Q正确的m的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】由题设知x1+x2=a且x1+x2=2，所以，3，由题意，不等式|m25m3|x1x2|对任意实数a1，1恒成立的m的解集等于
22、不等式|m25m3|3的解集，由此知当m1或0m5或m6时，P是正确的，由题设能够得到当且仅当0时，函数f（x）在（，+）上有极值由=4m212m160得m1或m4时，Q是正确得由此可知使P正确且Q正确时，求出实数m的取值范围【解答】解：由题设x1和x2是方程x2ax2=0的两个实根，得x1+x2=a且x1x2=2，所以，当a1，1时，a2+8的最大值为9，即|x1x2|3由题意，不等式|m25m3|x1x2|对任意实数a1，1恒成立的m的解集等于不等式|m25m3|3的解集，由此不等式得m25m33或m25m33不等式的解为0m5不等式的解为m1或m6因为，对m1或0m5或m6时，P是正确的
23、对函数求导令f（x）=0，即此一元二次不等式的判别式若=0，则f（x）=0有两个相等的实根x0，且f（x）的符号如下：x（，x0） x0（x0，+）f（x）+0+因此，f（x0）不是函数f（x）的极值若0，则f（x）=0有两个不相等的实根x1和x2（x1x2），且f（x）的符号如下：x（，x0）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+因此，函数f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值综上所述，当且仅当0时，函数f（x）在（，+）上有极值由=4m212m160得m1或m4，因为，当m1或m4时，Q是正确的综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为（，1）（4，56，+）
24、20数列an的前n项和记为 Sn，a1=2，an+1=Sn+n，等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且 T3=9，又 a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列（）求an，bn的通项公式；（）求证：当n2时， +【考点】数列的求和【分析】（）由an+1=Sn+n，得an=Sn1+（n1）（n2），两式相减，结合等比数列的定义和通项，即可得到an的通项；再由等比数列的性质，求得等差数列bn的首项和公差，即可得到所求通项；（）=（），再由裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证【解答】解：（）由an+1=Sn+n，得an=Sn1+（n1）（n2），两式相减得an+1an=SnSn1+1=a
25、n+1，所以an+1=2an+1，所以an+1+1=2（an+1）（n2），又a2=3所以an+1=2n2（a2+1），从而an=2n1（n2），而a1=2，不符合上式，所以an=；因为bn为等差数列，且前三项的和T3=9，所以b2=3，可设b1=3d，b3=3+d，由于a1=2，a2=3，a3=7，于是a1+b1=5d，a2+b2=6，a3+b3=10+d，因为a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列所以（5d）（10+d）=36，d=2或d=7（舍），所以bn=b1+（n1）d=1+2（n1）=2n1；（）证明：因为=（）所以，当n2时， +=+1+ （1）+（）+（）=1+（1）1+
26、=则有当n2时， +21在ABC中，点D为边BC的中点，BAD=90（1）若cosB=，求cosC；（2）求cosC的取值范围【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）设AB=2，可求BD，BC的值，利用余弦定理可求AC，进而由余弦定理可求cosC的值（2）设BD=CD=x，AC=y，由正弦定理得，两式相除，利用两角和与差的正切函数公式可求tanC=，结合B的范围，进而计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）在RtABD中，设AB=2，BD=3，BC=2BD=6，在ABC中，由余弦定理得，AC2=AB2+BC22ABBCcosB=22+62，在ABC中，由余弦定理得，（2）设BD=CD=x
27、，AC=y，由题可得，在ABC中，由正弦定理得，在ADC中，由正弦定理得，即，得，tan（B+C）=2tanB，tanC=tan（B+C）B）=，由题知，tanB（0，+），可求22已知函数f（x）=ax2+（a1）2x+a（a1）2ex（其中aR）（）若x=0为f（x）的极值点，求a的值；（）在（）的条件下，解不等式f（x）（x1）（+x+1）；（）若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求实数a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）利用导数求极值，由x=0为f（x）的极值点得，f（0）=ae0=0，即得a的值；（
28、2）由不等式得，（x1）ex（x2+x+1）0，利用导数判断函数g（x）=）ex（x2+x+1）的单调性，进而得证；（3）由导数与函数单调性的关系，通过讨论求得a的范围【解答】解：（）因为f（x）=ax2+（a1）2x+a（a1）2ex所以f（x）=2ax+（a1）2ex+ax2+（a1）2x+a（a1）2ex=ax2+（a2+1）x+aex因为x=0为f（x）的极值点，所以由f（0）=ae0=0，解得a=0检验，当a=0时，f（x）=xex，当x0时，f（x）0，当x0时，f（x）0，所以x=0为f（x）的极值点，故a=0（） 当a=0时，不等式不等式（x1）ex（x1）（x2+x+1），整
29、理得（x1）ex（x2+x+1）0，即或令g（x）=）ex（x2+x+1），h（x）=g（x）=ex（x+1），h（x）=ex1，当x0时，h（x）=ex10，当x0时，h（x）=ex10，所以h（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增，所以h（x）h（0）=0，即g（x）0，所以g（x）在R上单调递增，而g（0）=0；故ex（x2+x+1）0x0；ex（x2+x+1）0x0，所以原不等式的解集为x|x0或x1；（） 当a0时，f（x）=ax2+（a2+1）x+aex，因为x（1，2），所以f（x）0，所以f（x）在（1，2）上是增函数当a0时，f（x）=a（x+a）（x+）ex，x（1，2）时，f（x）是增函数，f（x）0若a1，则f（x）=a（x+a）（x+）ex0x（，a），由（1，2）（，a）得a2；若1a0，则f（x）=a（x+a）（x+）ex0x（a，），由（1，2）（a，）得a0若a=1，f（x）=（x1）2ex0，不合题意，舍去综上可得，实数a的取值范围是（，2，+）2017年1月8日
