1、四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三数学下学期第二次月考试题 理（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，若复数满足，则复数的实部与虚部的和是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析：，故复数的实部与虚部的和是2，选C考点：
2、复数的运算2.设全集，集合，B=x|1，则=（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由对数不等式的单调性解对数不等式得：，又，求交集得结果【详解】解对数不等式得：，即， 又， 所以， 故选【点睛】本题考查了对数不等式的解法及交集的运算，属简单题3.已知向量，若，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由，利用向量数量积的坐标运算得出关于的方程求解即可得到答案详解：，则，即解得故选点睛：本题主要考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，属于基础题，只要按照公式计算即可得出结果4.如图所示的是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比
3、赛得分的平均数分别为，标准差分别为，则有（ ） A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】在茎叶图中，甲的数据位于茎叶图的左上方，乙的数据位于茎叶图的右下方，甲的数据相对分散，乙的数据相对集中，由此能求结果【详解】由茎叶图得到甲数据位于茎叶图的左上方，乙的数据位于茎叶图的右下方，甲的数据相对分散，乙的数据相对集中，茎叶图中的数据越往下越大，故选C【点睛】本题考查两组数据的平均数、标准差的大小的比较，涉及到茎叶图、平均数、标准差等基础知识，属于基础题5.若，则实数，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的
4、运算和性质，比较两个数的大小.【详解】，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.6.函数在上的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】先分析奇偶性，可排除两个选项A、C，然后从特殊值角度研究，计算和，比较它们绝对值的大小，可得正确选项。【详解】，是偶函数，排除A、C，易知，B不符，只有D满足。故选：D。【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可先研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性、周期性等，排除一些选项，然后研究函数特殊值、特殊点再排除一些选项，最后只剩一个正确
5、选项为止。7.若函数的极小值为-1，则函数的极大值为A. 3B. -1C. D. 2【答案】A【解析】分析：求出导函数，确定极小值点和极大值点，由极小值确定，再求得极大值详解：，显然当时，当时，是极大值点，1是极小值点，于是有，从而，即极大值为3故选A点睛：本题考查用导数求函数的极值解题时求出导函数，解不等式（或）确定函数的单调区间，从而可得极值点8.已知是定义在R上的偶函数，且满足， 当，则（ ）A. -1.5B. -0.5C. 0.5D. 1.5【答案】D【解析】【分析】由题意，函数是定义在R上的偶函数，且是以3为周期的周期函数，利用函数的周期和奇偶性，即可求解，得到答案.【详解】由题意，
6、函数是定义在R上的偶函数，且满足， 则函数是以3为周期的周期函数，又由，则，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数的奇偶性的应用，其中解答中得出函数是以为周期的周期函数，进而利用函数的奇偶性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.已知函数，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数的周期为B. 函数的图像关于点对称C. 将函数的图像向右平行移动个单位得到函数的图像D. 函数的图像关于直线对称【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的性质，对四个选项逐一分析，由此得到说法不正确的选项.【详解】的最小正周期为，故A选项正确.，故B选项正确. 将函数的图像向右平行移动
7、个单位得到函数，故C选项正确.，故不是的对称轴，即D选项说法错误.所以本小题选D.【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查三角函数的对称性，考查三角函数图像变换，属于基础题.10.已知点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设抛物线上点的坐标为 圆心 与抛物线上的点的距离的平方： 令 ，则 ，由导函数与原函数的关系可得函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，函数的最小值为 ，由几何关系可得：的最小值为 .本题选择A选项.11.在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D. 【答案】C
8、【解析】【分析】首先确定三角形为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积【详解】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形所以：，在中，设外接圆的直径为，则：，所以：外接球的半径，则：，故选C【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用12.已知有穷数列中，且，从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（ ）A. B. C. D. 与的大
9、小关系不确定【答案】A【解析】因为，所以，当时，是中第365项，符合题意，所以,所以，选A.第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若满足约束条件，则的最大值为_.【答案】9【解析】【分析】利用数形结合画出可行域，然后利用目标函数的一条等值线，根据或含的式子的含义，将该等值线在可行域中移动，找到目标函数取最大值的最优解，可得结果.【详解】如图令，则可得目标函数的一条等值线将该等值线沿着的负半轴移到点，可得点即目标函数取最大值的最优解，则所以故答案为：【点睛】本题考查线性规划，基本步骤：（1）画出可行域；（2）作出目标函数的一条等值线，然后根据或含的式子
10、的含义，在可行域中移动该等值线，找到最优解，属基础题.14.设集合，且，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】解绝对值不等式，可得集合，然后根据集合与集合之间的关系，可得，简单计算，可得结果.【详解】由，所以则，由，则又，所以故答案为：【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，熟悉口诀：大于取两边小于取中间，还考查集合的基本关系，关键在于列出式子，属基础题.15.在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有_种.（用数字填写答案）【答案】24
11、【解析】分析】对男教师的位置分4类，计算出各类的安排种数为，问题得解【详解】把6个节目按照先后出场顺序依次记为编号1，2，3，4，5，6，则3名男教师只有、共4种位置安排，由于夫妻教师的节目又不能相邻，可得以上4种安排的每种安排里，3名女教师的安排均是1种，故该6名教师的节目不同的编排顺序共有种.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，考查了分类思想，属于基础题16.已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：由可知，当时，两式相减得：,所以，又，所以，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，故，所以，所以，故，即的最小值为考点：1与
12、的关系；2递推公式与通项公式求法；3等比数列定义与性质；4基本不等式【方法点睛】本题综合考查数列通项与前项和的关系、由递推关系求数列通项公式、等比数列和等差数列的定义性质、基本不等式等知识，属难题解题时，首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出的最小值三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某花圃为
13、提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗为观测其生长情况，分别在A，B试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块实验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关优质花苗非优质花苗合计甲培育法20乙培育法10合计附：下面的临界值表仅供参考015010005002500100005
14、000120722706384150246635787910828（参考公式：，其中）【答案】（1），82.5；（2）分布列见解析，；（3）列联表见解析，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【解析】【分析】（1）根据各段的频率之和为1，可得，然后假设中位数，并根据在中位数的左右两边的频率均为，简单计算，可得结果.（2）假设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X，可知，然后计算相对应颗数的概率，画出分布列，最后根据期望的计算公式，可得结果.（3）先计算出优质花苗的频率，然后可得优质花苗的颗数，进一步得出其他的数据，最后计算，根据表格进行比较，可得结果.【详解】（1）由，解得令得分中位数为x，由
15、，解得故综合评分的中位数为82.5（2）由（1）与频率分布直方图 ，优质花苗的频率为 ，即概率为，设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X，则， ；其分布列为：X0123P所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望（3）结合（1）与频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本中，优质花苗的颗数为60棵，列联表如下表所示：优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050乙培育法401050合计6040100可得所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查了分布列以及二项分布，还考查了统计量的计算，重在于掌握公式，考验对数据的处理，属基础题.18.已知向量与共线，其中A是
16、ABC的内角（1）求角的大小； （2）若BC=2，求ABC面积的最大值，并判断S取得最大值时ABC的形状.【答案】（1）（2）ABC为等边三角形【解析】分析：（1）由，得，利用三角恒等变换的公式，求解，进而求解角的大小；（2）由余弦定理，得和三角形的面积公式，利用基本不等式求得，即可判定当时面积最大，得到三角形形状 详解：（1）因为m/n,所以.所以，即， 即. 因为 , 所以. 故，. （2）由余弦定理，得 又， 而，（当且仅当时等号成立） 所以. 当ABC的面积取最大值时，.又，故此时ABC为等边三角形点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通
17、常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.19.如图，在直四棱柱中，底面为梯形，点在线段上，.（1）证明：平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析 (2) 【解析】【分析】（1）连接，证明得到四边形为平行四边形，故得到证明.（2）作于，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴，计算平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）证明：连接，因为底面为梯形，则
18、，且，所以四边形平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.（2）作于，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，.设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得.所以因为二面角为锐角，所以其余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.已知和是平面直角坐标系中两个定点，过动点的直线和的斜率分别为，且.（）求动点的轨迹的方程；（）过点作相互垂直的两条直线与轨迹交于，两点，求证：直线过定点.【答案】（）（）见证明【解析】【分析】（）由，得，化简整理，即可求得曲线的轨迹方程.（）设过点直线方程，联立方程组，
19、解得，代入直线的方程，得到，进而可判定直线过定点【详解】（）由题意，知，得，整理得，故的方程为.（也可以写作）.（）显然两条过点的直线斜率都存在，设过点的直线方程，联立，解得，设直线的方程为：，将，代入得，整理得：，由于两直线垂直，斜率乘积为-1，根据韦达定理，即，故直线过定点.【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21.已知函数在点处的
20、切线方程为（1）求，的值；（2）设函数（），求在上的单调区间；（3）证明：（）【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求解；（2）根据导函数的符号判断函数的单调性；（3）在（2）的基础上当时可得不等式，取，可得，变形后可得，然后把所得式子两边分别相加可得不等式成立试题解析：（1）， ，依题意得 解得（2）由（1）知，故函数在的单调性为：当时，的递减区间为；当时，的递减区间为，递增区间为；当；当（3）由（2）知时， ，即 ，令，得，即,所以，上式中n=1，2，3，n，然后n个不等式相加得（）故不等式成立点睛：对于在函数中的数列不等式的证明，一般要用到前
21、面所得到的函数的性质，构造合适的函数，再通过取特殊值的方法进行证明，在证明中还可能用到数列求和的常见方法，对于这种综合题的解法，要在平时要多观察、多尝试，做好相应的训练（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）直线，直线，若，与曲线分别交于异于极点的，两点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用普通方程与极坐标方程的转化公式，即可得曲线的极坐标方程；（2）把，分别代入曲线的极坐标方程
22、中，即可得到，的长，的坐标以及，最后代入三角形面积公式，即可得到的面积【详解】（1）曲线的普通方程为，即.曲线的极坐标方程为.（2）设，.把代入，得，.把代入，得，.【点睛】本题考查普通方程与极坐标方程的转化： ，考查极坐标的几何意义，考查三角形面积的求法，属于中档题选修4-5：不等式选讲 23.已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法将绝对值函数表示为分段函数 ，解出不等式即可；（2）原题等价于不等式解集非空，只要成立即可，利用绝对值三角不等式求出最小值即可.【详解】（1）当时，函数 .当时，解得，当时，无解；当时，解得.所以的解集为.（2）若，等价于不等式解集非空，而 ，即，解得所以的取值范围是【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
