1、绝密启用前通锡苏2015届高考数学密卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2. 答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4. 作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5. 如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。一、填空题：本大题共1
2、4小题，每小题5分，共计70分1.已知集合，则_.2. 已知复数满足(为虚数单位)，则_.3. 通锡苏学大教育目前有高一、高二、高三年级学生人数分别为人、人、人，现用分层抽样的方法从三个年级中抽取一些学生参加“我为国家添绿色”植树行动，若从高三年级抽取了人，则三个年级共抽取的学生人数应为_.4. 从四个数中随机地选取三个不同的数，则所取三个数能构成等差数列的概率是_.5. 右图是一个算法流程图，则输出的值为_.6. 函数，则函数在区间上的最小值为_.7. 已知圆锥的母线长为，高为，则此圆锥的底面积和侧面积之比为_. 8. 函数在与轴交点处的切线方程为，则_.9. 如图，在直角梯形中，为中点，若
3、，则_. 10. 已知正实数满足，则最小值为_. 11. 一元二次不等式的解集为，则实数的值为_.12. 函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_.13. 已知圆，点为圆与轴正半轴交点，过点的直线与圆交于两点（不同于点），则的最大值为_.14.等比数列的各项均为正数，记前项积为，则满足的最大正整数的值为_.二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分14分) 在中，角的对边分别为，. （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围.16. (本小题满分14分)如图，在正三棱柱中，分别为中点，.求证：（1）直线平面； （2）直
4、线平面.17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，动直线与椭圆相切于点，作垂直于直线，垂足分别为.记，当为左顶点时，.且当时，四边形的周长为.（1）试确定椭圆的标准方程；（2） 求证：为定值.18.(本小题满分16分)如图，折线为一条客机的飞行航线，其中夹角为.若一架客机沿方向飞行至距离点处的点时，发现航线转折点处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界）. 为了保证飞行安全，客机航线需临时调整为.若与的夹角为，在上.已知客机的飞行速度为. （1）当飞机在临时航线上飞行分钟至点时，试用和表示飞机到点的距离； （2）当飞机在临时航线
5、上飞行分钟时，高压气旋半径，且半径增大到时不再继续增大.若与的夹角，试计算飞机在临时航线上是否能安全飞行.19.（本小题满分16分）设函数，其中为常数. （1）若，且与相切，求的值. （2）设函数.（i）当时，若恒成立，求实数的取值范围；（ii）若，试讨论的零点个数.20.（本小题满分16分） 已知数列满足. （1）求及的值； （2）求证：； （3）求数列的前项和.通锡苏学大教育2015届高考数学密卷数学附加题 21 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲
6、（本小题满分10分）如图，已知为的切线，为切点，直线交于点，过点作的垂线交于点,垂足为.证明:.B选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）设矩阵，求曲线在矩阵所对应的的线性变换作用下得到的曲线方程.C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知三点、 （1）若三点共线，求的值； （2）求过三点的圆的极坐标方程.D选修45：不等式选讲（本小题满分10分）实数满足，求证：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)在棱长为的正方体中，点在棱上，且. （1）求直线与平面所成角的正弦
7、值； （2）求二面角的余弦值.23. (本小题满分10分).设，其中.（1） 当时，试比较与的大小；（2） 当时，求证：对恒成立. 绝密启用前通锡苏2015届高考数学密卷参考答案命题人：周城、王力、顾丹丹、薄宏志、叶华兴、唐泽、李雷、梁倞、王举审核人：周坤、李强注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求6. 本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。7. 答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。8. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的
8、条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。9. 作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。10. 如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1. 已知集合，则_.答案：2. 已知复数满足(为虚数单位)，则_.答案：3. 通锡苏学大教育目前有高一、高二、高三年级学生人数分别为人、人、人，现用分层抽样的方法从三个年级中抽取一些学生参加“我为国家添绿色”植树行动，若从高三年级抽取了人，则三个年级共抽取的学生人数应为_. 答案：4. 从四个数中随机地选取三个不同的数，则所取三个数能构成等
9、差数列的概率是_. 答案：5. 右图是一个算法流程图，则输出的值为_.答案： （第5题）6. 函数，则函数在区间上的最小值为_. 答案： 7. 已知圆锥的母线长为，高为，则此圆锥的底面积和侧面积之比为_.答案： 8. 函数在与轴交点处的切线方程为，则_.答案： 9. 如图，在直角梯形中，为中点，若，则_.答案： （第9题） 10. 已知正实数满足，则最小值为_.答案：13. 一元二次不等式的解集为，则实数的值为_.答案：14. 函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_.答案：13. 已知圆，点为圆与轴正半轴交点，过点的直线与圆交于两点（不同于点），则的最大值为_.答案： 14.等
10、比数列的各项均为正数，记前项积为，则满足的最大正整数的值为_.答案： 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分14分) 在中，角的对边分别为，. （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围.解析：（1）由， 易得， 即.（6分） （2）因为，所以 周长=.（10分） 化简得 因为，所以.（14分） 17. (本小题满分14分)如图，在正三棱柱中，分别为中点，.求证：（1）直线平面； （2）直线平面.解析：（1）作中点，连接 为中点 又 四边形为平行四边形 又面，面 面.（6分） （2）连接 三棱柱为正三棱柱 面 面 面 四边形为正
11、方形 又 是平面内的相交直线 面 面 是平面内的相交直线 直线平面.（14分） 17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，动直线与椭圆相切于点，作垂直于直线，垂足分别为.记，当为左顶点时，.且当时，四边形的周长为.（1）试确定椭圆的标准方程；（3） 求证：为定值.解析：（1）因为直线与轴垂直时， 即 易得 当时，为短轴端点，此时 根据题意，易得 故椭圆标准方程为.（5分） （2）当直线斜率不存在时， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，带入椭圆方程，可得 ，整理得 因为直线与椭圆相切，故判别式为零，即，化简可得 .（9分） 易得 则 即为定值.（14分）18.
12、(本小题满分16分)如图，折线为一条客机的飞行航线，其中夹角为.若一架客机沿方向飞行至距离点处的点时，发现航线转折点处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界）. 为了保证飞行安全，客机航线需临时调整为.若与的夹角为，在上.已知客机的飞行速度为. （1）当飞机在临时航线上飞行分钟至点时，试用和表示飞机到点的距离； （2）当飞机在临时航线上飞行分钟时，高压气旋半径，且半径增大到时不再继续增大.若与的夹角，试计算飞机在临时航线上是否能安全飞行.解析：（1）由题意可得， 由余弦定理， 即 .（5分） （2）若，则，由正弦定理易得 ，即.（7分） 飞机在临时航线上飞行总时
13、间为 当高压气旋半径时， （i）当时， 设 则， 即恒成立，单调递增， 又因为经计算得，所以在上恒成立 即，飞机能安全飞行.（12分） （ii）当时， 设 易知在上单调递增，且 所以在上恒成立， 即，飞机能安全飞行.（15分）答：（1）飞机到点的距离 （2）飞机在临时航线上能安全飞行.（16分）19. （本小题满分16分）设函数，其中为常数. （1）若，且与相切，求的值. （2）设函数. （i）当时，若恒成立，求实数的取值范围； （ii）若，试讨论的零点个数.解析：（1）当时， 设切点为 所以切线方程为 又因为切线过 .（3分） （2）（i）当时，恒成立即 ， a） 当时，恒成立，故在上单调递
14、减， 又因为，所以不恒成立，舍去 b） 当时，故在上单调递减， 上单调递增 解得： 综上所述：的取值范围为.（7分） （ii）即， a） 当时，在上，故 在上，故 当时，有唯一一个零点.（9分） b） 当时， ，（舍）， 故在上单调递减， 上单调递增 1）当时，即时有一个零点.（11分） 2）当，即时， 因为在上单调递增，且 则必有 又因为且 故在上必存在一零点 即此时有两个零点.（13分） 3）当，即时， 因为在上单调递减，且 则必有 又因为且 故在上必存在一零点 即此时有两个零点.（15分） 综上所述：当时有一个零点 时有两个零点.（16分）20. （本小题满分16分） 已知数列满足. （
15、1）求及的值； （2）求证：； （3）求数列的前项和.解析：（1） .(2分) （2） 综上，.（8分） （3）由（2）可知 当为奇数时， 当为偶数时， 所以，当为奇数时， ， 当为偶数时， ， 综上，.（16分）通锡苏学大教育2015届高考数学密卷数学附加题 22 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应 的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知为的切线，为切点，直线交于点，过点作的垂线交于点,垂足为.证明:.解析：连接， 是圆的切线 即 为圆的直径，即 即.（10
16、分）B选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）设矩阵，求曲线在矩阵所对应的的线性变换作用下得到的曲线方程.解析：，设曲线上任意一点在矩阵对应的变换下得到 ，则，即，因此，因为点 满足曲线，所以有，因此可得在矩阵所对应的的 线性变换作用下的曲线方程为.（10分）C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知三点、 （1）若三点共线，求的值； （2）求过三点的圆的极坐标方程.解析：（1）由题意知点、直角坐标为、，所以直线的方程是 ，又因为点的直角坐标为，所以， 所以.（5分） （2）因为、，所以过三点的圆的标准方程为 ，整理得，即极坐标方程为 ，整理得.（10分）D选修45：不
17、等式选讲（本小题满分10分）实数满足，求证：.解析：证明： 当且仅当时，不等式等号成立 三个不等式相加可得 .（10分）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤24. (本小题满分10分)在棱长为的正方体中，点在棱上，且. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值.解析：以为正交基底建立空间直角坐标系, 由题意可得 （1）易知 不妨设平面的法向量为则，即 可得平面的法向量为.（3分） 设直线与平面所成的角为 则.（5分） （2）易知， 不妨设平面的法向量为，则，即 可得平面的法向量为 则，所以二面角的余弦值为. .（10分）25. (本小题满分10分).设，其中.（3） 当时，试比较与的大小；（4） 当时，求证：对恒成立.解析：（1）当时， 作差得：.（2分) 时， 时， 时，.（4分） （2）当时， 即对恒成立.（10分）
