1、2015-2016学年湖北省宜昌市部分示范高中联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合A=1，2，3，B=x|x=2k+1，kZ，则AB=（）A1B1，2C1，3D1，2，32若P：2x1，Q：lgx0，则P是Q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知函数，则的值是（）AB9C9D4要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=sin2x的图象沿x轴（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位5函数f（x）=ax（0a1）在区间0，2上的最大值比最小值大，则a的值为（）ABCD6f（x
2、）=3x+3x8，则函数f（x）的零点落在区间（）参考数据：31.253.9，31.55.2A（1，1.25）B（1.25，1.5）C（1.5，2）D不能确定7在ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：5，则cosA的值为（）ABC0D18已知sin+cos=，则sincos的值为（）ABCD9函数f（x）=的单调递增区间是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，0）10如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75、30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A240（1）mB180（1）mC120（1）mD30（+1）m11定义在R上的偶函数f（x）满足
3、f（x）=f（x+2），当x3，4时，f（x）=x2，则（）Af（sin）f（cos）Bf（sin）f（cos）Cf（sin1）f（cos1）Df（sin）f（cos）12德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：f（f（x）=0；函数f（x）是偶函数；任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意xR恒成立；存在三个点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2），C（x3，f（x3），使得ABC为等边三角形其中真命题的个数是（）A4B3C2D1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13函数y=（m2m1
4、）是幂函数，且在x（0，+）上是减函数，则实数m=14曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为15求值： =16角的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tan=；角的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tan=2对于下列结论：P（，）；|PQ|2=；cosPOQ=；POQ的面积为其中所有正确结论的序号有三、解答题（共6小题，满分70分）17设命题p：函数y=lg（x22x+a）的定义域是R，命题q：y=（a1）x为增函数，如果命题“pq”为真，而命题“pq”为假，求实数a的取值范围18某同学用“五点法”画函数f
5、（x）=Asin（x+）+B，A0，0，|在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x+02xx1x2x3Asin（x+）+B000（）请求出上表中的x1、x2、x3，并直接写出函数f（x）的解析式；（）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x），当x0，4时其图象的最高点和最低点分别为P，Q，求与夹角的大小19铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算设行李质量为xkg，托运费用为y元（
6、）写出函数y=f（x）的解析式；（）若行李质量为56kg，托运费用为多少？20已知，记函数（1）求函数f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；（2）求f（x）在0，上的单调递增区间21已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinCbc=0（1）求A的大小 （2）若a=2，b=，求ABC的面积22已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax23x（1）若函数g（x）的图象在点（1，g（1）处的切线平行于x轴，求a的值；（2）若a0，讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1x2，求证：2
7、015-2016学年湖北省宜昌市部分示范高中联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合A=1，2，3，B=x|x=2k+1，kZ，则AB=（）A1B1，2C1，3D1，2，3【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【解答】解：集合A=1，2，3，B=x|x=2k+1，kZ，AB=1，3，故选：C【点评】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2若P：2x1，Q：lgx0，则P是Q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件
8、的判断【专题】简易逻辑【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：关于p：由2x1，解得：x0，关于q：由lgx0，解得：x1，令A=xx0，B=x|x1，则BA，即“xA”是“xB”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础3已知函数，则的值是（）AB9C9D【考点】函数的值【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解【解答】解：，f（）=2，=32=故答案为：故选：A【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用4要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=sin2x的图象沿x轴
9、（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】综合题【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到函数y=cos2x的路线，即可得到选项【解答】解：函数y=cos2x=sin（2x+），所以只需把函数y=sin2x的图象，向左平移个长度单位，即可得到函数y=sin（2x+）=cos2x的图象故选B【点评】本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减注意诱导公式的合理运用5函数f（x）=ax（0a1）在区间0，2上的最大值比最小值大，则a的值为（）ABCD【考点】指数函
10、数的定义、解析式、定义域和值域【专题】函数的性质及应用【分析】根据指数函数为单调函数，故函数f（x）=ax（0a1）在区间0，2在区间1，2上的最大值与最小值的差是，由此构造方程，解方程可得答案【解答】解：函数f（x）=ax（0a1）在区间0，2上为单调递减函数，f（x）max=f（0）=1，f（x）min=f（2）=a2，最大值比最小值大，1a2=，解得a=故选：A【点评】本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，熟练掌握指数函数的单调性是解答的关键6f（x）=3x+3x8，则函数f（x）的零点落在区间（）参考数据：31.253.9，31.55.2A（1，1.25）B（1.25，1.5）C（1
11、.5，2）D不能确定【考点】二分法求方程的近似解【专题】函数的性质及应用【分析】分别求出f（1）、f（1.25）、f（1.5）、f（2），由f（1.5）0，f（1.25）0，能求出零点落在哪个区间【解答】解：因为f（1）=3+28=10，f（1.25）=31.25+31.2583.9+3.758=0.350，f（1.5）=31.5+31.585.2+4.58=1.70，f（2）=32+328=70，所以根据根的存在性定理可知函数的零点落在区间（1.25，1.5）故选：B【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，是基础题，解题时要注意零点存在性定理的合理运用7在ABC中，若sinA：sinB：si
12、nC=3：4：5，则cosA的值为（）ABC0D1【考点】余弦定理【专题】三角函数的求值【分析】已知等式利用正弦定理化简求出三边之比，设出三边长，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入即可求出cosA的值【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：a：b：c=3：4：5，设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理得：cosA=故选：B【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键8已知sin+cos=，则sincos的值为（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】三角函数的求值【分析】由题意可得可得1cossin0，2sincos=，再根据sincos=，计算求得结果【
13、解答】解：由sin+cos=，可得1cossin0，1+2sincos=，2sincos=sincos=，故选：B【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数、余弦函数的定义域和值域，属于基础题9函数f（x）=的单调递增区间是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，0）【考点】对数函数的单调区间【专题】计算题【分析】根据复合函数的同增异减原则，函数的增区间即u=x22x的单调减区间【解答】解：函数f（x）=的定义域为：2，+）（，0），设，函数的单调增区间即u=x22x的单调减区间，u=x22x的单调减区间为（，0）故选D【点评】本题考查了复合函数的单调性，遵循同增异减原则10如图
14、，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75、30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A240（1）mB180（1）mC120（1）mD30（+1）m【考点】解三角形的实际应用；余弦定理的应用【专题】解三角形【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案【解答】解：如图，由图可知，DAB=15，tan15=tan（4530）=在RtADB中，又AD=60，DB=ADtan15=60（2）=12060在RtADC中，DAC=60，AD=60，DC=ADtan60=60BC=DCDB=60（12060）
15、=120（）（m）河流的宽度BC等于120（）m故选：C【点评】本题考查了解三角形的实际应用，考查了两角差的正切，训练了直角三角形的解法，是中档题11定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x3，4时，f（x）=x2，则（）Af（sin）f（cos）Bf（sin）f（cos）Cf（sin1）f（cos1）Df（sin）f（cos）【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性【专题】证明题；压轴题；探究型【分析】观察题设条件与选项选项中的数都是（0，1）的数，故应找出函数在（0，1）上的单调性，用单调性比较大小【解答】解：x3，4时，f（x）=x2，故偶函数f（x）在3，4上是增函
16、数，又定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2所以偶函数f（x）在（1，0）上是增函数，所以f（x）在（0，1）上是减函数，观察四个选项A中sincos，故A不对；B选项中sincos，故B不对；C选项中sin1cos1，故C对；D亦不对综上，选项C是正确的故应选C【点评】本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小，构思新颖，能开拓答题者的思维深度12德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：f（f（x）=0；函数f（x）是偶函数；任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意xR
17、恒成立；存在三个点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2），C（x3，f（x3），使得ABC为等边三角形其中真命题的个数是（）A4B3C2D1【考点】分段函数的应用【专题】空间位置关系与距离【分析】根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x）=1；根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；取x1=，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（，0），三点恰好构成等边三角形【解答】解：当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，当x为有理数时，ff（x）=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x）=f（
18、0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x）=1，故不正确；接下来判断三个命题的真假有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意xR，都有f（x）=f（x），故正确； 若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对xR恒成立，故正确； 取x1=，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，A（，0），B（0，1），C（，0），恰好ABC为等边三角形，故正确即真命题的个数是3个，故选：B【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了
19、有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13函数y=（m2m1）是幂函数，且在x（0，+）上是减函数，则实数m=2【考点】幂函数的性质【专题】综合题【分析】由幂函数的定义知，其系数值应为1，又在x（0，+）上是减函数，故其幂指数为负，由此即可转化出参数的所满足的条件【解答】解：由题设条件及幂函数的定义知由解得m=2，或m=1，代入验证知m=1不合题意故m=2故答案为2【点评】本题考点是幂函数的性质，考查对幂函数定义的理解与把握，幂函数的定义为：形如y=ax（a0且a1）即为幂函数，其系数为1，这是幂函数的一个重要特征14曲线y=lnx在
20、点M（e，1）处切线的方程为xey=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】由y=lnx，知，故曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，由此能求出曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程【解答】解：y=lnx，曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为：y1=），整理，得xey=0故答案为：xey=0【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，是基础题解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用15求值： =1【考点】两角和与差的正切函数【专题】三角函数的求值【分析】由条件利用两角和的正切公式求得要求式子的值【解答】
21、解： =1，故答案为：1【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题16角的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tan=；角的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tan=2对于下列结论：P（，）；|PQ|2=；cosPOQ=；POQ的面积为其中所有正确结论的序号有【考点】三角函数线【专题】三角函数的求值【分析】利用诱导公式得到OP所对应的角，结合平方关系求解的正余弦值得答案，判断命题；求出Q的坐标，由两点间的距离公式计算|PQ|2，然后判断真假；把两角差的余弦用诱导公式化为正弦，展开后计算得答案，再判断真
22、假；直接由面积公式求值，然后判断真假【解答】解：如图，对于，由tan=，得，又，且，解得：设P（x，y），x=，P（）命题正确；对于，由tan=2，得，又sin2+cos2=1，且，解得：Q（）|PQ|2=命题正确；对于，cosPOQ=cos（）=sin（）=sincos+cossin=命题错误；对于，由得：sinPOQ=，命题正确正确的命题是故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数线，训练了三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式的用法，是中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17设命题p：函数y=lg（x22x+a）的定义域是R，命题q：y=（a1）x为增函数，如
23、果命题“pq”为真，而命题“pq”为假，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】分别求出关于p，q成立的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：对于命题p：函数的定义域是R，x22x+a0在R上恒成立，=44a0，解得：a1；对于命题q：y=（a1）x为增函数，只需a11，解得：a2，又命题“pq”为真，而命题“pq”为假，命题p与命题q一真一假，综上所述，实数a的取值范围为（1，2【点评】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数、指数函数的性质，是一道基础题18某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+）+B，A0，0，|在某一个
24、周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x+02xx1x2x3Asin（x+）+B000（）请求出上表中的x1、x2、x3，并直接写出函数f（x）的解析式；（）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x），当x0，4时其图象的最高点和最低点分别为P，Q，求与夹角的大小【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；五点法作函数y=Asin（x+）的图象【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（1），由，解得x1、x2、x3的值，再求得A，B即可得解函数f（x）的解析式（2）根据三角函数图象变换规律可得：，求得图象的最高点和最低点P，Q的坐标，可得向量与坐标
25、，由平面向量的数量积运算即可求得夹角的大小【解答】解：（1）（2），（5）又，；（6）（2）将f（x）的图象向右平移个单位后得到（8）故最高点为，最低点为则，则（10）故（12）【点评】本题主要考查了五点法作正弦函数的图象，三角函数的图象变换规律，考查了平面向量及其应用，熟练掌握和灵活应用相关公式及定理是解题的关键，属于中档题19铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算设行李质量为xkg，托运费用为y元（）写
26、出函数y=f（x）的解析式；（）若行李质量为56kg，托运费用为多少？【考点】分段函数的应用【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（）对x讨论，若0x50，若50x100，若x100，求得f（x）的解析式；（）对自变量的范围考虑，选择第二段，代入计算即可得到托运费【解答】解：（）（1）若0x50，则y=0.25x； （2）若50x100，则y=12.5+0.35（x50）=0.35x5； （3），则y=30+0.45（x100）=0.45x15综上可得，y=；（）因为50kg56kg100kg，所以y=12.5+60.35=14.6（元）则托运费为14.6元【点评】本题考查分段函数及运用，主
27、要考查分段函数的解析式的求法和运用，属于基础题20已知，记函数（1）求函数f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；（2）求f（x）在0，上的单调递增区间【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数中的恒等变换应用；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】（1）根据平面向量的数量积的运算法则列出f（x）的解析式，利用同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由周期公式即可求出f（x）的最小正周期，根据正弦函数的值域即
28、可得到f（x）的最大值和最小值；（2）由第一问确定出的f（x），根据正弦函数的单调递增区间，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的单调递增区间【解答】解：因为，所以=+sin2x+4cos2x=+sin2x=5sin（2x+）+，T=当x时，f（x）的最大值为当x时，f（x）的最小值为（2）f（x）的单调增区间为：，令k=0，k=1，f（x）在0，上的单调递增区间：【点评】此题考查了平面向量的数量积的运算，三角函数的周期及其求法，三角函数的最值，以及正弦函数的单调性利用平面向量的数量积的运算法则及三角函数的恒等变换确定出f（x）的解析式是解本题的关键21已知a，b，c分别为AB
29、C三个内角A，B，C的对边，acosC+asinCbc=0（1）求A的大小 （2）若a=2，b=，求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【专题】解三角形【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理化简已知等式可得sin（A30）=，结合A的范围即可得解A的值（2）由余弦定理可解得c的值，利用三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理得：acosC+asinCbc=0，sinAcosCsinAsinC=sinB+sinCsinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinCsinAcosA=1sin（A30）=A30=30A=60，（2
30、）由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，4=3+c22c，解得：c=，c0，c=SABC=【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的综合应用，熟练掌握灵活应用相关公式及定理是解题的关键，属于中档题22已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax23x（1）若函数g（x）的图象在点（1，g（1）处的切线平行于x轴，求a的值；（2）若a0，讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1x2，求证：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【
31、专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）利用斜率计算公式，令h（x）=xx1lnx+x1lnx1x1，及令m（x）=xx2lnx+x2lnx2x2，通过求导得到其单调性即可证明【解答】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax23x，则g（x）=+2ax3，由函数g（x）的图象在点（1，g（1）处的切线平行于x轴可得，g（1）=1+2a3=0，a=1；（2）g（x）=lnx+ax23x，则g（x）=+2ax3=，设t（x）=2ax23x+1，=98a，
32、当0a时，设t（x）=0的两根为x1=，x2=，由g（x）0可得xx2，或0xx1；由g（x）0可得xx2，或x1xx2，即g（x）的单调增区间为（0，），（，+）；单调减区间为（，）；当a时，2ax23x+10恒成立，g（x）0恒成立，g（x）的单调增区间为（0，+）；（3）证明：依题意得k=，kx1lnx2x1lnx1x2x1x2lnx2x2lnx1，令h（x）=xx1lnx+x1lnx1x1，则h（x）=1，当xx1时，h（x）0，函数h（x）在（x1，+）单调递增，当x2x1时，h（x2）h（x1）=0，即x1lnx2x1lnx1x2x1令m（x）=xx2lnx+x2lnx2x2，则m（x）=1，当xx2时，m（x）0，函数m（x）在（0，x2）单调递减，当x1x2时，m（x1）h（x2）=0，即x2x1x2lnx2x2lnx1；所以命题得证【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数是解题的关键
