1、四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三数学下学期第四学月考试试题 文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再求解.【详解】因为，所
2、以，因为，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2. 已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将变形成，利用复数的乘除运算求解即可.【详解】由题意，所以故选：B【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查学生计算能力，属于基础题.3. 为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A. 乙的数据分析素养优于甲B. 乙的数学建模素养优
3、于数学抽象素养C. 甲的六大素养指标值波动性比乙小D. 甲的六大素养中直观想象最差【答案】C【解析】【分析】根据所给的六大素养雷达图逐个分析即可.【详解】A选项,甲的数据分析素养为分, 乙的数据分析素养为分, 乙的数据分析素养低于甲,选项错误;B选项,乙的数学建模素养为分, 乙的数学抽象为素养分,选项错误;C选项, 甲的六大素养指标值分别为,;乙的六大素养指标值分别为,甲的六大素养指标值波动性比乙小,选项正确;D选项,由C可知,甲的六大素养中,数学抽象,数学建模和数学运算最差,直观想象最最好,选项错误;故选C.【点睛】本题考查了命题真假的判断以及统计图雷达图的识别和应用,考查学生简单的推理,属
4、于基础题.4. 已知Sn为等比数列an的前n项和，a516，a3a432，则S8（ ）A. 21B. 24C. 85D. 85【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质求得a1q416，a12q532，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.【详解】设等比数列an的公比为q，a516，a3a432，a1q416，a12q532，q2，则，则，故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.5. 已知向量，则（ ）A. 7B. 8C. D. 9【答案】C【解析】【分析】根据计算，得到，计算得到答案
5、.【详解】因为，所以，所以.故选：【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.6. 若，则实数之间的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用中间1和2进行比较可得答案.【详解】因为，;所以.故选：A【点睛】本题主要考查比较指数式和对数式的大小，一般是利用函数的单调性结合中间值进行比较，侧重考查数学抽象的核心素养.7. 函数的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性可以排除部分选项，再利用特殊值进行排除，可得正确结果.【详解】因为，所以是偶函数，排除选项A；当，排除选项D；当，排除选项C；故选：B.【点睛】本题
6、主要考查函数图象的识别，利用函数的性质及特殊值，采用排除法是这类问题的常用方法，侧重考查直观想象的核心素养.8. 若，则的值是（ ）A. 1B. -1C. D. 【答案】B【解析】【分析】由得，解出，再利用二倍角公式和平方关系化简，将代入求解即可.【详解】由题意，解得，故选：B【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式和平方关系的应用，考查学生转化和计算能力，属于中档题.9. 甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C【解析】【分析
7、】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.【详解】假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲
8、也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.综上所述，年纪最大的是丙故选：C.【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.10. 过抛物线：的焦点，且倾斜角为的直线与物线交于，两点，若，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，设直线方程，代入抛物线方程并整理得，利用韦达定理分别表示出和，再由弦长公式表示出，求解出，即可得到抛物线方程.【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为，设过
9、抛物线焦点，倾斜角为的直线方程：，代入抛物线方程并整理得，设点，点，则，由弦长公式，解得，所以抛物线方程为：故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的应用和弦长公式，注意韦达定理的应用，考查学生计算能力，属于中档题.11. 过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，是的中点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】推导出双曲线渐近线的倾斜角为和，可得，进而可求得该双曲线的离心率.【详解】如下图所示，设点关于轴的对称点为点，由于，且为的中点，且渐近线关于纵轴对称，则，因此，该双曲线的离心率为.故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，求出双曲线
10、渐近线的倾斜角是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12. 定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，判断为偶函数，且在上单调递增，再计算函数值比较大小得到答案.【详解】构造函数，因为，所以则，所以为偶数当时，所以在上单调递增，所以有，则，即，即.故选【点睛】本题考查了函数的综合应用，构造函数判断其奇偶性和单调性是解题的关键.第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消
11、费结构越完善，生活水平越高.某学校社会调查小组得到如下数据：年个人消费支出总额x/万元11.522.53恩格尔系数y0.90.80.502m经计算年个人消费支出总额x与恩格尔系数y满足线性回归方程，则_.【答案】0.1【解析】【分析】求出，代入线性回归方程，求出，即可求出结论.【详解】由条件得，则.故答案为:0.1.【点睛】本题考查样本中心点与线性回归直线的关系，属于基础题.14. 已知满足约束条件，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】画出可行域，目标函数的几何意义为可行域内的点与点的连线的斜率，数形结合即可解得.【详解】解：，画出可行域如下图所示：由，可知其几何意义为可行域内的点与点的连
12、线的斜率，结合图象可知，.故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键是理解目标函数的几何意义，属于基础题.15. 海伦公式亦叫海伦秦九昭公式.相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现的海伦的著作测地术中，所以被称为海伦公式.它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中，分别是三角形的三边长，.已知一根长为的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先根据题意，得到，设，则，根据，由基本不等式，即可求出结果.【详解】由海伦公式可知，不妨设，则，则.当且仅当，即时，等号成立.故
13、答案为：.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.16. 在四棱锥中，底面，则四棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】推导出，从而可求得四边形的外接圆半径，再由平面可得出可求得外接球的半径，结合球体表面积公式可得出结果.【详解】，由余弦定理得，则，同理可知，四边形的外接圆半径为，平面，所以，该四棱锥的外接球半径为，因此，四棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必
14、须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污染，缓解城市交通压力的一种重要手段为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了人进行问卷调查，得到这人对共享单车的评价得分统计填入茎叶图，如下所示（满分分）：（1）找出居民问卷得分的众数和中位数；（2）请计算这位居民问卷的平均得分；（3）若在成绩为分的居民中随机抽取人，求恰有人成绩超过分的概率【答案】（1）众数为，中位数为；（2）88（3）【解析】【分析】（1）由茎叶图中的数据，结合众数，中位数的定义即可得出
15、答案；（2）由茎叶图中的数据，结合平均数的定义，即可得出这位居民问卷的平均得分；（3）由古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）依题意，居民问卷得分的众数为，中位数为；（2）依题意，所求平均得分为（3）依题意，从人中任选人，可能的情况为，其中满足条件的为种，故所求概率；【点睛】本题主要考查了由茎叶图计算众数，中位数，平均数以及利用古典概型概率公式计算概率，属于中档题.18. 在中，角的对边分别为，.（1）求的值；（2）求值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式得到，利用正弦定理得到答案.（2）先计算得到，再利用正弦定理计算得到答案.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，因
16、为，所以；（2）因为，所以，所以.因为，所以，故.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力，也可以利用余弦定理解得答案.19. 如图，四棱锥的底面为矩形，侧面底面且，.（1）证明：；（2）若，且四棱锥的体积为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，先证明，再证明得到平面，得到证明.（2）根据体积公式得到，再计算，再利用等体积法计算得到距离.【详解】（1）证明：取的中点，连接.因为，为的中点，所以，又因为平面平面，且交线为，所以平面，所以，又因为，底面为矩形，所以，且，所以，所以，则，即，又，所以平面，所以；（2）因为，所以四棱锥
17、的体积，解得，因为平面平面，且交线为，所以平面，则，故，设点到平面的距离为，因为，所以，解得，即点到平面的距离为.【点睛】本题考查了线线垂直，点到平面的距离，利用等体积法可以简化运算，是解题的关键.20. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定和的解，以确定单调区间；（2）由（1）即证，作差，再利用导数证明即可【详解】（1），当时，在时，单调减函数；在时，为单调增函数.当时，为单调减函数.当时，在时，为单调减函数；在时，为单调增函数.（2）由（1）知，当时，令，则，解得，y在单调递减，
18、在单调递增，即，.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式，解题时注意问题的转化一是恒成立的转化，二是转化为求函数最小值21. 已知圆，动圆与圆外切，且与直线相切，该动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程（2）过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点A的切线与交于点N，求面积的最小值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）先设，动圆半径为，根据题意，列出等量关系，化简整理，即可得出曲线方程；（2）设，依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及弦长公式，表示出，再表示出过点点的切线方程，求出点，根据点到直线距离公式，以及三角
19、形面积公式，得到，即可得出结果.【详解】（1）设，动圆半径为，因为动圆与圆外切，所以，又动圆与直线相切，所以由题意可得：，即，即，整理得：；所以抛物线的方程为.（2）设，依题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为：，联立消去可得，.则.所以. 由，得，所以过点的切线方程为， 又，所以切线方程可化为.令，可得,所以点,所以点到直线的距离， 所以，当时，等号成立 所以面积的最小值为4.【点睛】本题主要考查求轨迹方程，以及抛物线中三角形面积的最值问题，熟记求轨迹方程的一般步骤，以及抛物线的简单性质等即可，属于常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做
20、的第一题计分.22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程，并求的半径；（2）当的半径最小时，曲线与交于，两点，点，求的面积.【答案】（1）圆的直角坐标方程，半径为； （2）.【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化，求出曲线C的直角坐标方程，可得的半径；（2）利用几何意义求得，由此得出结论【详解】（1）由，得，即，此即为的直角坐标方程.的半径为.（2），当时，的半径最小，此时的方程为.因为曲线经过的圆心，且，所以，则，故的面积为.【点睛】本题考查极坐标方程、直角坐标方程的转化，考查了圆的几何意义，属于中档题23. 已
21、知求不等式解集；若时，不等式恒成立，求a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意得|，可得，整理可得，利用一元二次不等式的解法可得结果不；（2），将写出分段函数形式，利用单调性可得时，取得最大值1，所以的取值范围是详解】（1）由题意得|x1|2x1|, 所以|x1|2|2x1|2,整理可得x22x0，解得0x2，故原不等式的解集为x|0x2 （2）由已知可得，af(x)x恒成立，设g(x)f(x)x，则,由g(x)的单调性可知，x时，g(x)取得最大值1，所以a的取值范围是1，）【点睛】绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想；转化法，转化为一元二次不等式或对数、指数不等式.
