1、立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版第十二章极限与导数第讲（第三课时）1立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版题型6 利用导数证明不等式1.证明：对任意的正整数n，不等式都成立.证明：令函数f(x)=x3-x2+ln(x+1)，则.所以当x0，+)时，f(x)0，所以函数f(x)在0，+)上单调递增.又f(0)=0，2立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版所以，当x(0，+)时，恒有f(x)f(0)=0，即x3x2-ln(x+1)恒成立.故当x(0，+)时，有ln(x+1)x2-x3.对任意正整数n，取(0，+)，则有，所以结论成立.点评
2、：利用导数证明不等式，一般是先根据不等式的形式构造相对应的函数，然后利用导数讨论此函数的单调性或最值，进一步得到所需结论.3立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版4立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版5立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版6立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版7立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版题型7 利用导数解决方程根的问题2.设函数f(x)=x-ln(x+m)，其中m为常数.求证:当m1时，方程f(x)=0在区间e-m-m，e2m-m内有两个不等实根.证明：当m1时，f(1-
3、m)=1-m0，f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m0，f(e2m-m)=e2m-m-lne2m=e2m-3m.8立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版令g(m)=e2m-3m(m1)，则g(m)=2e2m-30.所以g(m)在(1，+)上为增函数，从而g(m)g(1)=e2-30，即f(e2m-m)0.所以f(e-m-m)f(1-m)0，f(e2m-m)f(1-m)0.因为f(x)为连续函数，所以存在x1(e-m-m，1-m)，x2(1-m，e2m-m)，使f(x1)=0，f(x2)=0.故方程f(x)=0在区间e-m-m，e2m-m内有两个不等实根
4、.9立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版点评：方程根的问题，一是可以转化为函数图象的交点问题，通过导数研究函数图象的性质，再结合图象的性质观察交点情况，由图象直观地得出相应的结论；二是利用性质f(a)f(b)0(ab，且f(x)在区间(a，b)上是连续函数)，则方程f(x)=0在(a，b)上至少有一个根.10立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版已知函数f(x)=lnx，g(x)=x.若关于x的方程g(x2)-f(1+x2)=k有四个不同的实根，求实数k的取值范围.解：令则由(x)0，得x(x+1)(x-1)0，所以-1x0或x1.由(x)0，得x-1或0
5、 x1.11立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版所以(x)在(-，-1)，(0，1)上是减函数，在(-1，0)，(1，+)上是增函数.从而(0)=0为(x)的极大值，(-1)=(1)=-ln2为(x)的极小值且(x)为偶函数.由此可得函数y=(x)的草图如右.若方程(x)=k有四个不同的实根，则直线y=k与曲线y=(x)有四个不同的公共点.由图知，实数k的取值范围是(-ln2，0).12立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版3.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x1
6、1)时，一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值Q(a).题型8 利用导数解决实际问题13立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版解：(1)分公司一年的利润 L(x)(万元)与售价x(元)的函数关系式为 L(x)=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.(2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L(x)=0,得x=6+a或x=12(不合题意，舍去).因为3a5,所以
7、86+a .在x=6+a两侧L(x)的值由正变负，所以，当86+a9，即3a时，14立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版L(x)max=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a)；当96+a，即a5时，L(x)max=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.9(6-a)(3a)4(3-a)3(a5).所以Q(a)=15立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版答：若3a，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L(x)最大，最大值Q(a)=9(6-a)万元；若 a5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L(x)最大
8、，最大值Q(a)=4(3-a)3万元.点评：涉及实际问题的最值问题，一般是利用函数知识来解决，即先建立函数关系，把实际问题转化为数学问题，然后利用求函数最值的方法求得最值.注意求得的解要符合实际意义.16立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版17立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版18立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版19立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版20立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版已知函数 (a，b为常数)的图象在点A(1，f(1)处的切线为l，若l在点A处穿过函数y=f(x)的
9、图象(即动点在点A附近沿曲线y=f(x)运动)，经过点A时，从l的一侧进入另一侧，求实数a的值.解：因为f(x)=x2+ax+b，所以f(1)=1+a+b.又题型 利用导数处理图象位置关系问题参考题21立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版所以直线l的方程为因为切线l在点A处穿过y=f(x)的图象，22立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版所以g(x)在x=1两边附近的函数值异号，从而x=1不是g(x)的极值点.因为g(x)=x2+ax-(a+1)=(x-1)(x+a+1)，故若1-a-1，则x=1和x=-a-1都是g(x)的极值点，不合题意，所以-a-1=
10、1，即a=-2.23立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版1.利用导数确定函数的单调区间，求函数的极值和最值，是导数应用中的三类基本问题.对变通后的变式问题或综合性问题，都要化归为上述基本问题来解决.导数的应用与方程、不等式等方面的知识联系密切，对运算、变形能力有较高的要求.2.利用导数处理不等式问题，关键是构造函数，然后将问题转化为研究函数的单调性或最值，这是导数应用中的一个难点.24立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版3.对于方程有解的条件分析，讨论根的个数，确定根的范围等问题，一般转化为研究函数图象的公共点问题.以导数为工具，先分析函数的基本性质，再研究图象，是一种有效的办法.4.解函数的最值的实际问题，首先把各变量用各字母分别表示出来，然后分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式;25立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版其次确定函数的定义区间，用数学知识求得最大、最小值；最后所得结果要符合问题的实际意义，即进行检验.如在区间内函数只有一个点使f(x)=0，且在这点上函数有极大或极小值，那么解实际问题时，可以不与端点值进行比较，而直接可以得出这就是最大或最小值.26
