1、立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版第十二章极限与导数第讲（第一课时）1立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版考 点搜 索利用导数判断函数单调性的基本原理函数极值的概念及其判定原理函数的最大值与最小值高考猜想1.利用导数确定函数的单调性、极值和最值，并进行分类讨论.2.利用导数解决方程、不等式问题，以及实际应用性问题，考查导数的工具性作用.2立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版1.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为;如果f(x)0，则f(x)为.如果在某个区间内恒有，则f(x)为常数.2.设函数f(x)在点
2、x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0);增函数减函数f(x)=0 f(x)f(x0)3立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版如果对x0附近的所有的点，都有，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，极大值与极小值统称为.3.当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是.f(x)f(x0)极值极大值极小值4立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版
3、4.设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在 a，b 上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的；(2)将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.f(a)、f(b)极值5立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)解：f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex,令f(x)0,解得x2,故选D.D 6立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版2.若函数在x=1处取极值，则a=.
4、解：由解得a=3.37立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版题型1 利用导数判断函数的单调性及简单证明1.求函数y=2x3-9x2+12x-3的单调区间.解：函数的定义域为R.y=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).令y=0，得x1=1，x2=2.x1，x2将定义域分成三个区间(-，1)，(1，2)，(2，+)，可列表讨论如下：8立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版所以函数y=2x3-9x2+12x-3的单调增区间为(-，1)，(2，+)；单调减区间为(1，2).x(-，1)1(1，2)2(2，+)y+0-0+y极大值极小值9立足教育 开创未来
5、高中总复习（第一轮）理科数学 全国版点评：利用导数判断函数在区间(a，b)上的单调性，其步骤是：先求导函数f(x)，然后判断导函数f(x)在区间(a，b)上的符号；而求函数的单调区间，则先求导，然后解方程f(x)=0，得出不等式f(x)0的解的区间(即递增区间)或f(x)0的解的区间(即递减区间).若没有指定区间，应先求出函数的定义域.10立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版11立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版12立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版题型2 利用导数讨论函数的单调性2.设a为实常数，试讨论函数f(x)=lg(10
6、x+1)-ax的单调性.解：13立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版(1)因为10 x+110 x0，所以故当a1时，(2)当0a1时，1-a0，令 f(x)0，则即令 f(x)0，则即(3)当a0时，综上分析，14立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版当a0时，f(x)是增函数；当a1时，f(x)是减函数；当0a1时，f(x)在(-，)上是减函数，在(，+)上是增函数.点评：含参数的函数的单调性问题，在求导后判断f(x)的符号时，需要根据参数的取值情况进行分类讨论.15立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版已知函数f(x)=e2x-2t
7、(ex+x)+x2+2t2+1，证明：(1)当t时，g(x)在R上是增函数；(2)对于给定的闭区间a，b，总存在实数k，当tk时，g(x)在闭区间a，b上是减函数.证明：(1)由题设得g(x)=e2x-t(ex+1)+x，则g(x)=2e2x-tex+1.又由2ex+e-x ，且t，得t2ex+e-x，即g(x)=2e2x-tex+10.由此可知，g(x)为R上的增函数.16立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版(2)证法1：因为g(x)0是g(x)为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得tk时，g(x)=2e2x-tex+1 0，即t 2ex+e-x在闭区间 a，b 上
8、成立即可.因为y=2ex+e-x在闭区间 a，b 上连续，故在闭区间 a，b 上有最大值，设其为k，于是在tk时，g(x)0在闭区间 a，b 上恒成立，即g(x)在闭区间 a，b 上为减函数.17立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版证法2：因为 g(x)0是g(x)为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得tk时，g(x)=2e2x-tex+1 0在闭区间 a，b 上成立即可.令m=ex，则 g(x)0(x a，b)当且仅当2m2-tm+10(mea，eb).而上式成立只需18立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版取2ea+e-a与2eb+e-b中较大者
9、记为k，易知当tk时，g(x)0在闭区间a，b上恒成立，即g(x)在闭区间a，b上为减函数.2e2a-tea+102e2b-teb+10，即t2ea+e-at2eb+e-b成立.19立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版3.已知f(x)=ex-ax-1.(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在a,使f(x)在(-，0上单调递减，在0，+)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.题型3 利用导数求单调函数中参数的取值范围20立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版解：f(x)=ex-a.(1)因为f(x)在R内单调递增，所
10、以f(x)0在R上恒成立.所以ex-a0，即aex在R上恒成立.所以a(ex)min.又因为ex0，所以a0.故a的取值范围为(-,0.21立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版(2)解法1：由题意知ex-a0在(-，0上恒成立,所以aex在(-，0上恒成立.因为g(x)=ex在(-，0上为增函数,所以当x=0时，ex取得最大值1.所以a1.同理可知ex-a0在0，+)上恒成立，即aex在0，+)上恒成立，所以a1.所以a=1.22立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版解法2：由题意知，x=0为f(x)的极小值点，所以f(0)=0,即e0-a=0,所以a=1
11、.点评：由可导函数在某指定区间上是单调的，可得此函数在区间上的导函数的符号是确定的，再由此得到相应的不等式有解(或恒成立)，可求得参数的取值范围.23立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版设函数试推断是否存在正常数k，使f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，+)上是增函数？解：f(x)=4k2x3-2x2-2kx+2.依据题意，当x(1，2)时，f(x)0;当x(2，+)时，f(x)0.又f(x)为连续函数，所以f(2)=0，24立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版即32k2-8-4k+2=0，即16k2-2k-3=0，所以k=或k=-(舍去).当k=时
12、，f(x)=x3-2x2-x+2=(x+1)(x-1)(x-2).所以当1x2时，f(x)0;当x2时，f(x)0，符合题意.故存在常数k=满足条件.25立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版1.利用导数判定函数的单调性原理，可以结合曲线的切线的斜率的几何性质加以理解，斜率为正，曲线上升，函数单调递增；斜率为负，曲线下降，函数单调递减.2.“在区间D内f(x)0”是“f(x)在区间D上是增函数”的充分非必要条件.因为若f(x)在区间D上是增函数，则有可能存在x0D，使f(x0)=0.26立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版同时，如果函数f(x)在闭区间a，b上具有单调性，则f(x)在区间端点处的导数可能为0.3.求可导函数在定义域内的单调区间的一般步骤是：(1)求f(x)，令f(x)=0，求此方程在定义域内的所有实根.27立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版(2)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根，按从小到大的顺序排列起来，然后以这些点为分界点，把函数f(x)的定义域分成若干个小开区间.(3)确定f(x)在各个小开区间内的符号，并根据f(x)的正负符号判定函数f(x)在各个相应小开区间内的单调性.28
