1、第六章6.46.4.3第3课时A组素养自测一、选择题1已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得ABC120，则A、C两地的距离为(D)A10 kmB kmC10 kmD10 km解析在ABC中，AB10，BC20，ABC120，则由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcosABC10040021020cos12010040021020()700，AC10，即A、C两地的距离为10 km.2如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(D)A，c，Bb，c，Cc，Db，解析本题中a、c、这三个量不易直接测量，故选D3如图，从气球A测得济南全运会
2、东荷、西柳两场馆B，C的俯角分别为，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为(B)ABCD解析在RtADC中，AC，在ABC中，由正弦定理，得BC.4一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向上，另一灯塔在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是每小时(C)A5 n mlieB5 n mlieC10 n mlieD10 n mlie解析如图，依题意有BAC60，BAD75，CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，求得AB5，这艘船的速度是10(n mlie/h)
3、.5(多选)某人向正东方向走了x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他恰好离出发地 km，那么x的值为(AC)AB2C2D5解析本题考查余弦定理的应用.由题意得()232x223xcos30，解得x或2，故选AC二、填空题6在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离是_km.解析如图所示，由题意易知C45，由正弦定理得，从而AC(km).7一只蜘蛛沿正北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，则x_cm.解析如图，由题意知，BAC75，ACB45.B60
4、，由正弦定理，得，x.8坡度为45的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30，则坡底要伸长_50()_m.解析如图，BD100，BDA45，BCA30，设CDx，所以(xDA)tan 30DAtan 45，又DABDcos 4510050，所以xDA5050()m.三、解答题9如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD6 000 m.ACD45，ADC75，目标出现于地面B处时测得BCD30，BDC15.求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号)解析在ACD中，CAD60，ADCD.在BCD中，CBD135，BDCD，ADB90.在RtABD中，ABCD1 000(m
5、).10如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60 m，求建筑物的高度.解析设建筑物的高度为h，由题图知，PA2h，PBh，PCh，在PBA和PBC中，分别由余弦定理，得cosPBA，cosPBC.PBAPBC180，cosPBAcosPBC0由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.B组素养提升一、选择题1已知船A在灯塔C北偏东85且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25且到C的距离为 km，则A、B两船的距离为(D)A2 kmB3 kmC kmD km解析如图可知ACB85(9025)150，AC2，BC，AB2A
6、C2BC22AC、BC、cos15013，AB.2一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(A)A n mile/hB34 n mile/hC n mile/hD34 n mile/h解析如图所示，在PMN中，MN34，v(n mile/h).3如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1 000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30，经过1 min后到达B点处看山顶的俯角为75，则山顶的海拔为(精确到0.1 km，参考数据：1.732)(B)A1
7、1.4 kmB6.6 kmC6.5 kmD5.6 km解析本题考查正弦定理的实际应用.AB1 000(km)，BCsin30(km).航线离山顶的距离为sin75sin(4530)11.4(km).山顶的海拔为1811.46.6(km).故选B4如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角CAB45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为(D)A500 mB200 mC1 000 mD1 000 m解析SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，在ABS中，AB1 000，BCABsin451 0001 000(m).二、填空题5海上
8、一观测站测得方位角240的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站10 n mile，20 min后测得海盗船距观测站20 n mlie，再过_min，海盗船到达商船.解析如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20 min后，海盗船到达D处，在ADC中，AC10，AD20，CD30，由余弦定理，得cosADC.ADC60，在ABD中，由已知得ABD30，BAD603030，BDAD20，60(min).6如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN60，
9、C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_150_ m .解析如图，在RtABC中，BC100，CAB45，AC100.在AMC中，CAM75，ACM60，AMC45.由正弦定理知，AM100.在RtAMN中，NAM60，MNAMsin60100150(m).三、解答题7如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求sin的值.解析(1)依题意可得，在
10、ABC中，BAC18060120，AB12，AC10220，BCA.由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos120784解得BC28所以渔船甲的速度为14 n mile/h.(2)在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得.即sin.8如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时6 km的速度步行了1 min以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值为60.(1)求该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.(结果保留根号，不求近似值)解析(1)依据题意知，在DBC中，BCD30，DBC18045135，CD6 000100(m)，BDC453015，由正弦定理，得，BC50(1)(m)，在RtABE中，tan，AB为定长，当BE的长最小时，取最大值60，这时BECD，当BECD时，在RtBEC中，ECBCcosBCE50(1)25(3)(m)，设该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了t min，则t6060(min).(2)由(1)知当取得最大值60时，BECD，在RtBEC中，BEBCsinBCD，所以ABBEtan60BCsinBCDtan6050(1)25(3)(m)，即所求塔高为25(3)m.
