1、11平面直角坐标系与曲线方程12平面直角坐标轴中的伸缩变换1平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的2平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解；(2)以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上那么，方程f(x，y)0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(
2、x，y)0的曲线3平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0()(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的()(3)方程2x2y21表示的曲线是圆()(4)如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2y24的图形变为椭圆()(5)在伸缩变换下，直线依然是直线()答案(1)(2)(3) (4)(5) 2做一做(1)已知ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(1，2)，(3，0)，(5，1)，则顶点D的坐标是()A(9，1
3、) B(3，1)C(1，3) D(2，2)答案C(2)方程(x24)2(y24)20表示的图形是()A两条直线 B四条直线C两个点 D四个点答案D(3)将一个圆作伸缩变换后所得的图形不可能是()A椭圆 B比原来大的圆C比原来小的圆 D双曲线答案D解析由伸缩变换的意义可得，A，B，C均有可能，D不可能探究利用平面直角坐标系确定位置 例1由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30，相距4千米某时刻甲舰发现商船的某种求救信号由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信
4、号的传播速度为1 km/s若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？解设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(3，0)，C(5，2)|PB|PC|，点P在线段BC的垂直平分线上kBC，线段BC的中点D(4，)，直线PD的方程为y(x4)又|PB|PA|4，点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为1(x2)联立，解得P点坐标为(8，5)kPA因此甲舰行进的方位角为北偏东301解决本例的关键是如何建系，将几何位置量化，然后根据直线与双曲线的方程求解2建立坐标系的几个基本原则：(1)尽量把点和线段放
5、在坐标轴上；(2)对称中心一般放在原点；(3)对称轴一般作为坐标轴3运用坐标法解决实际问题的步骤：建系设点列关系式(或方程)求解数学结果回答实际问题【跟踪训练1】已知某荒漠上有两个定点A，B，它们相距2 km，现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？解(1)设平行四边形的另两个顶点为C，D，由围墙总长为8 km，得
6、|CA|CB|4|AB|2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长2a4，焦距2c2的椭圆(去除落在直线AB上的两点)以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为1(y0)易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD的面积最大，则C，D为此椭圆短轴的端点，此时，面积S2(km2)(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆1(y0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l：y(x1)被椭圆截得的弦长，如图因此，由13x28x320，那么弦长|x1x2|，故暂不加固的部分长 km探究平面直角坐标系中曲线方程的确定例2(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴
7、上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程；(2)在边长为2的正三角形ABC中，若P为ABC内一点，且|PA|2|PB|2|PC|2，求点P的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线解(1)由已知设椭圆方程为1(ab0)，则2a12，知a6又离心率e，故c3b2a2c236279椭圆的标准方程为1(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC|2，B(1，0)，C(1，0)，则A(0，)|PA|2|PB|2|PC|2，x2(y)2(x1)2y2(x1)2y2，化简得x2(x)24又P在ABC内，y
8、0P点的轨迹方程为x2(y)24(y0)其曲线如图所示为以(0，)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧求动点轨迹方程常用的方法(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；写出适合条件P的点M的集合PM|P(M)；用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)0；化简方程f(x，y)0；检验或证明中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则可以省略(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程(3)代入法(相关点法)：如果动
9、点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求【跟踪训练2】如图，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量与的夹角为120，2(1)求圆C的方程；(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程解(1)建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，CQM为正三角形r2cos602，圆C的半径为2又圆心为(0，0)，圆C的方程为x2y24(2)由(1)知M(2，0)，N(2，0)，Q(1，)，2a|QN|QM|22，a1，c2，b2a2c22，椭圆方程为1探究平面直角
10、坐标轴中的伸缩变换例3在下列平面直角坐标系中，分别作出1的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的解(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，则1的图形如图(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图在平面直角坐标系中，改变x轴或y轴的单位长度会对图形产生影响，本题(2)中也可以看作的伸缩变换，本题(3)中也可以看作的伸缩变换【跟踪训练3】本例中，1不变，试在下列平面直角坐标系
11、中，分别作出其图形：(1)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍解(1)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图(2)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图 1曲线C的方程为yx(1x5)，则下列四点中在曲线C上的是()A(0，0) B， C(1，5) D(4，4)答案D解析将答案代入验证知D正确2直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A|x|y|1 B|xy|1C|x|y|1 D|xy|1答案C解析由题知C正确3已知一椭圆的方程为1，如果x轴上的单位长度为y轴上单位
12、长度的，则该椭圆的形状为()答案B解析如果y轴上的单位长度不变，x轴上的单位长度变为原来的，则对应的图形为B4椭圆伸缩后可能是_；双曲线伸缩后为_；抛物线伸缩后为_答案椭圆或圆双曲线抛物线5已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍求动点M的轨迹C的方程解如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d2|MN|，由此得|4x|2，化简得1，动点M的轨迹C的方程为1A级：基础巩固练 一、选择题1将圆x2y22x4y10平分的直线是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30答案C解析因为圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C2方程x2xy0表示的曲线
13、是()A一个点 B一条直线C两条直线 D一个点和一条直线答案C解析x2xyx(xy)0，即x0或xy0故方程x2xy0表示两条直线3一个正方形经过平面直角坐标轴中的伸缩变换后，其图形可能是()A正方形 B矩形C菱形 D正方形、菱形或矩形答案D解析正方形在平面直角坐标轴中进行伸缩变换后，图形的形状是由其在平面直角坐标系中的位置决定的若顶点在坐标轴上，则是菱形或正方形；若顶点在象限内，则是矩形或正方形4在平面直角坐标系中，将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2倍，则椭圆1进行伸缩变换后的图形是()答案B解析在平面直角坐标系中，将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2倍，则椭圆1的图形变为B5平面
14、内有一条固定线段AB，|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，O为AB的中点，则|OP|的最小值是() A B C2 D3答案A解析以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一部分2c4，c2，2a3，a，b2c2a24点P的轨迹方程为1x由图可知，点P为双曲线与x轴的右交点时，|OP|最小，|OP|的最小值是6已知ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，且sinBsinCsinA，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是() A1 B1(x3)C1 D1(x3)答案B解析由题意知，
15、B(6，0)，C(6，0)，由sinBsinCsinA，得bca6，即|AC|AB|6所以点A的轨迹是以B(6，0)，C(6，0)为焦点，2a6的双曲线的左支且y0其方程为1(x3)二、填空题7在x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为_答案椭圆解析如果x轴上的单位长度不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，圆x2y216的图形变为中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆8已知点A(2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足x21，则点P的轨迹方程是_答案y25x50解析由题意得(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)(y)2x21，即y25x
16、509如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AMAB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是_答案y2x解析过P作PQAD于Q，再过Q作QHA1D1于H，连接PH，PM，可证PHA1D1，设P(x，y)，由|PH|2|PM|21，得x21x2y21，化简得y2x三、解答题10台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，求城市B处于危险区内的时间解以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系
17、，则B点坐标为(40，0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x40)2y2302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线yx，与圆B相交于点M，N，点B到直线yx的距离d20求得|MN|220(km)所以1，所以城市B处于危险区内的时间为1 h11在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线1的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的解(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线1的图形如图所示(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，
18、双曲线1的图形如图所示(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线1的图形如图所示B级：能力提升练学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M0，为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)观测点A(4，0)，B(6，0)(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，航天器离观测点A，B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？解(1)设曲线方程为yax2，点D(8，0)在抛物线上，a，曲线方程为yx2(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知得4y27y360y4或y(舍去)，y4，得x6或x6(舍去)C点的坐标为(6，4)，|AC|2，|BC|4所以当航天器离观测点A，B的距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令
