1、10对数与对数函数高考要求： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，a1)，体会对数函数是一类重要的函数模型知识梳理1.对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_ xlogaN _，其中_ a _叫做对数的底数，_ N _叫做真数.真数N为正数（负数和零无对数）说明：实质上，上述对数表达式，不过是指数函数的另一种表达形式，例如：与 这两个式子表达是同一
2、关系，因此，有关系式“”同“+”“”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。对数的底数和真数从对数的实质看：如果abN(a0且a1)，那么b叫做以a为底N的对数，即blogaN.它是知道底数和幂求指数的过程.底数a从定义中已知其大于0且不等于1；N在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a1)logaN常用对数底数为_10_lg_N自然对数底数为_e_ln_N2对数的性质与运算法则(1)对数的性质(a0且a1)_ N _；_0_；_ N
3、 _； _1_. (2)对数的重要公式换底公式：logbN_(a，b均大于零且不等于1)；logab，推广ogablogbclogcd_ logad _.(3)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么 loga(MN)_ logaMlogaN _；loga_ logaMlogaN_；logaMn_ nlogaM _ (nR)；logaM.点评：（1）要熟练掌握公式的运用和逆用。（2）在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。例如：真数为两负数的积，不能写成=3.对数函数的图象与性质 对数函数定义：函数称对数函数，说明：（1）一个函数为对数函数的条件是：系数为1； 底数为大于0且不等于1的
4、正常数； 变量为真数. 在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为x|x0. 对数型函数的定义域：特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。a10a1时，_ y0_当0x1时，_ y1时，_ y0_当0x0_(6)在(0，)上是_增_(7)在(0，)上是_减_变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.奇偶性非奇
5、非偶4.反函数反函数及其性质互为反函数的两个函数的图象关于直线对称。若函数上有一点，则必在其反函数图象上，反之若在反函数图象上，则必在原函数图象上。由对数的定义容易知道:指数函数yax与对数函数_.ylogax _互为反函数，它们的图象关于直线_yx _对称. 由指数函数的定义域，值域，容易得到对数函数的定义域为，值域为，题型分析题型一对数形式与指数形式的互化例1（1）下列指数式改写成对数式； ； （2）下列对数式改写成指数式； ；（3）求下列各式的； ； 解析由，得，即；由，得，即，故；由，得故；由，得故(4)若loga2=m,loga3=n,a2m+n= 12 。点评对数的定义是对数形式和
6、指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题重要手段。题型二对数式的化简与求值例2（1）计算下列各式.lg 25lg 2lg 50(lg 2)2；(log32log92)(log43log83).解原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.原式.原式.（2）已知求解法一：，解法二：（3）设，求的值.解析（1）， 探究提高(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化.
7、(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.变式训练2：(1)计算：log2.56.25lgln= （2）求下列各式的值：；解析原式；原式=解：原式 (3)已知f(3x)4xlog23233，求f(2)f(4)f(8)f(28)的值.解析令3xt，f(t)4log2t233，f(2)f(4)f(8)f(28)4(128)82334361 8642 008.（4）设2a5bm，且2，则m的值为()A.B10C20D100（5）已知均大于1，求解析由得由得，由得，即，解得题型三对数函数的图象与性质探究点三含对数式的大小比较例3(1)比较下列各组数的大小
8、log3与log5；log1.10.7与log1.20.7.解(1)log3log510，log3log5.方法一00.71,1.1log0.71.1log0.71.2.，由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二作出ylog1.1x与ylog1.2x的图象，如图所示，两图象与x0.7相交可知log1.10.7bcBbac Cacb Dcab (3)，则（ ）ABCD解析， (1)设alog3，blog2，clog3，则()AabcBacb CbacDbca解：alog31，blog23，则b1，clog32bc.（2）设a、b、c均为正数，且2a,()b， ()clog2c，
9、则 () Aabc Bcba Ccab Dba1，logb()b(0,1)，log2c()c(0,1)0a，b1,1c2. 故abc.（3）设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则有 ()A.f()f(2)f() B.f()f(2)f() C.f()f()f(2) D.f(2)f()|1|1|，f()f()f(2)（4）已知，则有（ ）ABCD解析，同理.，即故选D。(5)已知0ab1n _解析m0，n0，logaclogcblogabn.点评：用对数函数的性质比较大小(1)同底数的两个对数值的大小比较例如，比较logaf(x)与logag(x)的大小
10、，其中a0且a1.若a1，则logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0. 若0alogag(x)0f(x)g(x)(2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0cd1a0且a1)的图象过两点(1,0)和(0,1)，则a_2_，b_2_.（3）函数f(x)(x22x3)的单调递增区间是_（，1）_求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：确定定义域；弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数yf(u)，ug(x)；分别确定这两个函数的单调区间；若这两个函数同增或同减，则yf(g(x)为增函数，若一增一减，则yf(g(x)为减函数
11、，即“同增异减”（4）.函数y（1）的图象关于（）Ay轴对称 Bx轴对称 C原点对称D直线yx对称(5)若函数是奇函数，则解：由于是奇函数，即，又， (6)已知函数，若，则等于（ ）ABC2D2题型四对数函数的综合应用例5（1）已知、为正数，且，求的取值范围.解析，上式关于的方程有实根。. ，或或（2）已知函数f(x)loga(82x) (a0且a1).(1)若f(2)2，求a的值；(2)当a1时，求函数yf(x)f(x)的最大值.解(1)f(2)loga4，依题意f(2)2，则loga42，a2.(2)由题意知82x0，解得x0知，x3，函数yf(x)f(x)的定义域为(3,3).又yf(x
12、)f(x)loga(82x)loga(82x)loga658(2x2x)，2x2x2，当且仅当x0时取等号，01时，函数yf(x)f(x)在x0处取得最大值loga49.探究提高本题的求解体现了方程思想和函数思想的应用，主要涉及对数式的求值，对数函数的图象和性质的综合运用以及与其他知识的结合(如不等式、指数函数等).变式训练5 （1）已知函数f(x)loga(x1) (a1)，若函数yg(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.写出函数g(x)的解析式；当x0,1)时总有f(x)g(x)m成立，求m的取值范围.解(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(
13、x，y)是点P关于原点的对称点，Q(x，y)在f(x)的图象上，yloga(x1)，即yg(x)loga(1x).(2)f(x)g(x)m，即logam.设F(x)loga，x0,1)，由题意知，只要F(x)minm即可.F(x)在0,1)上是增函数，F(x)minF(0)0. 故m0即为所求.（2）已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)x；当x4时，f(x)f(x1)则f(2log23)的值为()A.B.C.D.解：因为32log234，故f(3log23)3log233.（3）定义在R上的偶函数f(x)在0，)上递增，f()0，则满足0的x的取值范围是()A(0，)B(0，)(2，) C
14、(0，)(，2)D(0，)解：由题意可得：f(x)f(x)f(|x|)，f(|logx|)f()，f(x)在0，)上递增，于是|logx|，解得x的取值范围是(0，)(2，)（4）函数yloga(x3)1 (a0且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上(其中mn0)，则的最小值为_8_.（5）已知函数f(x)|lg x|，若0ab，且f(a)f(b)，则a2b的取值范围是 ()A(2，)B2，) C(3，)D3，)解析：画出函数f(x)|lg x|的图象如图所示0ab，f(a)f(b)，0a1，lg a0.由f(a)f(b)，lg alg b ，ab1.b，a2ba，又0a13，即
15、a2b3.（6）已知函数f(x)loga(1ax)(a0，a1)解关于x的不等式：loga(1ax)f(1)；求证：函数f(x)的图象总在y轴的一侧；求证：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB的斜率小于0. 解f(x)loga(1ax)，f(1)loga(1a)1a0.0aloga(1a)，即0x0，得ax1， 当a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(，0) ，此时函数f(x)的图象在y轴的右左侧； 当0a0，即函数f(x)的定义域为(0，)，此时函数f(x)的图象总在y轴的右侧. 函数f(x)的图象总在y轴的一侧.证明：设x10，ax1时，
16、f(x)的定义域为(，0)；0a1时，f(x)的定义域为(0，)当0ax10，1.0.f(x2)f(x1)，即y21时，也有y2y1.综上：y2y1，即y2y10.kAB0且a1)等价于f(x)g(x)，但要注意验根对于logaf(x)logag(x)等价于0a1时，(2)形如F(logax)0、F(logax)0或F(logax)0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的
17、图象.一、选择题1.已知函数f(x)axlogax(a0，a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则a 的值为 ()A. B. C.2 D.4解：当x0时，函数ax，logax的单调性相同，因此函数f(x)axlogax是(0，)上的单调函数，f(x)在1,2上的最大值与最小值之和为f(1)f(2)a2aloga2，由题意得a2aloga26loga2.即a2a60，解得a2或a3(舍去)2.已知函数f(x)，若ab，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是 ()A.(1，) B. C.(2，) D.3. 设alog32，bln 2，c5，则()AabcBbca CcabDcb1，l
18、og2e1，log23log2e.1，0ablog3，a.bln 2ln ，b. c5，caf(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)解：当a0时，f(a)log2a，f(a)，f(a)f(a)，即log2alog2， a，解得a1.当af(a)，即log2(a)，a，解得1a0，由得1a1.二、填空题6若log2a0且a1)满足对任意的x1、x2，当x10，则实数a的取值范围为_(1,2)_.8已知函数f(x)lg在区间1,2上是增函数，则实数a的取值范围是_(1,2)_解析因为f(x)lg在区间1,2上是增函数，所以g
19、(x)a在区间1,2上是增函数，且g(1)0，于是a20，即1a0，且a1)，若f(x1x2x2 013)8，则f(x)f(x)f(x)_16_.11.已知函数f(x)logaxxb (a0，且a1).当2a3b0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a1时，求使f(x)0的x的解集.解(1)f(x)loga(x1)loga(1x)，则解得1x1.故所求函数f(x)的定义域为x|1x1(2)由(1)知f(x)的定义域为x|1x1时，f(x)在定义域x|1x01.解得0x0的x的解集是x|0x1，解得a2.所以a的取值范围是(，1)(2，).14已知函数
20、f(x)lg(axbx)(a1b0)(1)求yf(x)的定义域；(2)在函数yf(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，)上恒取正值解：(1)由axbx0，得()x1，且a1b0，得1，所以x0，即f(x)的定义域为(0，)(2)任取x1x20，a1b0，则0，所以0，即故f(x1)f(x2)所以f(x)在(0，)上为增函数假设函数yf(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1x2，y1y2，这与f(x)是增函数矛盾故函数yf(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴
21、(3)因为f(x)是增函数，所以当x(1，)时，f(x)f(1)这样只需f(1)lg(ab)0，即当ab1时，f(x)在(1，)上恒取正值15.已知函数f(x2-3)=lg,(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；(3)求f(x)的反函数; (4)若f=lgx,求的值。解:（1）f(x2-3)=lg,f(x)=lg,又由得x2-33, f(x)的定义域为（3，+）。（2）f(x)的定义域不关于原点对称， f(x)为非奇非偶函数。（3）由y=lg得x=,x3,解得y0, f-1(x)=(4) f=lg,，解得(3)=6。16设，（1）求；（2）求证：在上为增函数.解析（1）设，则于是因此（2）设，则 即 ，即在上为增函数。
