1、2021年宁夏六盘山高级中学高三高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1已知集合A1，0，1，2，3，Bx|lnx1，图中阴影部分为集合M，则M的元素个数为（）A1B2C3D42设i是虚数单位，若复数（mR）是纯虚数，则m的值为（）A3B3C1D13下列命题中的假命题是（）AxR，2x0BxN*，（x1）20Cx0R，lgx01Dx0R，tanx04设，为两个不重合的平面，能使成立的是（）A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C内有无数个点到的距离相等D，垂直于同一平面5函数f（x）cos（x+）在0，上为增函数，则的值可以是（）A0BCD6（3x1）+（3x1）2+（3x
2、1）3+（3x1）n的展开式的各项系数和是（）A2n+1B2n+1+1C2n+11D2n+1272021年，河北新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援河北，共抗新型冠状病毒肺炎北京某医院的甲、乙、丙、丁4名医生到河北的A，B，C三个灾区支援，若要求每个灾区至少安排1名医生，则灾区A恰好只有医生甲去支援的概率为（）ABCD8已知a20.3，b0.60.3，clog0.60.3，则（）AabcBacbCcbaDcab9明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中
3、间两项的方法比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕，大吕，太簇据此，可得正项等比数列an中，ak（）ABCD10已知函数f（x）是R上的满足f（1+x）f（1x），且f（x）的图象关于点（1，0）对称，当x0，1时，f（x）22x，则f（0）+f（1）+f（2）+f（2021）的值为（）A2B1C0D111如图所示，平面向量，的夹角为60，点P关于点A的对称点Q，点Q关于点B的对称点为点R，则为（）ABC4D无法确定12已知定义域为（0，+）的函数f（x）满足，且f（e），e为自然对数的底数，若关于x的不等式0恒成立，则实数a的取值范围为（）A1，+）B2，+）C，+
4、）D，+）二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题卡相应位置上）13已知点P（x，y）在不等式组 表示的平面区域上运动，则zxy的取值范围是 14数列an是等差数列，若a10，a2020+a20210，a2020a20210，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是 15鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为 16已知F
5、1，F2分别是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，F1关于直线l的对称点F1在以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上，则双曲线的离心率为 三解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b+a）（sinBsinA）（ca）sinC（1）求B；（2）若b2，ABC的面积为，求ABC的周长182020年“双11”当天各大线上网站的消费额统计都创下新高，体现了中国在“新冠”疫情之后经济复苏的良好态势某网站为了调查线上购物时“高消费用户”是否与性别有一定关系，随机调查200个“双11”当天在该网站消费的用户，得到了如下不完
6、整的列联表；定义“双11”当天消费不高于10000元的用户为“非高消费用户”，消费10000元以上的用户为“高消费用户”高消费用户非高消费用户总计男性用户20女性用户40总计80附：P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828（1）将列联表填充完整，并判断是否有99%的把握认为线上购物时“高消费用户”与性别有关？（2）若采用分层抽样的方法从随机调查的200个用户中抽出10个人，再随机抽4人，求高消费用户人数比女性用户人数多1人的概率19如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，ABC90，AB2DC2BC，E为AB的中点，沿DE将ADE折起，
7、使得点A到点P位置，且PEEB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）（）求证：平面EMN平面PBC；（）是否存在点N，使得二面角BENM的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由20已知椭圆C1：的长轴长为4，右焦点为F（c，0），且F恰好是抛物线C2：y22px（p0）的焦点若点P为椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点，OPF（O为坐标原点）重心的横坐标为，且SOPFc（1）求p的值和椭圆C1的标准方程；（2）若p为整数，点M为直线x上任意一点，连接MF，过点F作MF的垂线l与椭圆C1交于A，B两点，若|MF|AB|，求直线l的方程21已知函数f（x）xaex（aR）
8、（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）f（x）+2x+（a1）x，若g（x）有两个不同的极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）（x1+x2）恒成立，求实数的取值范围选考题（共10分）考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在极坐标系中，点A（1，），B（1，），曲线C：以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系（1）在直角坐标系中，求点A，B的直角坐标及曲线C的参数方程；（2）设点P为曲线C上的动点，求|PA|2+|PB|2的取值范围不等式选讲23已知函数f（x）2|x+1|+|x2|（1）求f（x）的最小值m；（
9、2）若a，b均为正实数，且满足a3+b3m，求证：a+b2参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合A1，0，1，2，3，Bx|lnx1，图中阴影部分为集合M，则M的元素个数为（）A1B2C3D4解：lnx1，0xe，B（0，e），AB1，2，M1，0，3，M中元素的个数为3，故选：C2设i是虚数单位，若复数（mR）是纯虚数，则m的值为（）A3B3C1D1解：m+m+（m1）+i是纯虚数，m10，即m1故选：C3下列命题中的假命题是（）AxR，2x0BxN*，（x1）20Cx0R，lgx01Dx0R，tanx0解：y2x0，所以xR，2x0，所以A正确；x1，（x1）20，所以B不正确；x0
10、1，lgx001，所以x0R，lgx01，所以C正确；x0，tanx0，所以D正确故选：B4设，为两个不重合的平面，能使成立的是（）A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C内有无数个点到的距离相等D，垂直于同一平面解：对于A，内有无数条直线与平行，如两个相交平面，可以找出无数条平行于交线的直线，所以A错误；对于B，内有两条相交直线与平行，根据两平面平行的判定定理知，所以B正确；对于C，内有无数个点到的距离相等，如两个相交平面，可以找出无数条直线平行于平面，所以也能得出无数个点到平面的距离相等，C错误；对于D，当、垂直于同一个平面时，与也可以相交，所以D错误 故选：B5函数f（x）cos
11、（x+）在0，上为增函数，则的值可以是（）A0BCD解：当0时，f（x）cosx，在0，上为减函数，故A错误；当时，f（x）cos（x+）sinx，在0，上先减后增，故B错误；当时，f（x）cosx，在0，上为增函数，故C正确；当时，f（x）cos（x+）sinx，在0，上先增后减，故D错误故选：C6（3x1）+（3x1）2+（3x1）3+（3x1）n的展开式的各项系数和是（）A2n+1B2n+1+1C2n+11D2n+12解：对于（3x1）+（3x1）2+（3x1）3+（3x1）n，令x1，可得展开式的各项系数和2+22+2+3+2n2n+12故选：D72021年，河北新型冠状病毒引发的疫情
12、牵动着亿万人的心八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援河北，共抗新型冠状病毒肺炎北京某医院的甲、乙、丙、丁4名医生到河北的A，B，C三个灾区支援，若要求每个灾区至少安排1名医生，则灾区A恰好只有医生甲去支援的概率为（）ABCD解：北京某医院的甲、乙、丙、丁4名医生到河北的A，B，C三个灾区支援，要求每个灾区至少安排1名医生，基本事件总数n36，灾区A恰好只有医生甲去支援包含的基本事件个数m6则灾区A恰好只有医生甲去支援的概率为P故选：C8已知a20.3，b0.60.3，clog0.60.3，则（）AabcBacbCcbaDcab解：a20.3201，即a1，0b0.60.30.601，即
13、0b1，clog0.60.3log0.60.362，即c2，cab故选：D9明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕，大吕，太簇据此，可得正项等比数列an中，ak（）ABCD解：根据题意，该问题为已知等比数列的首项、末项，求数列中任意一项，设数列的首项为a1，末项为an，其公比qn1，则q，则aka1qk1a1（）k1；故选：C10已知函数f（x）是R上的满足f（1+x）f（1x），且f（x）的图象关于点（1，0）对称，当
14、x0，1时，f（x）22x，则f（0）+f（1）+f（2）+f（2021）的值为（）A2B1C0D1解：根据f（1+x）f（1x），可得对称轴x0，即函数f（x）是R上的偶函数，且f（x）的图象关于点（1，0）对称，则有f（x）f（x）且f（2x）f（x），变形可得f（x+2）f（x），则有f（x+4）f（x+2）f（x），即f（x）为周期为4的函数，当x0，1时，f（x）22x，则f（0）211，f（1）220，又由f（x）的图象关于点（1，0）对称，则f（2）f（0）1，f（3）f（1）f（1）0，f（4）f（0）1，f（0）+f（1）+f（2）+f（2020）+f（2021）f（0）+f
15、（1）+f（2）+f（3）+f（4）505+f（2021）f（0）+f（1）1；故选：D11如图所示，平面向量，的夹角为60，点P关于点A的对称点Q，点Q关于点B的对称点为点R，则为（）ABC4D无法确定解：根据题意，而向量，的夹角为60，则|，又由点P关于点A的对称点Q，点Q关于点B的对称点为点R，则A是PQ的中点，B是RQ的中点，则2|2，故选：B12已知定义域为（0，+）的函数f（x）满足，且f（e），e为自然对数的底数，若关于x的不等式0恒成立，则实数a的取值范围为（）A1，+）B2，+）C，+）D，+）解：令F（x）xf（x），则F（x）f（x）+xf（x），而，故F（x），故F（x
16、）lnx+c，由F（e）ef（e）2lne+c2，解得：c1，故F（x）lnx+1，故f（x），若关于x的不等式0恒成立，则ax2+2x在x（0，+）恒成立，令g（x）x2+2x，x（0，+），则g（x）2（x1），x（0，1）时，lnx0，x10，故g（x）0，g（x）在（0，1）递增，x（1，+）时，lnx0，x10，g（x）0，g（x）在（1，+）递减，故g（x）maxg（1）2，故a2，即a的取值范围是2，+），故选：B二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题卡相应位置上）13已知点P（x，y）在不等式组 表示的平面区域上运动，则zxy的取值范围是1，2解：画可行
17、域如图，画直线0yx，平移直线0yx过点A（0，1）时z有最大值1；平移直线0yx过点B（2，0）时z有最小值2；则zyx的取值范围是2，1，则zxy的取值范围是1，2，故答案为：1，214数列an是等差数列，若a10，a2020+a20210，a2020a20210，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是4040解：a10，a2020+a20210，a2020a20210，a20200，a20210，S40394039a20200，同理可得S40404040（a2014+a2015）0，S40414041a20210，使前n项和Sn0成立的最大自然数n为：4040故答案为：404015鲁班锁
18、是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为41解：由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，即为该球形容器表面积的最小值为：4R241故答案为：4116已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，F1关于直线l的对称点F1在以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上，则双曲线的离心率为2解：直线l为双曲
19、线的一条渐近线，设直线l为yx，设F1（c，0），F2（c，0），设F1关于直线l的对称点为F1（x，y），所以，解得x，y，即F1（，），因为F1是以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，所以（c）2+（0）2c2，整理可得4a2c2，即2ac，e2，故答案为：2三解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b+a）（sinBsinA）（ca）sinC（1）求B；（2）若b2，ABC的面积为，求ABC的周长解：（1）（b+a）（sinBsinA）（ca）sinC，（b+a）（ba）（ca）c，整理得a2+c2b2ac，
20、cosB，0B，B（2）ABC的面积为，SacsinB，ac，ac4，由b2，可得b2a2+c2ac（a+c）23ac4，a+c4，ABC的周长为a+b+c6182020年“双11”当天各大线上网站的消费额统计都创下新高，体现了中国在“新冠”疫情之后经济复苏的良好态势某网站为了调查线上购物时“高消费用户”是否与性别有一定关系，随机调查200个“双11”当天在该网站消费的用户，得到了如下不完整的列联表；定义“双11”当天消费不高于10000元的用户为“非高消费用户”，消费10000元以上的用户为“高消费用户”高消费用户非高消费用户总计男性用户20女性用户40总计80附：P（K2k0）0.1000
21、.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828（1）将列联表填充完整，并判断是否有99%的把握认为线上购物时“高消费用户”与性别有关？（2）若采用分层抽样的方法从随机调查的200个用户中抽出10个人，再随机抽4人，求高消费用户人数比女性用户人数多1人的概率解：（1）根据题意填写列联表如下：高消费用户非高消费用户总计男性用户2080100女性用户6040100总计80120200由列联表中数据，计算，所以有99%的把握认为线上购物时“高消费用户”与性别有关（2）采用分层抽样的方法从随机调查的200个用户中抽出10个人的结果如下：高消费用户非高消费用户男性用户14女性用
22、户32记“高消费用户人数比女性用户人数多1人”为事件A，男性高消费用户只被抽出1人，所以高消费用户人数比女性用户人数多1人恰为男性高消费用户，即事件A：男性高消费用户必抽，女性非高消费用户必不抽，在女性高消费用户和男性非高消费用户中7选3即可，所以，所以高消费用户人数比女性用户人数多1人的概率为19如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，ABC90，AB2DC2BC，E为AB的中点，沿DE将ADE折起，使得点A到点P位置，且PEEB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）（）求证：平面EMN平面PBC；（）是否存在点N，使得二面角BENM的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说
23、明理由解：（I）证明：由PEEB，PEED，EBEDE，所以PE平面EBCD，又BC平面EBCD，故PEBC，又BCBE，故BC平面PEB，EM平面PEB，故EMBC，又等腰三角形PEB，EMPB，BCPBB，故EM平面PBC，EM平面EMN，故平面EMN平面PBC；（II）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PEEB2，设N（2，m，0），B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），M（1，0，1），设平面EMN的法向量为，由，得，平面BEN的法向量为，故|cos|，得m1，故存在N为BC的中点20已知椭圆C1：的长轴长为4，右焦点
24、为F（c，0），且F恰好是抛物线C2：y22px（p0）的焦点若点P为椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点，OPF（O为坐标原点）重心的横坐标为，且SOPFc（1）求p的值和椭圆C1的标准方程；（2）若p为整数，点M为直线x上任意一点，连接MF，过点F作MF的垂线l与椭圆C1交于A，B两点，若|MF|AB|，求直线l的方程解：（1）因为椭圆C1的长轴长为4，所以2a4，a2，又椭圆C1的右焦点F（c，0）恰好是抛物线C2的焦点，所以设P（x0，y0），则由题意得，解得，又P在抛物线C2上，所以，即3p210p+80，解得或p2从而或c1，又a2，所以或b23，所以椭圆C1的标准方程为或（2）因
25、为p为整数，所以p2，c1，所以椭圆C1的标准方程为，直线即直线x4设M（4，t），则，因为直线AB过点F，且与MF垂直，所以直线，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，得，消去x，整理得（t2+12）y26ty270，由根与系数的关系，得，所以，又，所以，解得t3，所以直线l的方程为xy10或x+y1021已知函数f（x）xaex（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）f（x）+2x+（a1）x，若g（x）有两个不同的极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）（x1+x2）恒成立，求实数的取值范围【解答】解（1）因为数f（x）xaex（aR），所以f（x）1aex当
26、a0时，因为ex0，所以f（x）0，此时函数f（x）的单调递增区间为（，+）当a0时，令f（x）0，解得xln当x时，f（x）0，当x时，f（x）0此时，f（x）的单调递增区间为（，），f（x）的单调递减区间为（ln）综上所述：当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（，+），当a0时，f（x）的单调递增区间为（，），f（x）的单调递减区间为（ln）（2）因为g（x）f（x）+2x+（a1）x，所以g（x）e2xaex+a依题意，解得a4因为x1和x2是g（x）的极值点，所以，则x1+x2lna所以g（x1）+g（x2）（）+（），alnaa所以，由g（x1）+g（x2）（x1+x2），可得al
27、naalna，因为a4，lna0，所以等价于令（x）x，则（x），（x（4，+），由于，所以（x）0，所以（x）在（0，+）单调递增，且（4）4所以，（a）所以的取值范围是选考题（共10分）考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在极坐标系中，点A（1，），B（1，），曲线C：以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系（1）在直角坐标系中，求点A，B的直角坐标及曲线C的参数方程；（2）设点P为曲线C上的动点，求|PA|2+|PB|2的取值范围解：（1）点A（1，），B（1，）根据，转换为直角纵坐标为A（），B（0.1）曲线C：，
28、整理得，根据转换为直角坐标方程为，转换为参数方程为（为参数）（2）把曲线C的直角坐标方程转换为参数方程为（为参数），设点P（，），所以|PA|2+|PB|2的3+，由于，故故|PA|2+|PB|2的取值范围为1，5不等式选讲23已知函数f（x）2|x+1|+|x2|（1）求f（x）的最小值m；（2）若a，b均为正实数，且满足a3+b3m，求证：a+b2解：（1）f（x），函数的图象如图：fmin（x）3（2）方法一：由（1）知m3，a3+b32，又，3（a+b）6，a+b2方法二：a3+b3（a+b）（a2ab+b2）（a+b）（a+b）23ab，当且仅当ab1时等号成立，（a+b）32，（a+b）38，a+b2
