1、第八章立体几何初步考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中真命题的个数是(A)A0B1C2D3解析不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱
2、长不一定相等.2以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为(C)A64 cm2B36 cm2C64 cm2或36 cm2D48 cm2解析分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C选项正确.3梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是(B)A平行B平行或异面C平行或相交D异面或相交解析由直线与平面平行的判定定理，可知CD，所以CD与平面内的直线没有公共点.4空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中(B)A必有三点共线B必有三点不共线C至少有三点共线D不可能有三点共
3、线解析A，B，C，D共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A错.如果四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，B正确.当任意三点不共线时，也满足条件，C错.当其中三点共线，第四个点不共线时，也满足条件，D错.5如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为(C)ABCD解析过点F作FHDC，交BC于H，过点A作AGEF，交EF于G，连接GH，AH，则AFH为异面直线AF与BE所成的角.设正方形ABCD的边长为2，在AGH中，AH，在AFH中，AF1，FH2，AH，cosAFH.6E，F，G分别是空间
4、四边形ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是(C)A0B1C2D3解析在ACD中，G，F分别为AD与CD的中点，GFAC.而GF平面EFG，AC平面EFG，AC平面EFG.同理，BD平面EFG.故选C7正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(A)AB16C9D解析如图所示，设球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底面中心为O.正四棱锥PABCD中AB2，AO.PO4，在RtAOO中，AO2AO2OO2，R2()2(4R)2，解得R，该球的表面积为4R242，故选A8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B
5、1的中点，ABBCBB12，AC2，则异面直线BD与AC所成的角为(C)A30B45C60D90解析如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则ACA1C1DE，则BDE即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BDDEEB，所以BDE60，故选C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9以下关于空间几何体特征性质的描述，错误的是(ABC)A以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥B有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C有一
6、个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台解析以直角三角形的一个直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥，可得A错误；有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体可能是棱台，不一定是棱柱，故B错误；有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故C错误；根据棱台的定义，可得D正确.故选ABC10如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是(ACD)AA1MD1PBA1MB1QCA1M平面DC
7、C1D1DA1M平面D1PQB1解析连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以PMA1D1为平行四边形，所以A1MD1P.故A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故B错误；由A知A1MD1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M即不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，故C、D正确.故选ACD11如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，一定正确的为(ABD)AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45解析QMPN，QM平面
8、ABD，QMBD，同理可得ACMN，QMBD，ACMN，MNQM，ACBD，A正确；ACMN，AC截面PQMN，B正确；QMBD，ACMN，1，C不一定正确；QMBD，异面直线PM与BD所成的角为PMQ45，D正确.故选ABD12正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点.则(BC)A直线D1D与直线AF垂直B直线A1G与平面AEF平行C平面AEF截正方体所得的截面面积为D点C与点G到平面AEF的距离相等解析取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，AM与DD1不垂直，AF与DD1不垂直，故A选项错误；A1GD1F，A1G平面AEFD1，
9、A1G平面AEFD1，故B选项正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为，故C选项正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立.故D选项错误.故选BC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是_.解析圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，该圆柱的高h1，底面周长2r1，底面半径r，该圆柱的体积V1.14一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为_12_厘
10、米.解析VShr2hR3，R12(cm).15已知a，b表示直线，表示平面.若a，b，ab，则；若a，a垂直于内任意一条直线，则；若，a，b，则ab；若a，b，ab，则.上述命题中，正确命题的序号是_.解析对可举反例，如图，需b才能推出；对可举反例说明，当不与，的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知正确.16(2020全国卷理)如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC1，ABAD，ABAC，ABAD，CAE30，则cosFCB_.解析ABAC，AB，AC1，由勾股定理得BC2，同理得BD，BFBD，在ACE中，AC1，AEAD，CAE30，由余弦定理得CE2AC2
11、AE22ACAEcos3013211，CFCE1，在BCF中，BC2，BF，CF1，由余弦定理得cosFCB.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.长方体的长、宽、高分别是40 cm、40 cm、20 cm，正四棱锥PEFGH的高为60 cm.(1)求该安全标识墩的体积；(2)求该安全标识墩的侧面积.解析(1)该安全标识墩的体积VVPEFGHVABCDEFGH402604022064 000(cm3).(2)如图，连接E
12、G，HF交于点O，连接PO，结合三视图可知OP60 cm，OGEG20 cm，可得PG20(cm).于是四棱锥PEFGH的侧面积S14401 600(cm2)，四棱柱EFGHABCD的侧面积S2440203 200(cm2)，故该安全标识墩的侧面积SS1S21 600(2)(cm2).18(本小题满分12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.解析不会溢出杯子.理由如下：由题图可知半球的半径为4 cm，所以V半球R343(cm3)，V圆锥r2h421264(cm3).因为V半球V圆锥，所以如果冰淇淋融化了，不会溢出杯
13、子.19(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD是直角梯形，其中BCAD，BAD90，AD3BC，O是AD上一点.(1)若CD平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB平面PCD.解析(1)CD平面PBO，CD平面ABCD，且平面ABCD平面PBOBO，BOCD.又BCAD，四边形BCDO为平行四边形，则BCDO，而AD3BC，AD3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点.(2)证明：侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB底面ABCD，且ABAD，AB平面PAD.又PD平面PAD，ABPD.又PA
14、PD，ABPAA，AB，PA平面PAB，PD平面PAB.又PD平面PCD，平面PAB平面PCD.20(本小题满分12分)(2020江苏卷)在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，B1C平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点.(1)求证：EF平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C平面ABB1解析(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EFAB1又EF平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以EF平面AB1C1(2)因为B1C平面ABC，AB平面ABC，所以B1CAB.又ABAC，B1C平面AB1C1，AC平面AB1C，B1CACC，所以AB平面AB1C.又因为AB平面ABB1，所以平
15、面AB1C平面ABB121(本小题满分12分)在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于D，E，又SAAB，SBBC.(1)求证：BD平面SAC；(2)求二面角EBDC的大小.解析(1)证明：如图，DESC，且E为SC的中点，又SBBC，BESC.又DEBEE，根据直线与平面垂直的判定定理知SC平面BDE，BD平面BDE，SCBD.又SA平面ABC，BD平面ABC，SABD.又SASCS，BD平面SAC.(2)由(1)知EDC为二面角EBDC的平面角，又SACDEC，EDCASC.在RtSAB中，SAB90，设SAAB1，则SB.由SABC，ABBC，A
16、BSAA，BC平面SAB，SB平面SAB，BCSB.在RtSBC中，SBBC，SBC90，则SC2在RtSAC中，SAC90，SA1，SC2cosASC，ASC60，即二面角EBDC的大小为60.22(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBC，AB2A1A4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1(1)求证：DC1平面A1ABB1；(2)若二面角A1DCA为45.求证：平面A1C1D平面A1AD；求直线AB1与平面A1AD所成角的正切值.解析(1)证明：连接AB1，ADBCB1C1且ADBCB1C1，四边形ADC1B1为平行四边形，A
17、B1DC1，又AB1平面A1ABB1，DC1平面A1ABB1DC1平面A1ABB1(2)证明：如图，取DC的中点M，连接A1M，AM.易知RtA1ADRtA1AC，A1DA1C，A1MDC，又AMDC，A1MA为二面角A1DCA的平面角，A1MA45.在RtA1AM中，AA1AM2，ADAC2，AC2AD2DC2，ACAD，又ACAA1，ADAA1A，AC平面A1AD.又ACA1C1，A1C1平面A1AD.A1C1平面A1C1D，平面A1C1D平面A1AD.AB1DC1，DC1与平面A1AD所成角等于AB1与平面A1AD所成角.由知A1C1平面A1AD，A1D为DC1在平面A1AD内的射影，故A1DC1为直线DC1与平面A1AD所成角，在RtA1DC1中，tanA1DC1，直线AB1与平面A1AD所成角的正切值为.
