1、第八章圆 锥 曲 线 方 程18.5 直线与圆锥曲线的位置关系第二课时题型3 圆锥曲线中的定值问题 1.如图，倾斜角为的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.2 (1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；(2)若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2为定值，并求此定值.解：(1)设抛物线的标准方程为y2=2px，则2p=8，从而p=4.因此焦点F(,0)的坐标为(2，0).又准线方程的一般式为x=-.从而所求准线l的方程为x=-2.3(2)解法1:如图,作ACl,BDl,垂足分别为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|AC|,|FB
2、|=|BD|.记A、B的横坐标分别为xA、xB，则解得4类似地,有|FB|=4-|FB|cos,解得记直线m与AB的交点为E，则所以故为定值.5解法2：设A(xA,yA)，B(xB,yB)，直线AB的斜率为k=tan，则直线AB的方程为y=k(x-2).将上式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0，故记直线m与AB的交点为E(xE,yE)，则故直线m的方程为6令y=0,得P的横坐标故从而为定值.点评：探求有关定值问题，一是可以转化为求值问题来解，二是可以考虑特殊情况时的解.7如图,已知点F(1,0),直线l:x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线,垂足为Q,且(1)求
3、动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M,已知试推断1+2是否为定值，并说明理由.8解:(1)设点P(x,y),则Q(1，y).由得(x+1,0)(2,-y)=(x-1,y)(-2,y),化简y2=4x.所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x.(2)设直线AB的方程为x=my+1(m0).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(-1，-).9联立方程组消去x得y2=4my+4，则=(-4m)2+160,故由得整理得所以为定值.10 2.已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:(ab0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，
4、直线AS,BS与直线l:x=分别交于M,N 两点.(1)求椭圆的方程；(2)求线段MN的长度的最小值；题型4 圆锥曲线中的最值与范围问题11(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得TSB的面积为？若存在，确定点T的个数；若不存在，说明理由.解：(1)由已知得，椭圆C的左顶点为A(-2,0)，上顶点为D(0,1),所以a=2,b=1,故椭圆C的方程为 (2)直线AS的斜率k显然存在，且k0，故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而12由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,设S(x1,y1),则得从而即又B(2,0)，故直线BS的方程为由得所以故13又k
5、0，所以当且仅当即时等号成立.所以时，线段MN的长度取最小值.(3)由(2)可知，当MN取最小值时，,此时BS的方程为x+y-2=0,所以要使椭圆C上存在点T，使得TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，14所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l上.设直线l:x+y+t=0,则由解得或当时，由得5x2-12x+5=0.由于=440,故直线l与椭圆C有两个不同的交点;当时，由得5x2-20 x+21=0.15由于=-20b0)的右焦点F，作斜率为1的直线l交椭圆于A、B两点，O为原点.已知与向量a=(3，-1)共线.(1)求椭圆的离心率；(2)设M为椭圆上任意一点,且(,R),证明：2
6、+2为定值.解：(1)设点F(c,0),则直线l的方程为y=x-c.代入椭圆方程,整理得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.20设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因为与a(3，-1)共线，所以3(y1+y2)+(x1+x2)=0，即3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0.所以于是解得a2=3b2.所以 (2)因为a2=3b2,所以椭圆方程可化为x2+3y2=3b2.21由题设=(x1+x2，y1+y2).因为点M在椭圆上，所以(x1+x2)2+3(y1+y2)2=3b2，即2(x12+3y12)+2(x22+3y22)+2(x1x2+3y1y2)=3b2.因为A
7、、B两点在椭圆上，所以x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2.又x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c222所以23b2+23b2=3b2,即2+2=1,为定值.23 2.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回实验，设计方案如右图.航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)，观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器.24 (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：航天器在x轴上方时
8、，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解:(1)设抛物线方程为易得所以曲线的方程为 (2)设变轨点为C(x，y).根据题意可知，25易得4y2-7y-36=0，解得y=4或y=-(不合题意,舍去),所以y=4,所以得x=6或x=-6(不合题意，舍去).所以点C的坐标为(6,4),则|AC|=,|BC|=4.所以，当观测点A、B测得离航天器的距离分别为、时，应向航天器发出变轨指令.261.对于圆锥曲线中的定点、定值问题,一般利用方程思想转化为求值问题来解决.2.对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.27 3.对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.4.圆锥曲线实际应用问题大都带有一定的实际生活背景，利用圆锥曲线的定义、方程及其几何性质，将实际问题与之相互联系，灵活转化是解决此类问题的关键.28
