1、第五章平 面 向 量15.1 向量的概念及其几何运算考点搜索向量的基本概念向量的加法与减法实数与向量的积一个向量与非零向量共线的充要条件向量与几何2高考猜想高考中对本章内容的考查主要是向量的有关概念、运算法则、线线平行条件及基本定理，以选择题和填空题形式出现的可能性较大.3一、向量的有关概念 1.既有_又有_的量叫做向量.向量可以用有向线段来表示.2.向量的大小，也就是向量的_(或称模)，记作_.3.长度为_的向量叫做零向量，记作0.规定零向量的方向是_.长度为1的向量叫做单位向量.大小方向长度0任意的44.方向_的向量叫做平行向量，也叫做_.规定：零向量与_平行.5.长度_且方向 11 _的
2、向量叫做相等向量.二、向量的初等运算 1.向量的加法法则有 12 _法则和13 _法则.2.向量的加法满足 14 _律和 15 _律.相同或相反共线向量任一向量相等相同平行四边形三角形交换结合53.与a长度 16 _，方向 17 _的向量，叫做a的相反向量.4.实数与向量a的乘积a是一个 18 _，它的长度是|a|的 19 _倍，它的方向为：当0时，与a的方向 20 _；当0时,与a的方向21 _;当=0时,a=22 _.5.设a、b是任意向量，、是实数，则实数与向量的积满足以下运算律：(1)结合律，即(a)=23 _;相等相同向量|相同相反0()a6(2)第一分配律,即(+)a=24 _;第
3、二分配律，即(a+b)=25 _.三、两个重要定理1.共线向量定理:向量b与 26 _向量a共线的充要条件是 27 _.2.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个 28 _向量，那么对这一平面内的任一向量a 29 _一对实数1、2，使 30_，其中e1、e2是 31 _.a+aa+b非零有且只有一个实数,使得b=a不共线有且只有a=1e1+2e2一组基底78如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()9解法1：因为所以得故选A.解法2：10已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且那么()解：因为O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，所以由得即A11
4、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若则AF=()解:如图,易知解得12因为E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，所以所以故选B.13 1.判断下列命题的真假，并说明理由.若|a|=|b|，则a=b或a=-b;若则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；若a=b，b=c，则a=c;题型1 向量有关概念的辨析第一课时14若ab，bc，则ac;设a,b为非零向量,|a+b|=|a|-|b|a|b|且a与b方向相反.解：两向量相等必须大小相同而且方向相同，因此，模相等是向量相等的必要不充分条件，故此命题不正确.由可得且，由于可能是A
5、，B，C，D在同一条直线上，故此命题不正确.正确.15不正确.当b=0时，ac不一定成立.正确.点评：相等向量、平行向量、零向量是向量中的几个基本概念，两向量相等的充要条件是：方向相同且长度相等；平行向量对应的直线(或线段)在同一直线上，或在两平行直线上；零向量是方向任意，长度为零的向量，与其他非零向量都平行.16判断下列命题是否正确，不正确的说明理由.若向量a与b同向，且|a|b|，则ab;对于任意向量a、b满足|a|=|b|，且a与b的方向相同，则a=b;由于零向量0的方向不确定，故0不能与任一向量平行;向量a与向量b平行，则向量a与向量b的方向相同或相反;17向量与向量是共线向量，则A，
6、B，C，D四点在一条直线上;起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.解：不正确.因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故不正确.正确.因为|a|=|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件可得a=b.18不正确.由零向量的性质可得0与任一向量平行，可知不正确.不正确.因为向量a与向量b中若有一个是零向量，则其方向不确定.不正确.若向量与向量是共线向量，则向量与向量所在的直线平行或重合，因此，A，B，C，D不一定共线.正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的.19 2.如图，设E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的
7、中点，求证：证明：因为+得因为G、H分别是AD、BC的中点，题型2 向量的加法、减法及数乘的应用20所以所以同理，故点评：利用向量证几何中的平行或相等问题，注意向量加法的合并原则“首尾相接，首尾连”，而减法运算可转化为加上此向量的相反向量，从而统一成加法运算.另外也可结合图形，利用加法的平行四边形法则或三角形法则进行加减运算.21求证：点O是ABC的重心的充要条件是证明：(1)充分性：因为所以即是与方向相反且长度相等的向量.如图所示，以OB、OC为相邻的两边作平行四边形BOCD，则所以22在平行四边形BOCD中，设BC与OD相交于点E，则所以AE是ABC的边BC的中线，且所以点O是ABC的重心
8、.(2)必要性：因为O点是ABC的重心，连结AO并延长交BC于E，则E为BC的中点.延长OE到D，使则四边形BOCD为平行四边形，所以所以231.向量的加法与减法是互逆运算.2.当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法则；而当它们的始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则.3.运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平行四边形.另外注意三角形的四心：外心：三角形外接圆的圆心(即三边中垂线的交点)；重心：三角形三条中线的交点；24垂心：三角形三条高线的交点；内心：三角形三个内角的平分线的交点.4.若C为线段AB的中点，O为直线AB外一点，由向量加法的平行四边形法则可得25
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