1、第一章集 合 与 简 易 逻 辑11.3 含绝对值的不等式和一元二次不等式第二课时题型4 二次不等式、分式不等式的解法1.解不等式组2解：由x2-6x+80，得(x-2)(x-4)0，所以x2或x4.由得所以1x5.所以原不等式组的解集是(1，2)(4，5).点评：解一元二次不等式，一般先化二次项系数为正，然后解得其对应的一元二次方程的两个根，再由此写出不等式的解集；分式不等式，一般是先通分，然后对分子分母分解因式，再根据实数乘除的符号法则化为一元二次不等式进行求解.3解不等式解：原不等式可化为即即所以其解用数轴表示如下：所以不等式的解集是(1，)(2，+).拓展变式42.解下列不等式：(1)
2、2x3-x2-15x0;(2)(x+4)(x+5)2(2-x)30.解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)0，把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根x1=0,x2=-x3=3顺次标在数轴上,然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集为如图所示的阴影部分.题型5 高次不等式的解法5所以原不等式的解集为x|-x0或x3.(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)30所以原不等式的解集为x|x-5或-5x-4或x2.6点评：解高次不等式的策略是降次，降次的方法一是分解因式法，二是换元法.本题是利用分解因式，然后根据实数的积的符号法则，结合数轴标根法得出不等式的解集.7 (原创
3、)解不等式解：原不等式可化为即所以(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)0且x-3,x2，用“数轴标根法”画草图，所以原不等式的解集是(-3，-1(2，4.拓展变式8 3.已知不等式ax2+bx+c0的解集为x|1x3，求cx2+bx+a0的解集.解法1：注意到一元二次不等式的解集与相应二次方程的根之间的关系，可以知道ax2+bx+c=0的两个根为1，3，即原不等式与(x-1)(x-3)0同解.即x2-4x+30与-ax2-bx-c0同解，因此题型6 含参数的一元二次不等式的解法9 这样目标不等式cx2+bx+a0可变成3x2-4x+10，而方程3x2-4x+1=0的根为，1，因此所求不等式
4、的解集为x|x或x1.解法2：由ax2+bx+c0的解集为x|1x3,可知ax2+bx+c=0的两个实根为1,3,且a0，根据韦达定理有因为a0，不等式cx2+bx+a0可变成即3x2-4x+10，解得x或x1，故原不等式的解集为x|x或x1.10点评：一元二次不等式与一元二次方程有着千丝万缕的关系，如一元二次不等式解集的边界值等于其对应的一元二次方程的两根，而方程的根又与系数有着联系，因此不等式的边界值与系数也就联系起来了.不同的是要注意一元二次不等式最高次项的符号.11已知a0，因为a0 -2x0；(2)当0a1时,原不等式因为-2-a ，所以-2x ；拓展变式12 (3)当a0时,原不等
5、式若-a0时,原不等式-2x-a或x ；若a=-时,原不等式x 且x-2；若a-时,原不等式x-a或x-2,综上，当0a1时,解集是x|-2x ；当a=0时，解集是x|-2x0；当-a0时，解集是x|-2x-a或x ；当a=-时，解集是x|x 且x-2；当a-时，解集是x|x-a或x-2.13不等式(m-2)x2+2(m-2)x-40对一切实数x都成立，求实数m的取值范围.解：若m=2，不等式可化为-40，这个不等式与x无关，即对一切xR都成立.若m2，这是一个一元二次不等式.由 于 解 集 为 R，故 知 抛 物 线 y=(m-2)x2+2(m-2)x-4的开口向下，且与x轴无交点，必有即参
6、考题解得-2m2.综上，m的取值范围是m|-2m2.141.含参数的二次不等式可从二次项系数与0的大小；判别式与0的大小；一元二次方程的根这三个方面进行分层讨论.2.一元n(n2，nN)次不等式及分式不等式的求解问题也可采用标根分区间法求解.其步骤是：(1)将多项式的最高次项的系数化为正数;(2)将多项式分解为若干个一次因式的积；点 石 成 金15 (3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；(4)根据曲线显现出的多项式值的符号变化规律，写出不等式的解集.一般地，一元n次不等式:(x-a1)(x-a2)(x-an)0 (x-a1)(x-a2)(x-an)0其中a1a2a3an，把a1，a2，an按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如下图所示.16右端第一区间(an，+)一定为正，然后正负相间.对于一次因式中有奇次方(大于1)和偶次方的高次不等式，其办法为：“奇次方一穿而过，偶次方穿而不过.”17
