1、第一章集 合 与 简 易 逻 辑1考点搜索集合的交、并、补集的概念及性质高考猜想1.运用交、并、补集的运算法则进行计算.2.用韦恩图解答有关集合问题.1.2 集合的运算2 1.集合A与集合B的交集可表示为_;集合A与集合B的并集可表示为_;若U为全集，则集合A的补集可表示为_;AB=A_;AB=A_;U(AB)=_;U(AB)=_.2.如果用card(A)、card(B)分别表示集合A与集合B的元素个数，那么card(AB)=_.3盘点指南：AB=x|xA且xB;AB=x|xA或xB;UA=x|xU且xA;AB;BA;(UA)(UB);(UA)(UB);card(A)+card(B)-card
2、(AB)4A5 2.设U=1,2,3,4,5，且AU,BU,AB=2,(UA)B=4,UA UB=1,5,则下列结论正确的是()A.3A,3B B.3 UA,3B C.3A,3 UB D.3UA,3UB解：U=1,2,3,4,5,且AU,BU,AB=2,(UA)B=4,UA UB=1,5B=(AB)(UA)B=2,4,UA=(UA)B(UA UB)=1,4,5A=2,3,故选C.C6 3.设全集U=(x,y)|xR,yR，集合M=(x,y)|，P=(x,y)|yx+1,那么 U(MP)等于()A.B.(2,3)C.(2,3)D.(x,y)|y=x+1解：M=(x,y)|=(x,y)|y=x+1
3、且x2，P=(x,y)|yx+1，所以 U(MP)=(2,3),故选B.B7 1.设集合A=x|x2-2x+2m+4=0,B=x|x0，若AB，求实数m的取值范围.解法1：依题意，方程x2-2x+2m+4=0至少有一个负实数根.设M=m|关于x的方程x2-2x+2m+4=0两根均为非负实数,题型1 集合的交、并、补集的运算8则解得-2m ,所以M=m|-2m .设全集U=m|0=m|m ,所以实数m的取值范围是 UM=m|m-2.9解法2：AB方程x2-2x+2m+4=0的小根x=1-1-2m-31m0，则由二次函数性质知AB等价于f(0)0，解得m-2,所以实数m的取值范围是(-,-2).1
4、0点评：本题求解关键是准确理解AB的具体意义，首先要从数学意义上解释AB的意义，然后才能提出解决问题的具体方法.在解法3中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单.11设R为全集，集合A=m|关于x的方程mx2-x-1=0有实根，B=n|关于x的方程x2-x+n=0有实根，求(RA)B.解：因为方程mx2-x-1=0有实根，所以m=0或得m所以A=+)，从而 RA=(-，).同样可得B=(-，所以(RA)B=(-，).拓展变式12 2.设全集U=不大于20的质数，已知A UB=3，5，(UA)B=7，11，(UA)(UB)=2，17，求集合A、B.解：由题设U=2，3，5，7
5、，11，13，17，19，由已知条件结合韦恩图，得右图.其中AB=13，19，所以A=3，5，13，19，B=7，11，13，19.题型2 韦恩图的应用13点评：韦恩图是表示集合的一种图形法.在韦恩图中，图形中符号的含义是：矩形内部的点表示全集中的所有元素；矩形内的圆(或其他闭曲线)表示不同的集合；圆(或闭曲线)内部的点表示相应集合中的元素.由于其形象直观，易于理解而用来解决一些集合问题.1415 3.设集合A=x|x2+3x+20，B=x|mx2-4x+m+30，若AB=，且AB=A，求实数m的取值范围.解：因为AB=A,所以BA,从而AB=B，又AB=，所以B=.所以不等式mx2-4x+m
6、+30无解，即对一切xR，mx2-4x+m+30恒成立.所以m0，且=16-4m(m+3)0，即m0且m2+3m-40，得m-4.故实数m的取值范围是(-，-4.题型3 集合运算中的参数的取值范围问题16点评：求参变量的取值范围，关键是根据条件得到参变量的不等式(组)，然后由不等式(组)求得.由集合间的包含关系转化为相应不等式时，一是注意集合边界值之间的大小关系的比较，二是注意不要忽略空集.17已知集合A=x|x2-x-60，B=x|x2+2x-80，C=x|x2-4ax+3a20，若ABC，求实数a的取值范围.解：由已知A=x|-2x3，B=x|x-4或x2，所以AB=x|2x3.又因为C=
7、x|(x-a)(x-3a)0，当a0时，C=x|ax3a.因为ABC，所以解得1a2.拓展变式18当a=0时，C=，此时ABC.当a0时，C=x|3axa，此时，ABC不成立.综上所述，a的取值范围是1，2.19 1.若集合A、B、C满足AB=AC，则可推得()A.B=C B.AB=AC C.A(UA)B=(UA)C D.(UA)B=(UA)C参考题题型抽象集合问题20解：由AB=AC可推得B与C与“集合A外”的元素相同.设xB且xA，则xAB，所以xAC，又xA，所以xC.同理，当yAC且yA时，有yB，所以B与C在“A外”的元素相同，故(UA)B=(UA)C，故选D.21 2.若集合A1、
8、A2满足A1A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A=1，2，3的不同分拆种数是()A.27 B.26 C.9 D.8解：A1=时，A2=1，2，3，只有1种分拆;题型集合中的分类讨论问题22A1是单元素集时(有3种可能)，则A2必须至少包含除该元素之外的两个元素，也可能包含3个元素，有两类情况(如A1=1时，A2=2，3或A2=1，2，3)，这样A1是单元素集时的分拆有6种；A1是两个元素的集合时(有3种可能)，则A2必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含A1中的1个或2个元素(如
9、A1=1，2时，A2=3或A2=1，3或A2=2，3或A2=1，2，3)，这样A1是两个元素的集合时的分拆有12种；23A1是三个元素的集合时(只有1种)，则A2可能包含0，1，2或3个元素(即A1=1，2，3时，A2可以是集合1，2，3的任意一个子集)，这样，A1=1，2，3时的分拆有23=8种.所以集合A=1，2，3的不同分拆的种数是1+6+12+8=27，选A.24 1.处理集合的交、并、补运算题时，数形结合(例如韦恩图、数轴)是常用的有效方法.利用此法较简捷、直观，应强化这方面的意识培养.2.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视，但又经常遗漏的情况，如AB，AB=B，AB=A等，集合A可以是空集，也可以是非空集合，应当分两种情况加以讨论.25
