1、数系的扩充与复数的引入自主梳理1数系的扩充数系扩充的脉络是：_，用集合符号表示为_，实际上前者是后者的真子集自然数系有理数系实数系NQR 2复数的有关概念(1) 复数的概念形如abi (a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的_和_实部 虚部 复数abi(2)复数相等：abicdi_(a，b，c，dR)ac，bd(3)共轭复数：abi与cdi共轭_(a，b，c，dR)为z的共轭复数。ac，bd3复数的几何意义(1) 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面_叫做实轴，_叫做虚轴实轴上的点表示_；，虚轴上的点（除原点外）都表示_；各象限内的点都表示_x轴y轴实数纯虚数非纯虚数（2）复数zab
2、i复平面内的点Z(a，b)(a，bR)_平面向量_ (3)复数的模向量的模r叫做复数zabi的模，记作_或_，即|z|abi|_.|z|abi|4复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)_；减法：z1z2(abi)(cdi)_；乘法：z1z2(abi)(cdi)_；除法：_(cdi0) (ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C，有z1z2_，(z1z2)z3_.z2z1 z1(z2z3) 5进行复数运算时，
3、熟记以下结果有助于简化运算过程(1) (abi)2a22abib2a2b22abi，(abi)(abi)a2b2(2) i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30 (nN)(3) (1i)22i，(1i)22i，i，i复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(abi)2a22abib2与(ab)2a22abb2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(abi)(abi)a2b2与(ab)(ab)a2b2失误与防范两个虚数不能比较大小
4、z20在复数范围内有可能成立，例如：当z3i时z290.自我检测1复数等于()Ai Bi C.iD.iCi.2复数z1i，为z的共轭复数，则zz1等于()A2i Bi Ci D2iBz1i，1i，z|z|22，zz12(1i)1i.3设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_.解析设zabi(a、bR)，由i(z1)32i，得b(a1)i32i，a12，a1.4在复平面内，复数z满足2i(i为虚数单位)，则复数z对应的点的坐标为_ (，)，5已知复数z满足12i，则复数z_. i _.题型一复数的分类例1已知mR，复数z(m22m3)i，当m为何值时，(1)zR；(2)z是纯
5、虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线xy30上11解(1)当z为实数时，则有m22m30且m10得m3，故当m3时，zR.(2)当z为纯虚数时，则有解得m0，或m2.当m0或m2时，z为纯虚数(3)当z对应的点位于复平面第二象限时，则有，解得m3或1m2，故当m3或1m2时，z对应的点位于复平面的第二象限(4)当z对应的点在直线xy30上时，则有(m22m3)30，得0，解得m0或m1.当m0或m1时，点Z在直线xy30上点评：(1)本题考查复数集中各数集的分类，题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则应先化为代数形式，再依据概念求解(2) 判定复数是实数，仅注重
6、虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义变式训练1 当实数m为何值时，z(m25m6)i，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限解得m1.解(1)若z为实数，则，解得m2.(2)若z为虚数，则，解得m2且m3.(3)若z为纯虚数，则，解得m3.(4)若z对应的点在第二象限，则，即，m3或2m3.题型二复数的代数运算例2计算：. (1)； (2)2 010；(3)6； (4)2 008.解(1)原式1i.(2)原式1 005i1 005ii1 005ii42511ii2i.(3)方法一原式6i61i.方法二(技巧解法)原式6i61i.(4)原式
7、1 0041 00411i.点评：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程运算结果在解题中的应用，运算的最后结果化为abi (a，bR)的形式要记住一些常用的结果，如i、i的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度变式训练2 (1) i是虚数单位，等于()Ai Bi C1 D1 (2)已知复数z，是z的共轭复数，则z_.(3)复数的值是_16_题型三复数的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，32i，24i，试求： (1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求B点对应的复数解(1)，所表示的复数为32i.
8、，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.点评：根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合变式训练3 (1)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 ()A48i B82i C24i D4i复数65i对应A点的坐标为(6,5)，23i对应B点的坐标为
9、(2,3)由中点坐标公式知C点坐标为(2,4)，点C对应的复数为24i.(2)复数z134i，z20，z3c(2c6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若BAC是钝角，则实数c的取值范围为_解析在复平面内三点坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c，2c6)，由BAC是钝角得0且B、A、C不共线，由(3，4)(c3,2c10)，其中当c9时，(6,8)2，三点共线，故c9. c且c9 (3)已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_妙解由|z2|可得，|z2|2(x2)2y23.设k，即得直线方程为kxy0，圆(x2)2y23的圆心(2,0)到直线kxy0的距离d.解得k，即得的最大
10、值为.题型四 用待定系数法解决复数问题例4（1）已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.（2）已知关于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有实数根，求m.解设xabi (a，bR)，则yabi，xy2a，xya2b2，代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i， 根据复数相等得，解得或或或. 故所求复数为或或或. 点评 复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件利用复数相等abicdi列方程时，注意a，b，c，dR的前提条件应用复数的实数化策略可解决求复系数方程的实数解、求复平面上动点的轨迹等问题。对于复系数(系数不全为实数)的
11、一元二次方程的求解，判别式不再成立因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解变式训练4 （1）若zcos isin ，则使z21的值可能是()A.B. C. D.解析：z2cos2sin2isin 2cos 2isin 2，当时，z2cos isin 1.（2）已知|z|z12i，求复数z.解设zabi (a、bR)，则(abi)12i.由两复数相等的充要条件得解得所以所求复数为z2i.一、选择题1若复数z，则复数等于()Ai B.iCi Di2若复数(aR，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为 ()A2 B4C6D63对任意复数zxyi(x，yR)，i为虚数单位，
12、则下列结论正确的是()A|z|2y Bz2x2y2C|z|2x D|z|x|y|4复数z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，则实数a的取值范围是 ()A1a1 Ca0Da15若(，)，则复数(cos sin )(sin cos )i在复平面内所对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限B由三角函数线知识得当(，)时，sin cos 0，故选B.6下面四个命题：0比i大；两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；xyi1i的充要条件为xy1；如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3A(1)中实数与虚数不能比较大小；(2)
13、两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；(3)xyi1i的充要条件为xy1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数；(4)当a0时，没有纯虚数和它对应7在复平面内，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数为 ()A12i B12iC34iD34i二、填空题8已知复数z与(z2)28i均是纯虚数，则z_2i _9若复数z1a2i，z21bi，a，bR，且z1z2与z1z2均为纯虚数，则_. i10已知复数z1m2i，z234i，若为实数，则实数m_.解析是实数，64m0，故m.11设复数z满足z(23i)64i(i为虚数单位)，则z
14、的模为_2_12已知z12i，z213i，则复数的虚部为_解析i，故虚部为1.13已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别为A，B，C.若xy，则xy的值是_5_14复数zxyi (x，yR)满足|z1|x，则复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程为_解析由|z1|x得|(x1)yi|x，故(x1)2y2x2，x0，整理得y22x1.三、解答题15已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.解(z12)(1i)1iz12i.(4分)设z2a2i，aR，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R，a4.
15、z242i.(12分)16已知z是复数，z2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi (x、yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i.由题意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，由于(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，解得2a6，实数a的取值范围是(2,6)17已知mR，复数z(m22m3)i，当m为何值时，(1)zR；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)4i.解(1)由zR，得解得m3.(2)由z是虚数，得m22m30，且m10，解得m1且m3.(3)由z是纯虚数，得解得m0或m2.(4)由4i，得(m22m3)i4i，即
