1、板块提能一 选择、填空题的8大解题技法在高考中，会做的题目因时间关系未能做完是一种遗憾.究其原因，是在选择、填空小题上浪费过多时间，导致后面解题心态失衡造成的.选择、填空题，不但要准做，更要快做.在某种意义上说，提高解题速度就是另外一种得分.要想提高解题速度，只靠实实在在、按部就班的正常演算推理是不够的，有时需要借助一些巧法妙招，甚至是“投机取巧”来赢得时间.今展示选择、填空题的8大解题技法并辅以8套小题限时训练，旨在让考生在考场上答题快人一步、成绩高人一筹.定义法定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的简单地说，定义是对数学实体的高度抽象
2、，用定义法解题是最直接的方法一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决典例(2018 届高三平顶山调研)若双曲线x2a y2b1(a0，b0)和椭圆x2my2n1(mn0)有共同的焦点 F1，F2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|()Am2a2 B.m a C.12(ma)Dma技法应用 不妨设点P是第一象限内两曲线的交点，F1，F2分别为左、右焦点，由椭圆的定义可知，|PF1|PF2|2 m，由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2 a，两式联立得|PF1|m a，|PF2|m a，所以|PF1|PF2|ma.答案 D反思领悟 利用定义法求解动点的轨迹或
3、圆锥曲线的有关问题，要注意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，灵活利用相关的定义求解如本例中根据双曲线的定义和椭圆定义建立方程组后就可求出|PF1|PF2|的值应用体验1在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角的终边上，点N(2m，4)在角4的终边上，则m()A6或1 B1或6C6 D1解析：由题意得，tan m3，tan4 42m 2m，2m1m31m3，m6或1.答案：A 2(2017长沙二模)已知抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A 10 B4C 15 D5解析：由题意知，抛物线的准线方程为y1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.答案：D 数形
4、结合法数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质典例(2017合肥模拟)已知函数f(x)sin x，0 x1，log2 018x，x1.若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A(1,2 017)B(1,2 018)C(2,2 019)D2,2 019技法应用 作出函数 yf(x)与 y
5、m 的图象如图所示，不妨设 abc，由正弦曲线的对称性，可得(a，m)与(b，m)关于直线 x12对称，因此 ab1，当直线 ym1 时，由 log2 018x1，解得 x2 018，若满足 f(a)f(b)f(c)(a，b，c 互不相等)，由 abc 可得 1c2 018，因此可得 2abc2 019，即 abc(2,2 019)，故选 C.答案 C反思领悟 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如本例中结合yf(x)的图象求范围应用体验3已知函数f(x)4x4，x1，x24x3，x1 和函数g(x)log2x，则函数h(x)f(x
6、)g(x)的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：令h(x)0，得f(x)g(x)，所以函数h(x)f(x)g(x)的零点个数等价于函数f(x)与g(x)的图象的交点个数分别画出函数f(x)4x4，x1，x24x3，x1的图象和函数g(x)log2x的图象，如图所示由图可知，两函数图象的交点个数是3.答案：C4给定两个长度为1的平面向量OA 和OB，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的弧 AB 上运动，若OCxOAyOB，其中x，yR，则xy的最大值是()A3 B4C2 D8解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B(cos 120，sin 120)，即B12，32.
7、设AOC，则 OC(cos，sin)OCx OAy OB(x,0)y2，32 y(cos，sin)，xy2cos，32 ysin，xsin 3 cos，y2sin 3，xy 3sin cos 2sin(30)0120，3030150.当60时，xy有最大值2.答案：C 特例法特例法，包括特例验证法、特例排除法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排除干扰项，从而获得正确结论这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略典例 函数f
8、(x)cos xlog2|x|的图象大致为()技法应用 由题意知函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，且为偶函数，故排除A、D，又f12 cos12bc BbacCcab Dbca技法应用 由指数函数的性质可知y2x在R上单调递增，而00.51，所以a20.5(1,2)由对数函数的性质可知ylogx，ylog2x均在(0，)上单调递增，而13，所以blog3(0,1)，因为sin 25(0,1)，所以clog2sin 25 1b0c，即abc.答案 A反思领悟 估算省去很多推导过程和比较复杂的计算，节省时间，是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法但要注意估算也要有依据，如本例是根
9、据指数函数与对数函数的单调性估计每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实就是找一个中间值进行比较应用体验7已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且ABBCCA2，则球面面积是()A169 B83C4 D649 解析：球的半径R不小于ABC的外接圆半径r 2 33，则S球4R24r2163 5，只有D选项符合，故选D.答案：D 8若M为不等式组x0，y0，yx2表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线xya扫过M中的那部分区域的面积为()A34 B1C74 D2解析：如图知区域的面积是OAB去掉一个小直角三角形阴影部分面积比1大，比SOAB12222小，结合选项
10、可知选C.答案：C待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等两个多项式各同类项的系数对应相等使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等典例 已知双曲线 x2a2 y2b2 1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24 7x的准线上，则双曲线的方程为()A.x221y2281 B.x228y2211C.x23 y
11、241 D.x24 y231技法应用 由双曲线的渐近线ybax过点(2，3)，可得 3ba2.由双曲线的焦点(a2b2，0)在抛物线y247 x的准线x 7上，可得a2b2 7.由解得a2，b 3，所以双曲线的方程为x24 y231.答案 D反思领悟 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如本例中已知双曲线的焦点在抛物线y247 x的准线上，根据已知条件列方程求解a，b即可应用体验9已知等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S525，则S7()A41 B48C49 D56解析：设SnAn2Bn，由题知，S39A3B9，S525A5B25，解得A1，B0，S749.答案：C 10已知圆C关于x
12、轴对称，经过点(0,1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为21，则圆的标准方程为()Ax2y 33243 Bx2y 33213C.x 332y243 D.x 332y213解析：法一：(排除法)由圆心在x轴上，可排除A、B，又圆过点(0,1)，故圆的半径大于1，排除D，选C.法二：(待定系数法)设圆的方程为(xa)2y2r2，圆C与y轴交于A(0,1)，B(0，1)，由弧长之比为21，易知OCA12ACB1212060，则tan 60|OA|OC|1|OC|，所以|a|OC|33，即圆心坐标为 33，0，r2|AC|21233243.所以圆的标准方程为x 332y243.答案：C换元法换元法又称
13、辅助元素法、变量代换法通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等典例 已知正数x，y满足4y 2yx 1，则x2y的最小值为_技法应用 由4y2yx 1，得x2y4xy，即 14y 12x1，所以x2y(x2y)14y 12x 1 x4yyx12x4yyx2，当且仅当 x4yyx，即x2y时等号成立所以x2y的最小值为2.答
14、案 2反思领悟 换元法主要有常量代换和变量代换，要根据所求解问题的特征进行合理代换如本例中就是使用常数1的代换，将已知条件化为“14y 12x1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其展开，通过构造基本不等式的形式求解最值应用体验11(2017成都一模)若函数f(x)13xa9x，其定义域为(，1，则a的取值范围是()A49 B49，C，49 D49，0解析：由题意得13xa9x0的解集为(，1，即 13x213xa0的解集为(，1令t13x，则t13，即方程t2ta0的解集为13，13213a0，所以a49.答案：A12函数ycos2xsin x在x0，4 上的最大值为_
15、解析：ycos2xsin xsin2xsin x1.令tsin x，又x0，4，t0，22，yt2t1，t0，22.函数yt2t1在0，22 上单调递减，t0时，ymax1.答案：1构造法构造法求解选择、填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型(如构造函数、方程或图形)，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括、积极联想、横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、数列、几何等具体的数学模型，使问题快速解决典例(1)若aln 12 015 12 015，bln 12 016
16、 12 016，cln 12 01712 017，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCcba Dcab技法应用 令f(x)ln xx，则f(x)1x11xx.当0 x0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数112 01512 01612 0170，abc.答案 A(2)如图，已知球O的表面上有四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC 2，则球O的体积等于_技法应用 如图，以DA，AB，BC为棱长 构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD 22 22 222R，所以R 62，故球O的体积V4R33 6.答案 6反思领悟
17、 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题如本例(2)中巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题就很容易得到解决应用体验13关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；再根据统计数m来估计的值假如统计结果是m102，那么可以估计_(用分数表示)
18、解析：(构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为xy1，x2y21，0 x1，0y1，作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有102360141211，解得4715.答案：471514关于x的不等式exx22 1a94 x0在x12，上恰成立，则a的取值集合为_解析：关于x的不等式exx22 1 a94 x0在x 12，上恰成立函数g(x)ex12x21x在 12，上的值域为a94，.因为g(x)exx112x21x2，令(x)ex(x1)12x21，x12，则(x)x(ex1)因为 x12，所以(x)0，故(x)在12，上单调递增，所以(x)
19、12 78 e2 0.因此 g(x)0，故 g(x)在12，上单调递增，则 g(x)g12 e12181122 e94，所以 a942 e94，解得 a2 e，所以 a 的取值集合为2 e答案：2 e分离参数法分离参数法是不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避免对参数进行分类讨论的繁琐过程该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决但要注意该种方法仅适用于分离参数后能够求解相应函数的最值或值域的情况典例 若不等式x2ax10对一切x0，12恒成立，则a的最小值是_技法应用 由于 x0，则由已知可得 ax1x在 x0，12 上恒成立，而当
20、 x0，12 时，x1x max52，a52，故 a 的最小值为52.答案 52反思领悟 利用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于准确分离参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化，如果参数的系数符号为负号，则分离参数时应注意不等号的变化否则就会导致错解应用体验15(2018 届高三湖南五校调研)方程 log 12(a2x)2x 有解，则 a 的最小值为_解析：若方程 log 12(a2x)2x 有解，则122xa2x 有解，即1412x2xa 有解，1412x2x1，当且仅当 x1 时取等号故 a 的最小值为 1.答案：116(2017长沙二模)设函数f(x)x21，对任意x 32，f xm 4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是_解析：由题意得 xm214m2(x21)(x1)214(m21)对x 32，恒成立，即 1m24m21 x22x30对x32，恒成立，即 1m24m212x3x2对x32，恒成立，令 g(x)2x3x2，由于 g(x)2x3x2 3x22x在32，上是增函数，故只需 1m24m21g32 83即可，解得 m 32 或 m 32，即 m 的取值范围是，32 32，.答案：，32 32，“12+4”小题提速综合练点击此处
