1、第七章 立体几何第六节空间角-抓 基 础明 考 向提 能 力教 你 一 招我 来 演 练备考方向要明了考 什 么 理解两条异面直线所成的角、直线与平面所成角、二面角的概念.怎 么 考1.本节内容在高考中多考查直线与平面所成的角、二面角的求法2.题型以解答题为主，多与空间中的平行、垂直关系相结合进行考查.锐角(或直角)任意一条它在平面上的射影4二面角(1)二面角：从一条直线所组成的图形叫做二面角这条直线叫做.两个半平面叫做二面角的面如图，记作：l或AB或PABQ.出发的两个半平面二面角的棱(2)二面角的平面角：如图，二面角l，若有Ol，OA，OB，OAl，OBl，则AOB就叫做二面角l的平面角1
2、.(2011陕西八校联考)如图，E、F分别是三棱锥PABC的棱AP、BC的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线AB与PC所成的角为()A30B45C60 D90解析：取AC中点D，连接DE、DF，则EDF为AB与PC所成的角，利用余弦定理可求得EDF120.所以异面直线AB与PC所成的角是60.答案：C答案：C答案：A4(2011长沙模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是()A15 B30C45 D60答案：B1线面角的问题(1)线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是基本思路要注意与线线垂直，线面垂直的相互关系(2)求直线与平面所成的角的一般
3、过程为：通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；在三角形中求角的大小2二面角的问题求二面角的平面角时，同样归结到三角形中去，但在求解时要注意二面角的平面角的取值范围精析考题例1(2012杭州模拟)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点(1)求直线B1C与DE所成的角的余弦值；(2)求证：平面EB1D平面B1CD.巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！)1(2012嘉兴模拟)如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，AA1a，BAB1B1A1C130，则AB与A1C1所成的角为_，AA1与B1C所成的角为_解析：ABA1B1，B1A1C1是AB与A1C1所成的角，AB与A1C1所
4、成的角为30.AA1BB1，BB1C是AA1与B1C所成的角，由已知条件可以得出BB1a，AB1A1C12a，ABa，B1C1BCa.BB1C1C是正方形BB1C45.答案：3045冲关锦囊求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.自主解答(1)证明：如图，取AC中点D，连接PD、BD.PAPC，PDAC.又已知平面PAC平面ABC，PD平面ABC，D为垂足PAPBPC，DAD
5、BDC.故AC为ABC的外接圆直径，ABBC.(2)如图，作CFPB于F，连接AF、DF.PBCPBA，AFPB，AFCF.PB平面AFC.平面AFC平面PBC，交线是CF.直线AC在平面PBC内的射影为直线CF，ACF为AC与平面PBC所成的角巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！)解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，ACBD，PD底面ABCD，PDAC，AC平面PDB，又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.冲关锦囊1求直线与平面所成的角，关键是作出线面角，其中寻找线面垂直又是重中之重2求直线与平面所成的角的步骤是(1)寻找过直线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得出射影，确定
6、出所求角；(3)把该角放入三角形中计算精析考题例3(2011浙江高考)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由解(1)证明：由ABAC，D是BC的中点，得ADBC.又PO平面ABC，得POBC.因为POADO，所以BC平面PAD，故BCPA.巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！)3.(2012温州模拟)如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SAAB，点M
7、是SD的中点，ANSC，且交SC于点N.(1)求证：SB平面ACM；(2)求二面角DACM的平面角的正切值；解：(1)证明：连接BD交AC于E，连接ME.四边形ABCD是正方形，E是BD的中点M是SD的中点，ME是DSB的中位线MESB.又ME平面ACM，SB平面ACM，SB平面ACM.(2)取AD的中点F，连接MF，则MFSA.作FQAC于Q，连接MQ.SA底面ABCD，MF底面ABCD.FQ为MQ在平面ABCD内的射影FQAC，MQAC.冲关锦囊确定二面角的平面角的常用方法(1)定义法：在棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角(2)利用线面
8、垂直的判定与性质作角法自二面角的一个半平面上一点A(不在棱上)向另一半平面所在平面引垂线，再由垂足B(垂足在棱上则二面角为直二面角)向棱作垂线得到棱上的点C，连接AC则ACB(或其补角)即为二面角的平面角解题样板二面角的几种优美解法优美解2：如图，取线段BP的中点H，连接HF、HA.易知HFAE，从而四边形HFEA为平行四边形，故AHEF.取线段BC的中点M，连接MF、ME.易知，平面MFE平面PAB，从而平面MFE与平面BFE的夹角大小等于平面BFE与平面PAB的夹角大小由已知易得BC平面PAB，于是有HABC.由HAPB，HABC，得HA平面PBC，从而EF平面PBC，故BFM为二面角BE
9、FM的平面角易知BFMPBF45，故平面BFE与平面PAB的夹角大小为45.优美解3：如图，取线段BP的中点H，连接HF、HA.易知HFAE，从而四边形HFEA为平行四边形，故AHEF.延长CB至G，使GBAE，连接GH、GA，则平面GHA平面BEF，从而平面GHA与平面PAB的夹角大小等于平面BFE与平面PAB的夹角大小优美解4：如图，取线段BP的中点H，连接HF、HA.易知HFAE，从而四边形HFEA为平行四边形，故HAEF，所以HA平面BEF.设平面PAB平面BEFl，进而可得HAl.而由已知易得BC平面PAB，又由HAPB，HABC可得HA平面PBC，从而l平面PBC，所以lBP，lBF，所以PBF为二面角PAlEF的平面角易知，PBC为等腰直角三角形，PBC90，而BF既是斜边PC边上的中线也是PC边上的高，由等腰三角形的“三线合一”，得PBF45.所以平面BFE与平面PAB的夹角大小为45.高手点拨本题给出的四种求二面角的常用解法，从不同角度展示了求解二面角的平面角的方法和技巧，方法一是面积射影定理法，方法二和方法三利用等价转化的思想，转化为其他易作出平面角的二面角问题求解，方法四利用了作棱的垂面法进行求解，考生在复习时要认真品味，形成求二面角的平面角的方法体系点击此图进入
