1、3.3 等比数列考 点考 纲 解 读1等比数列的概念重视探索等比数列的通项公式和前n项和公式过程;加强等比数列基础知识、等比数列基本运算及综合应用问题的应用.2等比数列的通项公式与前n项和公式3数列的等比关系强调创设具体的问题情境,在知识的应用方面,学会用等比数列的知识解决简单的实际问题,加强了应用问题的难度.4等比数列与指数函数的关系等比数列是一种特殊的数列,是本章知识的重要内容之一,在学习过程中,要类比等差数列的学习方法学习,近几年高考中,对等比数列的概念,通项公式、性质,等比数列公式及前n项和的考查始终没有放松,要抓基础也要灵活运用等比数列的知识.预测2013年高考中,本节内容出现在填空
2、题和选择题多为等比数列的性质为主,多为容易题,在解答题中重点考查等比数列的概念及等比数列中蕴含的函数与方程、不等式等知识,通常将an与Sn关系综合在一起考查,多为中档题,在复习时要注意把握分寸.1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q0),这个数列叫做等比数列,常数q称为等比数列的公比.2.通项公式与前n项和公式(1)通项公式:an=a1qn-1,a1为首项,q为公比;推广形式:an=amqn-m;变式:q=(n,mN*,nm).(2)前n项和Sn公式:Sn=(3)若数列an是等比数列,则其前n项和为Sn=aqn+c,且a+c=0.3.等比中项如果a,
3、G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2=ab.4.三个数或四个数成等比数列且又知道乘积时,则三个数可设为,a,aq,四个数可设为,aq,aq3.5.等比数列的判定方法(1)定义法:=q(nN*,q0是常数)an是等比数列;(2)中项法:=anan+2(nN*)且an0an是等比数列.(2)在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列,公比为qk.(3)若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq;(4)若等比数列an的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k
4、-S2k,S4k-S3k,是等比数列(q-1).6.等比数列的常用性质(1)数列an是等比数列,则数列pan、(p0是常数)都是等比数列;1.已知x,2x+2,3x+3是一个等比数列的前三项,则其第4项等于()(A)-.(B).(C)27.(D)-27.【解析】由已知,(2x+2)2=x(3x+3),x=-4或x=-1(2x+2=0,舍去),等比数列的前三项为-4,-6,-9,a4=-.【答案】A2.(2011年广东卷)已知an是等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=.【解析】a4-a3=4,a4-a3=a2q2-a2q=4,即2q2-2q=4,解得q=2或q=-1.【答案】2
5、或-13.设Sn为等比数列an的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于()(A)3.(B)4.(C)5.(D)6.【解析】两式相减得,3a3=a4-a3,a4=4a3,q=4.【答案】B4.等比数列an中,a7a11=6,a4+a14=5,则等于()(A)或.(B)或.(C).(D).【解析】因为a7a11=a4a14=6,又a4+a14=5,解得a4=2,a14=3或a4=3,a14=2,设公比为q,当a4=2,a14=3时,得q10=,此时=q10=,当a4=3,a14=2时,同理得=.【答案】A例1 (1)(2011年北京卷)在等比数列an中,若a1=,a4=4则
6、公比q=.题型1五个基本量的有关计算(2)(山东省潍坊三县2011届高三第一次联考)已知在等比数列an中,a1+a3=10,a4+a6=,则该数列的公比q=.【分析】利用等比数列的基本量a1、q等之间的关系,根据条件,利用合理的公式求解.【解析】(1)q3=8,q=2.(2)a4+a6=a1q3+a3q3=(a1+a3)q3,=10q3,q3=,q=.【答案】(1)2 (2)【点评】等比数列基本量的求解关键是利用通项公式,前n项和公式列方程求解.变式训练1 (1)设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,则等于()(A)2.(B)4.(C).(D).(2)设Sn为等比数列an的前n项和,8a
7、2+a5=0,则等于()(A)11.(B)5.(C)-8.(D)-11.【解析】(1)=.(2)通过8a2+a5=0,设公比为q,将该式转化为8a2+a2q3=0,解得q=-2,=-11.【答案】(1)C (2)D例2 (1)已知各项均为正数的等比数列an,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于()(A)5.(B)7.(C)6.(D)4.题型2等比数列性质的应用(2)等比数列an中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a8),则f(0)等于()(A)26.(B)29.(C)212.(D)215.(3)(四川成都树德协进中学2011届高三期中考试)
8、正项等比数列an中+=81,则+等于()(A).(B)3.(C)6.(D)9.【分析】(1)利用等比数列的性质,若m+n=p+q且m、n、p、qN*,则aman=apaq.(2)考查多项式函数的导数公式与等比数列的性质.(3)若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq;由已知:+=81+=81.【解析】(1)a1a2a3=5,a7a8a9=10,a4a5a6=5.故选A.(2)在求导中,含有x项均取0,则f(0)只与函数f(x)的一次项有关,得:a1a2a3a8=(a1a8)4=212.(3)+=81,+=81,(+)2=81.因为数列各项都是正数,+=9.【答案】(1)A
9、(2)C (3)D【点评】灵活运用性质,可以大大减少计算量,从等比数列的本质特征入手去思考,分析题意同时,注意对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若能排除3个选项,剩下唯一的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续排除.高考重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法.要在这上面下工夫.变式训练2 (1)(2011年天津滨海新区五校联考)已知等比数列an的各项均为正数,公比q1,设P=(log0.5a5+log0.5a7),Q=log0.5,P与Q的大小关系是()(A)PQ.(B)PQ.(2)已知an是首项为1的等比数列,Sn是an的
10、前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为()(A)或5.(B)或5.(C).(D).(3)(2011年九江七校二月联考)设等比数列an中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于()(A).(B)-.(C).(D).【解析】(1)P=log0.5=log0.5,Q=log0.5 ,由(q1,a3a9),又y=log0.5x在(0,+)上递减,log0.5log0.5 ,即Q2pq,又a1、b1不为零,因此c1c3,故cn不是等比数列.例4 (1)已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的取值范围是()(A)(0,).(B)(,1.(C)1,).(D)(,).
11、题型4最值与范围(2)已知等比数列an的各项都是正数,Sn=80,S2n=6560,且前n项中最大的一项为54,则n=.【分析】(1)由三角形的三边为正数可知公比一定是正数,即q0,由三边的大小关系即可求.(2)S2n=Sn+Snqn,合理运用条件,减少计算量.【解析】(1)设三边长为a,aq,aq2则即得即q0,q1,S2n=Sn+Snqn,6560=80+80qn,qn+1=82,qn=81,Sn=80,a1=q-1.由已知可得,an=a1qn-1=(q-1)=54,=54,q=3,a1=2,an=23n-1=54,3n-1=27=33,n=4.【答案】(1)D (2)4【点评】巧妙利用题
12、目中的不等关系,合理利用公式解决问题是解决此类问题的关键.变式训练4 (1)已知an是递减等比数列,a2=2,a1+a3=5,则a1a2+a2a3+anan+1(nN*)的取值范围是()(A)12,16).(B)8,16).(C)8,).(D),).(2)已知正项等比数列an满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为()(A).(B).(C).(D).【解析】(1)由a2=2,a1+a3=5得a1=4,a3=1,an=4()n-1,a1a2+a2a3+anan+1是首项为8、公比为的数列的前n项和,又8+2+8()n-1=1-()n,故最小值取8.(2)a7=a6+2a5,a5q2=a5q+2a5,q2-q-2=0,解得q=2或q=-1,数列是各项为正数的等比数列,q=2,=4a1,化简得:a1 =4a1,=22,可得m+n=6,(+)(m+n)=5+5+22=9,+.【答案】(1)C (2)D1.要熟练应用通项公式及其变形公式,比如等比数列中,am=anqm-n等.2.等比数列的学习可类比等差数列来进行,注意运用函数、方程、不等式等数学思想方法分析和解决问题.3.熟练掌握等比数列的基本性质,重视各种公式的正用、逆用、变形等.4.注意等比数列使用的限制条件.
