1、3 函数的单调性 基础认知自主学习 1函数单调性的相关定义(1)定义：(2)本质：函数的单调性反映的是两个变量间的对应规律，刻画了函数在区间上的变化趋势，是函数诸多性质中最核心、最本质的内容(3)应用：比较大小；求参数取值范围；解不等式；确定零点的个数函数的单调性定义中，x1，x2 的值有什么特点？提示：(1)“区间 A”可以是函数的定义域，也可以是函数定义域的子集(2)增函数、减函数定义中自变量 x1，x2 有三个特征：x1，x2 属于同一单调区间 A；任意性，即不能用特殊值代替；有大小，通常设 x1x2，再比较 f(x1)与 f(x2)的大小2函数的最值(1)定义：函数是增加的或是减少的条
2、件在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于_两数x1,x2A,当_时都有_都有_结论就称函数y=f(x)在区间A上是_,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的就称函数y=f(x)在区间A上是_,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的任意x1x2f(x1)f(x2)增加的减少的单调区间区间A称为y=f(x)的单调区间单调性如果函数y=f(x)在定义域的_上是增加的或是减少的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性增(减)函数如果函数y=f(x)在_是增加的或是减少的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数某个子集整个定义域内(2)本质：函数的最值反映的是函
3、数整体的性质，不能只研究定义域的子区间(3)求解：图像法；单调性法函数的最值和值域有何联系与区别？提示：(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域(2)区别：函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；若函数的最值存在，则一定是值域中的元素1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)正比例函数 ykx(k0)是单调函数()提示：正比例函数 ykx(k0)，当 k0 时是增函数；当 k0 时是减函数所以正比例函数是单调函数(2)二次函数 yx2 在(，)上是单调函数()提示：二次函数 yx2 在(，)上是先减少后增加的函数，所以二次函数 yx2 在(，)上不具
4、有单调性 (3)反比例函数 yx1 在整个定义域(，0)(0，)上是减函数()提示：反比例函数 f(x)1x 在整个定义域(，0)(0，)上不具有单调性可是在区间(，0)上是减少的，在区间(0，)上也是减少的这是由于反比例函数 f(x)1x 的定义域在 0 处不连续，若取 x11x21，则 f(x1)0，所以 f(x)的最小值为 0.()提示：对于函数 f(x)x210，可知 0 不是函数值，即不存在 x，使 f(x)0，所以函数的最小值为 1，不是 0.2函数 y6x 的单调递减区间是()A0，)B(，0C(，0)，(0，)D(，0)(0，)【解析】选 C.由图象知单调递减区间为(，0)，(
5、0，).3(教材例题改编)已知函数 yx2bxc，则函数的最_值为_【解析】因为函数 yx2bxc 的图像是开口向下的抛物线，且 yx2bxcxb22cb24，所以函数的最大值为 cb24.答案：大 cb24能力形成合作探究类型一 利用函数图像求函数的单调区间(直观想象)1如图所示，已知函数 yf(x)的图像，则函数的递减区间为_【解析】根据单调减区间的概念与其图像形状可知：函数的递减区间为，32，0，).答案：，32，0，)2分别画出下列函数的图像，写出函数的增区间与减区间(1)yx22x3.(2)y|x22x3|.【解析】(1)yx22x3(x1)24.作出函数的图像，抛物线开口向上，其对
6、称轴为直线 x1，所以函数的递增区间是1，)，递减区间是(，1).(2)由(1)得 f(x)x22x3(x1)24 的图像保留其在 x 轴及 x 轴上方的部分，把它在 x 轴下方的图像翻到 x 轴上方就得到 y|x22x3|的图像，如图所示由图像可得函数的递增区间是3，1，1，)，递减区间是(，3)，(1，1).求函数单调区间的方法(1)图像法根据图像的“上升趋势”或“下降趋势”，从而得到函数的单调性.(2)性质法运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可直接利用掌握以下结论，对于判断函数的单调性有一定好处当 f(x)0 时，函数 y1f（x）与 yf(x
7、)的单调性相反，对于 f(x)0 时，函数 f(x)与 cf(x)具有相同的单调性；当 c1的图像，并指出函数的单调区间【解析】f(x)x3，x1，（x2）23，x1的大致图像如图所示：由图像可知：函数在(，1，(1，2上是减少的，在(2，)上是增加的类型二 利用单调性定义判断或证明函数的单调性(逻辑推理)【典例】已知 c 为常数，证明：函数 f(x)x3c 在(，)上为增函数 用定义证明函数单调性的方法步骤(1)取值：设任意 x1，x2 属于给定区间，且 x1x2.(2)作差变形：f(x1)f(x2)变形的常用方法有：因式分解、配方、分子有理化等，目的是进行和差化为积商，利于与 0 比较大小
8、(3)定号：确定 f(x1)f(x2)的正负号(4)下结论：由定义得出函数的单调性 证明：函数 f(x)x1x 在(0，)上单调递增【证明】任取 x1，x2(0，)且 x1x2，则 x1x20，那么 f(x1)f(x2)x11x1x21x2(x1x2)1 1x1x2，因为 x1，x2(0，)，所以 x1x20，所以 1 1x1x20，又 x1x20，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以 f(x)x1x 在(0，)上单调递增【拓展延伸】抽象函数单调性的判断抽象函数单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要灵活应用题设条件判断函数值之间的关系常用思路：先在所证区间上设出任意的
9、 x1，x2(x1x2)，然后利用已知条件进行变形，转化到已知区间，最后运用函数单调性的定义来解决问题【拓展训练】已知定义在(0，)上的函数 f(x)对任意 x，y(0，)，恒有 f(xy)f(x)f(y)，且当 0 x0，判断 f(x)在(0，)上的单调性【解析】设 x1，x2 是区间(0，)上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)fx1x2x2f(x2)fx1x2f(x2)f(x2)fx1x2，因为 x1，x2(0，)且 x1x2，所以 0 x1x2 0，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(0，)上递减类型三 利用函数单调性求最值(
10、直观想象)【典例】已知函数 f(x)3x2，x1，2，x3，x（2，5.(1)在平面直角坐标系内画出 f(x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域【思路导引】利用函数的图像与性质，得到函数的单调性，即可求出函数的最值【解析】(1)图象如图所示：(2)由图可知 f(x)的单调递增区间为(1，0)，(2，5，单调递减区间为(0，2)，值域为1，3.利用函数单调性求函数最值的思路(1)判断 f(x)g(x)的单调性；(2)结合函数 f(x)g(x)的单调性判断函数的最值 求函数 f(x)3x 1x2 2 在1，4上的最值【解析】因为函数 y3x 与 y 1x2 2 在1，4上都是递增
11、的，所以函数 f(x)3x 1x2 2 在1，4上是递增的故 f(x)maxf(4)1216 2836，f(x)minf(1)313 2143.类型四 函数的单调性、最值与参数问题(数学运算、逻辑推理)角度 1 函数的单调性与参数问题【典例】若 f(x)（3a1）x4a，x1，ax，x1是定义在(，)上的减函数，则a 的取值范围是()A18，13 B18，13C0，13D，13【思路导引】由题意可得 3a10，a0 且a3a14a，解由这几个不等式组成的不等式组，求得 a 的取值范围【解析】选 A.由题意可得3a10，a0，a3a14a，求得18 a1 时，f(x)的最小值为 t22t5；当2
12、t1 时，f(x)的最小值为 4；当 t1，4，2t1，t24t8，t1，若对 R 上的任意实数 x1，x2(x1x2)，恒有(x1x2)f（x1）f（x2）0 成立，那么 a 的取值范围是()A(0，3 B0，3 C(0，2 D0，2【解析】选 C.任取 x1x2，则 x1x20，所以 f(x1)f(x2)，所以函数 yf(x)在 R 上为减函数，故有a30，（a3）52a，解得 04，所以函数 f(x)的图像应为图中的实线部分解方程 x210 x 得 x4，此时 y6，故两图像的交点为(4，6).观察图像知，f(x)的最大值为图像最高点的纵坐标，即 f(x)的最大值为 6.答案：61函数
13、f(x)kx3 图像的变化趋势为()A先增加后减少B增加C减少D与 k 的取值有关学情诊断课堂测评【解析】选 D.k0 时，为常数函数；k0 时，函数 f(x)为增函数；k0 时，函数f(x)为减函数故与 k 的取值有关2已知函数 f(x)4x2kx8 在5，)上是递增的，则实数 k 的取值范围是()A(，40)B(，40C(40，)D40，)【解析】选 B.函数 f(x)4x2kx8 的对称轴为 xk8，因为函数 f(x)在5，)上是递增的，所以k8 5，即 k40.3(教材习题改编)已知函数 f(x)x2kx6 在2，8上具有单调性，则 k 的取值范围是()A(4，16)B4，16C16，
14、)D(，416，)【解析】选 D.根据题意，函数 f(x)x2kx6 的对称轴为 xk2，若 f(x)在2，8上具有单调性，则有k2 2 或k2 8，解得 k4 或 k16.4已知函数 yf(x)在 R 上是增函数，并且 f(1)0，则 f(x)0 的解集是_.【解析】因为 f(1)0，所以 f(x)0f(1).又因为 f(x)在 R 上是增函数，所以 x1.答案：x|x15函数 f(x)x1x 在 x2，4上的最大值为_，最小值为_【解析】函数 yx 和 y1x 在2，4上都是增加的，所以函数 f(x)x1x 在2，4上是增加的，所以 f(x)maxf(4)414 154，f(x)minf(2)212 32.答案：154 32
