1、第八章立体几何一、基本知识点1、三视图正视图、俯视图、左视图（侧视图）2、 棱柱.直棱柱侧面积：（为底面周长，是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.斜棱住侧面积：（是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体.直四棱柱平行六面体=直平行六面体.棱柱具有的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.平行六面体：定理一：平行
2、六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.3、棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.注：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.正棱锥的侧面积：（底面周长为，斜高为）棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）4、球：球的截面是
3、一个圆面.，球截面的两个性质：球的表面积公式：.球的体积公式：.纬度、经度：纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.(3)球面上两点间距离：(4). 内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，得.注：球内切于四面体：外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.5、空间两条直线的位置关系 平行、相交、异面6、异面直线所成的角已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线a/a，b/b，由于a、b所成的角的大小与点O
4、的选择无关，我们就把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角.7、直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；直线和平面相交（有且只有一个公共点）；直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类（2）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，（3）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：(4) 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：(5)直线和平面垂直：如果一条直线l和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面互相
5、垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面交点叫做垂足 直线l与平面垂直记作：l（6）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面推理模式：（7）直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 （8）点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离8、平面和平面的位置关系 （1）两个平面的位置关系有两种：没有公共点两平面平行 有一条公共直线两平面相交（2
6、）.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行.定理的模式：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行推论模式：（3）.两个平面平行的性质a:如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.b：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.习题部分1、 已知一个球的球心O到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若AB=BC=CA=3，求球的体积2、 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（ ）3、如图
7、，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，则三棱锥PEFQ的体积（ ）（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；4、如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_.5、若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是_.6、某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A8 B C10 D下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_ 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，
8、不可能是该锥体的俯视图的是 121正视图俯视图121侧视图已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位:cm)，可得这个几何体的体积是 Acm3 Bcm3 Ccm3 D2 cm37、，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A），（B），（C），共面（D），共点，共面8、设为平面，为直线，则的一个充分条件是（ ） A B C D 9、已知直线m、n与平面，给出下列三个命题： 若，则； 若，则； 若，则 其中真命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D310、已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若，则；
9、 若，则；若，则；若m、n是异面直线，则 其中真命题是（） A和B和C和D和11、设、 为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，有如下的两个命题：若，则；若，则那么（ ） A 是真命题，是假命题 B 是假命题，是真命题C 都是真命题 D 都是假命题12、对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l、m，使得，其中，可以判定与平行的条件有（ ） A1个B2个C3个D4个13、对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（ ） A若则 B若则 C若则 D若、与所成的角相等，则14、给出下列关于互不相同的直线和平面
10、、的四个命题：若，点，则与不共面；若、是异面直线，且，则；若，则；若，则其中为假命题的是（ ） . . . . 15、设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的个数是 （ ） A1 B2 C3 D416、给出以下四个命题如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行；如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面；如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行；如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是（ ） A4 B3 C
11、2 D117对于任意的直线与平面，在平面内必有直线m，使m与（ ） A 平行B相交 C垂直 D互为异面直线18已知平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是（ ） A平面ABC必不垂直于 B平面ABC必平行于C平面ABC必与相交 D存在的一条中位线平行于或在内19设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.下列命题正确的是（）A B C D20.关于直线、与平面、，有下列四个命题： 且，则； 且，则；且，则； 且，则.其中真命题的序号是（ ） A B C D 21给出下列四个命题： 垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行
12、.若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（ ）A 1 B2 C3 D422已知直线l平面，直线m平面，则下列命题中正确的是（ ）ABCD23在下列条件中，可判断平面与平行的（ ）A、都垂直于平面r.B内存在不共线的三点到的距离相等.Cl，m是内两条直线，且l，m.Dl，m是两条异面直线，且l，m, l，m.24下列命题正确的是（ ）A. 过平面外的一条直线只能作一平面与此平面垂直B. 平面平面于，则C. 一直线与平面的一条斜线垂直，则必与斜线的射影垂直D. 、是两两互相垂直的异面直线，为、的公垂线，则25已知，是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是（） A若m
13、n，m，则nB若m，=n，则mnC若m，m，则D若m，则26已知平面平面,直线且则（ ）A内必存在直线与平行，且存在直线与垂直B内不一定存在直线与平行，但必存在直线与垂直C内不一定存在直线与平行，且不存在直线与垂直D内必存在直线与平行，但不存在直线与垂直27在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则四边形一定是平行四边形；四边形有可能是正方形；四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形；四边形有可能垂直于平面. 以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号） 28已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：若则；若则；若,则；m、n是两条异面直线，若则上面命题中，真命题的序号是_
14、(写出所有真命题的序号) 29高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为A B C D30在北纬圈上有甲、已两地，甲地位于东径，乙地位于西径，则地球（半径为R）表面上甲、乙两地的最短距离为（ ）（A） （B） （C） （D）31.正三角形ABC中，ADBC于D,沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=AB，这时二面角B-AD-C的大小为 ( )A60 B90 C45 D12032.矩形ABCD的两边AB=3，AD=4，PA平面ABCD，且PA=，则二面角A-BD-P的度数为 ( ) A30 B45 C60 D7533在正三棱柱中，若AB=2
15、，则点A到平面的距离为（ ）A B C D34正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为（）A B CD35P是ABC所在平面外一点，若ABC与PBC都是边长为2的正三角形，PA=，那么，二面角P-BC-A的大小是 .36PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则二面角B-PA-C的余弦值是 . 37. 正方体ABCD-ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，若截面EFDB与侧面BC C B所成锐二面角为，则cos= .38.正四面体的棱长为，则该四面体的外接球表面积为_39正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3
16、，则其体积为 .40在三棱锥中，三条棱两两互相垂直，且是边的中点，则与平面所成角的大小是_（用反三角函数表示）.41已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_解答题：1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称 主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图 （或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。 （1）求该几何体的体积V； （2）求该几何体的侧面积S。2、如图，三棱柱的侧棱，分别是的中点 求BN的长；求证： CPAB3、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点 求证：（1）BC平面PAC（
17、2）平面PAC平面PBC 4、如图，四棱柱中，底面是正 方形，侧棱底面，E为的中点，求证：平面5、已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PB=PD,E为PA的中点。求证PC/平面BDE6、在四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点，求证：EF /平面SAD7、四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上。（1）求证平面AEC平面PDB(2)当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。8、如图，在四面体PABC中，PCAB，PABC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.（）求证：DE平面BC
18、P；（）求证：四边形DEFG为矩形；（）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.9、如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，. ()求证：平面 （）若求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长.10如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。 11、如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形， （I）证明：平面SAB； （II）求AB与平面SBC所成的角的大小。12、如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD（I）证明：
19、；（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高13、如图，在ABC中，ABC=45，BAC=90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC=90。（）证明：平面平面；（）设BD=1，求三棱锥D的表面积。14、已知是底面边长为1的正四棱柱，高。求：（1）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）四面体的体积。15、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。16、.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD （I）证明：平面PQC平面DCQ； （II）求二面角QBPC的余弦值