1、第 3 节 函数性质的综合应用 基础梳理考点突破知识整合 1.函数的最值 前提 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 条件 对于任意的 xI,都有 f(x)M;存在 x0I,使得 f(x0)=M.对于任意的 xI,都有 f(x)M;存在 x0I,使得 f(x0)=M.结论 M 为最大值 M 为最小值 基础梳理 抓主干 固双基 2.函数奇偶性、对称性和周期性的几个关系(1)若 f(x)有对称轴 x=a,且是偶函数,则 f(x)的周期为 2a;(2)若 f(x)有对称轴 x=a,且是奇函数,则 f(x)的周期为 4a;(3)若 f(x)有对称中心(a,0),且是偶函数
2、,则 f(x)周期为 4a;(4)若 f(x)有对称中心(a,0),且是奇函数,则 f(x)周期为 2a.双基自测 1.(2013年高考湖南卷)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于(B)(A)4(B)3(C)2(D)1 解析:由题意,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,得 f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),1(1)2,1(1)4fgfg 1(1)2,1(1)4,fgfg 解得 g(1)=3.故选 B.2.(2013 年高考湖北卷)x 为实数,x表示不超过 x的最大整数,则函数 f(x)=x-x在 R 上为(D
3、)(A)奇函数(B)偶函数(C)增函数(D)周期函数 解析:因为 f(x+1)=(x+1)-x+1=(x+1)-(x+1)=x-x=f(x).所以 f(x)是周期函数,故选 D.3.函数 f(x)=111xx的最大值是(D)(A)45(B)54(C)34(D)43 解析:法一 1-x(1-x)=x2-x+1=(x-12)2+34 34,0111xx 43,即 f(x)的最大值为 43,当 x=12时取到.法二 x(1-x)212xx=14,1-x(1-x)1-14=34,00,x0),在 12,2上的最大值是 ,最小值是 .(2)函数 y=2x-x(x0)的最大值为 .(3)对 a,bR,记
4、max|a,b|=,a abb ab函数 f(x)=max|x+1|,|x-2|(xR)的最小值是 .考点突破 剖典例 知规律 思维导引:(1)首先判断 f(x)在 12,2上的单调性,再 求解;(2)通过换元转化为给定区间二次函数的最值问题求解;(3)理解题意,画出函数图象求解.解析:(1)显然函数 f(x)在(0,+)上是减函数,当 x=12时,f(x)取到最大值 1a+2,当 x=2 时,f(x)取到最小值 1a+12.(2)令x=t,t0,则 x=t2,y=2t-t2=-(t-1)2+1,当 t=1 即 x=1 时,y 取到最大值 1.(3)画出函数 f(x)的大致图象如图所示.(实线
5、部分).令 x+1=2-x 得 x=12.由图象可以看出,当 x=12时,f(x)取到最小值 32.答案:(1)1a+2 1a+12(2)1(3)32 反思归纳(1)求函数值域与最值的常用方法:先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低点,求出最值.配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解.换元法:对较复杂的函数可通过换元法转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值.基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后,再用基本不等式求出最值.导数法:先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,
6、求出值域或最值.(2)对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应条件,对任意 x1,x2在所给区间上比较 f(x1)-f(x2)与 0 的大小,或12f xf x与 1 的大小(f(x)0 或 f(x)0).有时根据需要,需作适当的变形:如 x1=x212xx或 x1=x2+x1-x2等.即时突破 1(1)若函数 g(x)=ax2+2x-1 有最大值 3,则实数 a的值为 .(2)用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值,设f(x)=min2x,x+2,10-x(x0),则 f(x)的最大值为 .解析:(1)要使 g(x)=ax2+2x-1 有最大值
7、 3,因此有0,440,13,aaaa 解得 a=-14.(2)画出大致图象如图所示(实线部分)令 x+2=10-x,得 x=4,由图象可以看出,当 x=4时,f(x)取到最大值 6.答案:(1)-14(2)6 考点二 函数单调性的应用【例 2】(1)若 f(x)为 R 上的增函数,则满足f(2-m)f(m2)的实数 m 的取值范围是 .(2)若函数 f(x)=12axx在区间(-2,+)上是增函数,则 a 的取值范围是 .思维导引:(1)利用函数的单调性,把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,再解不等式得 m 的取值范围.(2)把问题转化为当-2x1x2时不等式 f(x1)-f(x2)0
8、 恒成立,得到关于 a 的不等式求解或利用该函数的图象与反比例函数图象的关系求解.解析:(1)f(x)是 R 上的增函数,由 f(2-m)f(m2)得 2-m1 或 m-2.m 的取值范围是 m(-,-2)(1,+).(2)法一 在区间(-2,+)上任取两变量 x1,x2且 x1x2,f(x1)-f(x2)=1112axx-2212axx=122112121222axxaxxxx=12122122xxaxx,由于-2x10,x2+20,x1-x20,由 f(x)为(-2,+)上的增函数知 f(x1)-f(x2)0,即 a 12.法二 f(x)=12axx=2122a xax=a+122ax 由
9、于函数 f(x)的图象向右平移 2 个单位,得到 y=a+12ax的图象,因此函数 y=12ax为(0,+)上的增函数,所以 1-2a 12.答案:(1)(-,-2)(1,+)(2)(12,+)反思归纳 利用函数的单调性求参数的取值范围的方法:(1)将参数看成已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参;(2)利用函数的单调性把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,解不等式得参数范围;(3)直接利用函数单调性的定义,作差、变形,由f(x1)-f(x2)的符号确定参数的范围.即时突破 2 在本例题(1)中,若 f(x)为区间0,4上的增函数,则 m 的取值范围
10、为 .解析:f(x)在0,4上是增函数,且f(2-m)f(m2),22024,04,2,mmmm 解得 10 时,由 f(a)f(2)可得 a2,当 a0时,f(x)=x2-x-1,求 f(x)的解析式;(2)已知奇函数 f(x)的定义域为-2,2,且在区间-2,0内递减,求满足 f(1-m)+f(1-m2)0 的实数 m 的取值范围.解:(1)f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(0)=0,当 x0,由已知得 f(-x)=(-x)2-(-x)-1=x2+x-1=-f(x).f(x)=-x2-x+1.f(x)=221 (0),0 (0),1(0),xxxxxxx(2)f(x)的定义域为-2,2
11、,有2212,212,mm 解得-1m3.又 f(x)为奇函数,且在-2,0上递减,在-2,2上递减,f(1-m)m2-1,即-2m1.综合可知,-1m1.【例 2】已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称.(1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数;(2)若 f(x)=x(00,若 f(x)m2-m+1 对所有 x-1,1恒成立,则实数 m 的取值范围是 .分析:根据函数的奇偶性及已知不等式可确定函数 f(x)的单调性.不等式 f(x)m2-m+1 对所有 x-1,1恒成立,等价于f(x)maxm2-m+1,x-1,1,进而可求得 m 的取值范围.解析:
12、用-x2替代 x2有 1212f xfxxx0,由于 f(x)是-1,1上的奇函数,因此 1212f xfxxx0,所以 f(x)为-1,1上的增函数.f(x)f(1)=1,不等式 f(x)m2-m+1 对所有 x-1,1恒成立.则 m2-m+11,即 m2-m0,解得 m1 或 m0,故实数 m 的取值范围是(-,01,+).答案:(-,01,+)方法点睛 本题主要考查转化与化归的数学思想在函数问题中的应用.解题的关键是正确地进行两个转化:将1212f xf xxx0 转化为1212f xf xxx0,从而确定函数的单调性.将 f(x)m2-m+1 对所有 x-1,1恒成立转化为m2-m+1
13、f(1)=1,从而求出 m 的取值范围.即时突破(2013 山东青岛一模)已知函数 f(x)=2x,对于满足 0 x1x22 的任意 x1,x2,给出下列结论.(x2-x1)f(x2)-f(x1)0 x2f(x1)x1-x2 122fxfxf(122xx)其中正确结论的序号是()(A)(B)(C)(D)解析:函数 f(x)=2x为(0,2)上的增函数,故不正确;函数 g(x)=2x+x 为(0,2)上的增函数,由于 0 x1x22,则12x+x1x1-x2,即 f(x2)-f(x1)x1-x2,故正确;取 0 x1=12x2=122fxx,即 x2f(x1)x1f(x2),故不正确,由于 0 x1x2122xx=1222xx=f(122xx),即122fxfxf(122xx),故正确.故选 D.点击进入课时训练
