1、 平面向量的基本定理及坐标表示自主梳理1平面向量基本定理定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，_一对实数 1，2，使 a_.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组_.1不共线 有且只有 1e12e2 基底2夹角（1）已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的_(2)向量夹角 的范围是_，a 与 b 同向时，夹角 _；a 与 b 反向时，夹角 _.(3)如果向量 a 与 b 的夹角是_，我们说 a 与 b 垂直，记作_ 2.(1)夹角(2)0，0 (3)2 ab 3平面向量的正交分解
2、：把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解3.互相垂直4平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数 x，y 使 axiyj，我们把有序数对_叫做向量 a 的_，记作 a_，其中 x 叫 a 在_上的坐标，y 叫 a 在_上的坐标 4.(x，y)坐标(x，y)x 轴 y 轴 设OA xiyj，则向量OA 的坐标(x，y)就是_的坐标，即若OA(x，y)，则 A 点坐标为_，反之亦成立.(O 是坐标原点)终点 A(x，y)注意：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，
3、但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.5平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模已知向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么 ab_，ab_，a_.|a|_.(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)x21y21（2）向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.已知 A（11xy，），B（22xy，），则ABOB OA(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_的坐标减去_的坐标|AB|_.(2)终点 始点x2x12y2y126若 a(x1，y1)，b(x2，y2)
4、(b0)，则 ab 的充要条件是_x1y2x2y10 注意：.若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.同时，ab 的充要条件也不能错记为 x1x2y1y20，x1y1x2y20 等.7(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 P1P2 的中点 P 的坐标为_(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则P1P2P3 的重心 P 的坐标为_7.(1)x1x22，y1y22(2)x1x2x33，y1y2y33点评：1.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就
5、可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组基底 e1，e2 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.2.向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA a，点A 的位置被向量a唯一确定，此时点A 的坐标与 a 的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)，向量 aOA(x，y).当平面向量OA 平行移动到O1A1 时，向量不变即O1A1 OA(x，y)，但O1A1 的起点 O1和终点A1 的坐标都发生了变化.基础检测1.设平面向量 a(3,5)，b(2,1)，则 a2b_.(7,3)2.在ABCD 中，
6、AC 为一条对角线，AB(2,4)，AC(1,3)，则向量BD 的坐标为_.(3，5)3.已知向量 a(1,2)，b(3,2)，若 kab 与 b 平行，则 k_.04.在平面坐标系内，已知点 A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0).给出下面的结论：直线 OC 与直线 BA 平行；ABBCCA；OA OC OB；ACOB 2OA.其中正确结论的个数是(C)A.1B.2C.3D.45.若向量 a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则 c 等于(B)A.3abB.3abC.a3bD.a3b6若向量 a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的()A充分而不必要条件B必要而不
7、充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件A 由 x4 知|a|42325；由|a|x2325，得 x4 或 x4.故“x4”是“|a|5”的充分而不必要条件7设 a32，sin ，bcos，13，且 ab，则锐角 为()A30B45C60D75B ab，3213sin cos 0，sin 21,290，45.8.已知向量 a=(6，-4)，b（0，2），OC cab，若 C 点在函数 ysin 12x 的图象上，则实数 等于()A.52B.32C52D32A cab(6，42)，代入 ysin 12x 得，42sin 21，解得 52.9已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(
8、ab)c，则 m_.解析 ab(1，m1)，由(ab)c，得 12(m1)(1)0，所以 m1.10.给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB，它们的夹角为 120.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB上变动，若OC xOA yOB，其中 x，yR，则 xy 的最大值是_.解析 建立如图所示的坐标系，则 A(1,0)，B(cos 120，sin 120)，即 B(12，32)设AOC,则OA (cos，sin)OC xOA yOB(x,0)y2，32 y(cos，sin)xy2cos，32 ysin.xsin 3 cos，y2sin 3，xy 3sin cos 2sin(30)012
9、0，3030150.xy 有最大值 2，当 60时取最大值探究点一 平面向量基本定理的应用例 1 如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为DC，BC 的中点，已知AM c，ANd，试用 c，d表示AB，AD.解 方法一 设ABa，AD b，则 aANNBd12b，bAM MD c12a.将代入得ad12 c12aa43d23c23(2dc)，代入得 bc12 23(2dc)23(2cd).AB23(2dc)，AD 23(2cd).方法二 设ABa，AD b.因 M，N 分别为 CD，BC 的中点，所以BN12b，DM 12a，因而cb12ada12ba232dcb232cd，即AB23
10、(2dc)，AD 23(2cd).变式训练 1（1）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA 与OB 的夹角为 120，OA与OC 的夹角为 30，且|OA|OB|1，|OC|2 3，若OC OA OB(、R)，则 的值为_解析如右图，OC OD OEOA OB在OCD 中，COD30，OCDCOB90，可求|OD|4，同理可求|OE|2，4，2，6.（2）在ABC 中，AD 14AB，DEBC，与边AC 相交于点 E，ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 N，如图，设ABa，ACb，试用 a 和 b 表示DN.解 AD 14AB，DEBC，M 为 BC 中点，DN 14BM 18
11、BC18(ba).探究点二 平面向量的坐标运算例 2 已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设ABa，BCb，CAc，且CM 3c，CN2b，(1)求 3ab3c；(2)求 M、N 的坐标及向量MN 的坐标.解 由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42).(2)设 O 为坐标原点，CM OM OC 3c，OM 3cOC(3,24)(3，4)(0,20).M(0,20).又CN ON OC 2b，ON 2bOC(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2).MN(9，18).变式训练 2 （
12、1）已知点 A（1，-2），若向量|AB与 a(2,3)同向，|AB|2 13，则点 B 的坐标为_解析 向量AB与 a 同向，设AB(2t,3t)(t0)由|AB|2 13，4t29t2413.t24.t0，t2.AB(4,6)设 B 为(x，y)，x14，y26.x5，y4.(5,4)（2）已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四个顶点的坐标.解 如图所示，设 A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，D(x，y).(1)若四边形 ABCD1 为平行四边形，则AD1 BC，而AD1(x1，y)，BC(2，5).由AD1 BC，得x12，y5.x3，y5.
13、D1(3，5).(2)若四边形 ACD2B 为平行四边形，则ABCD2.而AB(4,0)，CD2(x1，y5).x14，y50.x5，y5.D2(5，5).(3)若四边形 ACBD3 为平行四边形，则AD3CB.而AD3(x1，y)，CB(2,5)，x12，y5.x1，y5.D3(1,5).综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(3，5)或(5，5)或(1,5).探究点三 在向量平行下求参数问题例 3 已知平面内三个向量：a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足 ambnc 的实数 m、n；(2)若(akc)(2ba)，求实数 k.(3)若 d 满足(dc)(ab)，且|dc|5，
14、求 d.解(1)ambnc，m，nR，(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)m4n3，2mn2，解之得m59，n89.(2)(akc)(2ba)，且 akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(34k)2(5)(2k)0，k1613.(3)设 d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得4x42y10 x42y125，解得x3y1 或x5y3，d(3，1)或 d(5,3).变式训练 3（1）已知向量 a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则 k_.解析 ac(3,1)(k,7)(3k，6)，且(ac)b，3k1 63，k5.（2）已知 a(1,0)
15、，b(2,1).求|a3b|；当 k 为何实数时，kab 与 a3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解 因为 a(1,0)，b(2,1)，所以 a3b(7,3)，|a3b|7232 58.kab(k2，1)，a3b(7,3)，因为 kab 与 a3b 平行，所以 3(k2)70，即 k13.此时 kab(k2，1)73，1，a3b(7,3)，则 a3b3(kab)，即此时向量 a3b 与 kab 方向相反.（3）已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4，5)，OP t1OA t2AB，求点 P 在第二象限的充要条件.证明：当 t11 时，不论 t2 为何实数，A，B，P 三点共线；试求当
16、t1，t2 满足什么条件时，O，A，B，P 能组成一个平行四边形.解 OP t1(1,2)t2(3,3)(t13t2,2t13t2)，P 在第二象限的充要条件是t13t20 有解.32t2t13t2 且 t20.证明 当 t11 时，有OP OA t2AB，APt2AB，不论 t2 为何实数，A，B，P 三点共线.解 由OP(t13t2,2t13t2)，得点 P(t13t2,2t13t2)，O，A，B，P 能组成一个平行四边形有三种情况.当OA BP，有t13t2412t13t252 t12t21；当OA PB，有t13t2412t13t252 t10t21；当OP BA，有t13t232t1
17、3t23 t10t21.点评：1在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA a，点 A 的位置被 a 所唯一确定，此时 a 的坐标与点 A 的坐标都是(x，y)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如 A(1,2)，B(3,4)，则AB(2,2)一、选择题1.已知 a,b 是不共
18、线的向量，若AB1ab，ACa2b，(1，2R)，则 A、B、C 三点共线的充要条件为()A121B121C1210D12101C A、B、C 三点共线AB与AC共线ABkAC1k，k21，1210.2.若，是一组基底，向量 xy(x，yR)，则称(x，y)为向量 在基底，下的坐标，现已知向量 a 在基底 p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2，2)，则 a 在另一组基底 m(1,1)，n(1,2)下的坐标为(D)A.(2,0)B.(0，2)C.(2,0)D.(0,2)3设两个向量 a(2，2cos2)和 bm，m2sin ，其中、m、为实数若 a2b，则m的取值范围是()A6,1B4,8C
19、(，1D1,63A 2b(2m，m2sin)，22m，2cos2m2sin，(2m2)2mcos22sin，即 4m29m41sin22sin.又21sin22sin 2，24m29m42，解得14m2，121m4.又2m2，m22m，622m1.4.设 02时，已知两个向量OP1(cos，sin)，OP2(2sin，2cos)，则向量P1P2 长度的最大值是()A.2B.3C3 2D2 3 5.在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，则BD 等于()A(2，4)B(3，5)C(3,5)D(2,4)二、填空题6.如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC
20、 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若ABmAM，ACnAN，则 mn 的值为_62解析 方法一 若 M 与 B 重合，N 与 C 重合，则 mn2.方法二2AO ABACmAM nAN，AO m2AM m2AM.O、M、N 共线，m2n21.mn2.7在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 ABDC，ADBC.已知 A(2,0)，B(6,8)，C(8，6)，则 D 点的坐标为_(0，2)解析 设 D 点的坐标为(x，y)，由题意知 ，即(2，2)(x2，y)，所以 x0，y2，D(0，2)8.在四边形 ABCD 中，ABDC(1,1)，1|B
21、A|BA 1|BC|BC3|BD|BD，则四边形 ABCD 的面积为_ 3S|AB|sin 60 2 2 32 3.三、解答题9.（12 分）已知 A、B、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且AE13AC，BF13BC.求证：EFAB.9证明 设 E、F 两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则依题意，得(2,2)，(2,3)，B(4，1)A 13AC23，23，13C 23，1.A(x1，y1)(1,0)23，23，(x2，y2)(3，1)23，1.(x1，y1)23，23(1,0)13，23，(x2，y2)23，1(3，1)73，0.(x2，y2)(x
22、1，y1)83，23.又B(4，1)，423(1)830，B.10在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已知向量 m(a，b)，向量 n(cosA，cos B)，向量 p(2 2sinBC2，2sin A)，若 mn，p29，求证：ABC 为等边三角形证明 mn，acos Bbcos A.由正弦定理，得 sin Acos Bsin Bcos A，即 sin(AB)0.A、B 为三角形的内角，AB.AB.p29，8sin2BC24sin2A9.41cos(BC)4(1cos2A)9.4cos2A4cos A10，解得 cos A12.又0A0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三
23、点共线，则1a2b的最小值是_8_.三、解答题11.a(1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当 kab 与 a3b 平行时，存在唯一实数 使 kab(a3b)，由(k3,2k2)(10，4)得，k310，2k24.解得 k13，当 k13时，kab 与 a3b 平行，这时 kab13ab13(a3b).130，kab 与 a3b 反向.12.如图所示，P 是ABC 内一点，且满足PA2PB 3PC0，设 Q 为 CP 延长线与 AB 的交点，令C
24、Pp，试用 p 表示PQ.解 设PAa，PBb，由已知条件 3CPPA2PB，即 3pa2b，PQ CP3(a2b)，又PQ PAAQ PAABPA(PBPA)(1)ab，由平面向量基本定理3123.解得 1，因此PQ CPp.13.如图，已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(0，0)，B(4,1)，C(6,8).(1)求顶点 D 的坐标；(2)若DE 2EC，F 为 AD 的中点，求 AE 与 BF 的交点 I 的坐标.解(1)设点 D(x，y)，因为AD BC，所以(x，y)(6,8)(4,1)(2,7)，所以顶点 D 的坐标为(2,7).(2)设点 I(x，y)，则有 F 点坐标为1，7
25、2，(xE2，yE7)2(6xE,8yE)E143，233，BF3，52，BI(x4，y1)，BFBI52(x4)3(y1)，又AEAI233 x143 y，联立方程组可得x9152，y299104，则点 I 的坐标为9152，299104.14.已知点 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM t1OA t2AB.(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当 t11 时，不论 t2 为何实数，A、B、M 三点都共线；(3)若 t1a2，求当OM AB且ABM 的面积为 12 时 a 的值.8.(1)解 OM t1OA t2ABt1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t1
26、4t2).当点 M 在第二或第三象限时，有4t20，2t14t20，故所求的充要条件为 t20 且 t12t20.(2)证明 当 t11 时，由(1)知OM(4t2,4t22).ABOB OA(4,4)，AM OM OA(4t2,4t2)t2(4,4)t2AB，A、B、M 三点共线.(3)解 当 t1a2 时，OM(4t2,4t22a2).又AB(4,4)，OM AB，4t24(4t22a2)40，t214a2，故OM(a2，a2).又|AB|4 2，点 M 到直线 AB：xy20 的距离 d|a2a22|2 2|a21|.SABM12，12|AB|d124 2 2|a21|12，解得 a2，故所求 a 的值为2.
