1、4.7 正弦定理、余弦定理第四章 三角函数、解三角形 数学 苏（理）基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 知识梳理 1.正弦、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a2；b2；c2_ asin A 2Rbsin Bcsin Cb2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C基础知识自主学习 知识梳理 变形(5)cos A ；cos B ；cos C 2Rsin B2Rsin Csin Asin Bsin Cb2c2a22bcc2a2b22aca2
2、b2c22ab基础知识自主学习 知识梳理 A为锐角 A为钝角或直角 图形 2.SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R 12(abc)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R、r.3.在ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况如下：基础知识自主学习 知识梳理 关系式 absin A bsin Aab 解的 个数 一解两解一解一解基础知识自主学习 知识梳理 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在ABC中，AB必有sin Asin B.()(2)若满足条件C60，AB，BCa的ABC有两个，那么a的取值范围是(，2).()(3
3、)若ABC中，acos Bbcos A，则ABC是等腰三角形.()33基础知识自主学习 知识梳理(4)在ABC中，tan Aa2，tan Bb2，那么ABC是等腰三角形.()(5)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，三角形为直角三角形；当b2c2a20时，三角形为钝角三角形.()(6)在ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于.()332基础知识自主学习 考点自测 题号 答案 解析 1 2 3 4 3钝角3 322方法一 因为 bcos Cccos B2b，所以 ba2b2c22abca2c2b22ac2b，化简可得ab2.方法二 因为bcos Ccco
4、s B2b，所以sin Bcos Csin Ccos B2sin B，故sin(BC)2sin B，故 sin A2sin B，则 a2b，即ab2.题型分类深度剖析 题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 解析 思维升华 例1(2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；79题型分类深度剖析 解析 思维升华 解 由余弦定理得：cos Ba2c2b22ac a2c242ac79，即 a2c24149 ac.(ac)22ac4149 ac，题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1(2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的
5、边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；79题型分类深度剖析 解析 思维升华 ac9.由ac6，ac9，得ac3.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1(2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；79题型分类深度剖析 解析 思维升华(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1(2013山东)设ABC的内角A，B，C所
6、对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；79题型分类深度剖析 解析 思维升华(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1(2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；79题型分类深度剖析 解析 思维升华 例1(2)求sin(AB)的值.题型分类深度剖析 解在ABC 中，cos B79，解析 思维升华 例1(2)求sin(AB)
7、的值.sin B 1cos2B 17924 29.由正弦定理得：asin A bsin B，sin Aasin Bb，题型分类深度剖析 解析 思维升华 例1(2)求sin(AB)的值.34 2922 23.又 AC，0A0，sin A45.cos B 5130，sin B1213.sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B 题型分类深度剖析(2)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A，cos B，b3，则c.3551345 5133512135665.由正弦定理知 bsin Bcsin C，cbsin Csin B 3566512131
8、45.145题型分类深度剖析 题型二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例2 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；解析 思维升华 题型分类深度剖析 解析 思维升华 解 由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos Ab2c2a22bc12，0A180，A60.题型二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例2 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小
9、；题型分类深度剖析 解析 思维升华(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是不是正三角 题型二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例2 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；题型分类深度剖析 解析 思维升华 形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.题型二
10、利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例2 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；题型分类深度剖析 解析 思维升华 例2(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状.3题型分类深度剖析 解 ABC180，BC18060120.解析 思维升华 例2(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状.3由 sin Bsin C 3，得 sin Bsin(120B)3，sin Bsin 120cos Bcos 120sin B.3题型分类深度剖析 解析 思维升华 例2(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形
11、状.332sin B 32 cos B 3，即sin(B30)1.0B120，30B30150.B3090,B60.ABC60，ABC为等边三角形.题型分类深度剖析 解析 思维升华(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是不是正三角 例2(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状.3题型分类深度剖析 解析 思维升华 形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.(2)边角转化的工具主要是正
12、弦定理和余弦定理.例2(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状.3题型分类深度剖析 跟踪训练2(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 cos A，则ABC为.钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 等边三角形cb解析已知cbcos A，由正弦定理，得sin Csin Bcos A，即 sin Csin Bcos A，题型分类深度剖析 跟踪训练2(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 cos A，则ABC为.钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 等边三角形cb所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bco
13、s A0，所以cos Bsin A0.题型分类深度剖析 跟踪训练2(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 0，于是有cos B0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形.题型分类深度剖析(2)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为.等边三角形 直角三角形 等腰三角形或直角三角形 等腰直角三角形B2ac2c题型分类深度剖析 解析cos2B21cos B2，(1cos B)cac，acos Bca2c2b22a，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形.答案 题型分类深度剖析 解析 思维升华 题型三 和三角形面积有关的问题 例3(20
14、14浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c,cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；333题型分类深度剖析 解析 思维升华 解 由题意得1cos 2A21cos 2B2 32 sin 2A 32 sin 2B，即 32 sin 2A12cos 2A 32 sin 2B12cos 2B，题型三 和三角形面积有关的问题 例3(2014浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c,cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；333题型分类深度剖析 解析 思维升华
15、sin2A6 sin2B6.由ab，得AB.又AB(0，)，得 2A62B6，即 AB23，所以 C3.题型三 和三角形面积有关的问题 例3(2014浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c,cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；333题型分类深度剖析 解析 思维升华 三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式 S12absin C12acsin B12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.题型三 和三角形面积有关的问题 例3(2014浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c
16、,cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；333题型分类深度剖析 解析 思维升华(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.题型三 和三角形面积有关的问题 例3(2014浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c,cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；333题型分类深度剖析 解析 思维升华 例3(2)若sin A，求ABC的面积.45题型分类深度剖析 解析 思维升华 解由 c 3，sin A45，例3(2)若sin A，求ABC的面积.45csin C，得
17、 a85.由ac，得AC，从而 cos A35，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C 题型分类深度剖析 解析 思维升华 43 310，例3(2)若sin A，求ABC的面积.45所以，ABC的面积为 S12acsin B8 31825.题型分类深度剖析 解析 思维升华 例3(2)若sin A，求ABC的面积.45三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式 S12absin C12acsin B12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.题型分类深度剖析 解析 思维升华 例3(2)若sin A，求ABC的面积.45(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦
18、定理或余弦定理进行边和角的转化.题型分类深度剖析 解析 因为 B6，C4，所以 A712.由正弦定理得bsin 6csin 4，跟踪训练3(1)(2013课标全国改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为.64题型分类深度剖析 解得 c2 2.所以三角形的面积为12bcsin A1222 2sin 712.因为 sin 712sin34 32 22 22 12跟踪训练3(1)(2013课标全国改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为.64题型分类深度剖析 22 32 12，所以12bcsin A2 2 2
19、2 32 12 31.跟踪训练3(1)(2013课标全国改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为.6431题型分类深度剖析(2)(2014山东)在ABC 中，已知ABACtan A，当 A6时，ABC 的面积为.解析 已知 A6，由题意得|AB|AC|cos 6tan 6，|AB|AC|23，所以ABC 的面积 S12|AB|AC|sin 612231216.16题型分类深度剖析 易错警示系列6 三角变换不等价致误 典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨
20、提 醒 题型分类深度剖析 易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形；(2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解；(3)结论表述不规范.易错警示系列6 三角变换不等价致误 典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.题型分类深度剖析 解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.易 错 分 析
21、 温 馨 提 醒 规 范 解 答 易错警示系列6 三角变换不等价致误 典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.题型分类深度剖析 方法一 由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒 易错警示系列6 三角变换不等价致误 典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.题型分类深度剖析 在ABC中
22、，02A2，02Bc，已知BABC2，cos B13，b3.求：(1)a 和 c 的值；解由BABC2 得 cacos B2.又 cos B13，所以 ac6.练出高分 A组 专项基础训练 23456789110解ac6，a2c213，得a2，c3或a3，c2.由余弦定理，得a2c2b22accos B.因为ac，所以a3，c2.又 b3，所以 a2c29261313.练出高分 A组 专项基础训练 23456789110解 在ABC 中，sin B1cos2B11322 23，(2)cos(BC)的值.由正弦定理，得 sin Ccbsin B232 23 4 29.因为abc，所以C为锐角，因
23、此 cos C1sin2C14 29 279.练出高分 A组 专项基础训练 23456789110于是 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C13792 23 4 29 2327.练出高分 B组 专项能力提升 12345练出高分 B组 专项能力提升 1.ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin Bbcos2A 2a，则ba.解析 asin Asin Bbcos2A 2a，sin Asin Asin Bsin Bcos2A 2sin A，sin B 2sin A，basin Bsin A 2.212345练出高分 B组 专项能力提升 2.在A
24、BC 中，若 b5，B4，tan A2，则 a.解析 由tan A2得sin A2cos A.又 sin2Acos2A1 得 sin A2 55.b5，B4，根据正弦定理，有 asin A bsin B，12345练出高分 B组 专项能力提升 absin Asin B 2 5222 10.答案 2 1012345练出高分 B组 专项能力提升 3.(2014江苏)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是.2解析 由 sin A 2sin B2sin C，结合正弦定理得 a 2b2c.由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab12345练出高分 B组 专项能力提升
25、 a2b2a 2b242ab34a212b2 2ab22ab2 34a212b2 2ab22ab6 24，故6 24cos C1，故 cos C 的最小值为6 24.答案 6 2412345练出高分 B组 专项能力提升 4.(2013 浙江)在ABC中，C90，M是BC的中点.若sinBAM，则sinBAC.13解析 因为 sinBAM13，所以 cosBAM2 23.如图，在ABM中，利用正弦定理，12345练出高分 B组 专项能力提升 得BMsinBAM AMsin B，所以BMAMsinBAMsin B13sin B13cosBAC.在 RtACM 中，有CMAMsinCAMsin(BA
26、CBAM).由题意知BMCM，12345练出高分 B组 专项能力提升 所以13cosBACsin(BACBAM).化简，得 2 2sinBACcosBACcos2BAC1.所以 2 2tanBAC1tan2BAC1，解得 tanBAC 2.再结合sin2BACcos2BAC1，BAC 为锐角可解得 sinBAC 63.12345答案 63练出高分 B组 专项能力提升 5.已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，角 B 所对的边 b 3，且函数 f(x)2 3sin2x2sin xcos x 3在 xA 处取得最大值.(1)求 f(x)的值域及周期；解 因为A，B，C成等差数列，所以2B
27、AC，又ABC，12345练出高分 B组 专项能力提升 所以 B3，即 AC23.因为 f(x)2 3sin2x2sin xcos x 3 3(2sin2x1)sin 2xsin 2x 3cos 2x2sin2x3，所以 T22.12345练出高分 B组 专项能力提升 又因为 sin2x3 1,1，所以f(x)的值域为2,2.12345练出高分 B组 专项能力提升(2)求ABC的面积.解 因为f(x)在xA处取得最大值，所以 sin2A3 1.因为 0A23，所以32A3，故当 2A32时，f(x)取到最大值，12345练出高分 B组 专项能力提升 所以 A 512，所以 C4.由正弦定理，知3sin 3csin 4c 2.又因为 sin Asin46 2 64，所以 SABC12bcsin A3 34.12345谢谢观看
