1、高考大题冲关(四)立体几何中的热点问题 考情概述:通过近三年的高考命题可以发现,高考对本部分内容的命题主要集中在空间线面平行关系、垂直关系的证明以及几何体体积的计算等问题,考题设置通常是先证明后计算,主要考查考生的空间想象能力和推理论证能力以及语言表达能力,难度中等.题型一 空间位置关系的证明和体积的计算【例 1】(2013 年高考新课标全国卷)如图所示,直三棱柱 ABC A1B1C1中,D,E 分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1平面 A1CD;(2)设 AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱锥 C A1DE 的体积.思维导引:(1)证明 BC1平行于平面A1CD内的一条直线,可
2、利用三角形的中位线寻找;(2)先确定三棱锥 C A1DE 的高,然后计算体积.(1)证明:连接 AC1交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1中点.又 D 是 AB 中点,连接 DF,则 BC1DF.因为 DF 平面 A1CD,BC1 平面 A1CD,所以 BC1平面 A1CD.(2)解:因为 ABC A1B1C1是直三棱柱,所以 AA1CD.由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CDAB.又 AA1AB=A,于是 CD平面 ABB1A1.由 AA1=AC=CB=2,AB=22 得ACB=90,CD=2,A1D=6,DE=3,A1E=3,故 A1D2+DE2=A1E2,即 DEA1D
3、.所以1C A DEV三棱柱=13 126 3 2=1.冲关策略(1)空间线面位置关系的证明主要是以几何体为载体考查线面平行、垂直的论证.一般将面面的平行或垂直转化为线面的平行或垂直,再转化为线线的平行或垂直,体现了转化与化归思想的应用,解答时表述要严谨规范、有理有据.(2)计算问题主要是体积的计算,求解的关键是确定几何体的高,当几何体的高不易确定时可进行体积的转化求解.即时突破 1(2013 年高考天津卷)如图,三棱柱 ABC A1B1C1中,侧棱 A1A底面 ABC,且各棱长均相等,D,E,F 分别为棱AB,BC,A1C1的中点.(1)证明:EF平面 A1CD;(2)证明:平面 A1CD平
4、面 A1ABB1.(1)证明:如图,在三棱柱ABC A1B1C1 中,ACA1C1,且AC=A1C1,连接 ED,在ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点,所以 DE=12 AC 且 DEAC.又 F 为 A1C1的中点,可得 A1F=DE,且 A1FDE,即四边形 A1DEF 为平行四边形,所以 EFDA1.又 EF 平面 A1CD,DA1 平面 A1CD,所以 EF平面 A1CD.(2)证明:由于底面 ABC 是正三角形,D 为 AB 的中点,故 CDAB.又侧棱 A1A底面 ABC,CD 平面 ABC,所以 AA1CD,又 AA1AB=A,因此 CD平面 A1ABB1,而
5、CD 平面 A1CD,所以平面 A1CD平面 A1ABB1.题型二 立体几何中的折叠问题【例 2】(2013 年高考广东卷)如图(1),在边长为 1 的等边三角形 ABC中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将ABF 沿 AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥 A BCF,其中 BC=22.(1)证明:DE平面 BCF;(2)证明:CF平面 ABF;(3)当 AD=23时,求三棱锥 F DEG 的体积FDEGV.思维导引:(1)利用线面平行的判定定理论证;(2)证明 CFBF,CFAF;(3)三棱锥的高为GF,底为DEG,利用体
6、积公式求解.(1)证明:在等边三角形 ABC 中,AB=AC.AD=AE,ADDB=AEEC,DEBC,DGBF,如题图(2)所示,DG 平面 BCF,DG平面 BCF.同理可证 GE平面 BCF.DGGE=G,平面 GDE平面 BCF,DE平面 BCF.(2)证明:在等边三角形 ABC 中,F 是 BC 的中点,AFFC,BF=CF=12BC=12.在题图(2)中,BC=22,BC2=BF2+FC2,BFC=90,FCBF.BFAF=F,CF平面 ABF.(3)解:AD=23,BD=13,ADDB=21,在题图(2)中,AFFC,AFBF,AF平面 BCF,由(1)知平面 GDE平面 BCF
7、,AF平面 GDE.在等边三角形 ABC 中,AF=32 AB=32,FG=13AF=36,DG=23BF=23 12=13=GE,SDGE=12DGEG=118,FDEGV=13SDGEFG=3324.冲关策略(1)分清折叠前图形中各元素(线段长度、夹角等)的关系、线线之间的位置关系.(2)观察折叠过程中几何图形各元素和线线之间位置关系哪些发生了变化,哪些没发生变化,发生变化的变化规律是什么.(3)分析折叠后的图形中各元素以及线线之间的位置关系,选用相关定理和公式进行论证和计算.即时突破 2(2012 年高考江西卷)如图,在梯形 ABCD中,ABCD,E,F 是线段 AB 上的两点,且 DE
8、AB,CFAB,AB=12,AD=5,BC=42,DE=4.现将ADE,CFB 分别沿DE,CF 折起,使 A,B 两点重合与点 G,得到多面体 CDEFG.(1)求证:平面 DEG平面 CFG;(2)求多面体 CDEFG 的体积.(1)证明:因为 DEEF,CFEF,所以四边形 CDEF 为矩形,由 GD=5,DE=4,得 GE=22GDDE=3,由 GC=42,CF=4,得 FG=22GCCF=4,所以 EF=5,在EFG 中,有 EF2=GE2+FG2,所以 EGGF,又因为 CFEF,CFFG,所以 CF平面 EFG,所以 CFEG,所以 EG平面 CFG,所以平面 DEG平面 CFG.(2)解:在平面 EGF 中,过点 G 作 GHEF 于点 H,则 GH=EG GFEF=125,因为平面 CDEF平面 EFG,得 GH平面 CDEF,V 多面体 CDEFG=13 S 矩形 CDEFGH=16.点击进入大题冲关集训(四)点击进入滚动检测(四)
