1、第八章平面解析几何第七节 抛物线最新考纲考情分析1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2理解数形结合的思想3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.1.抛物线的定义、标准方程、几何性质是近几年高考命题的热点2常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇命题3题型主要以解答题的形式出现，属于中高档题，有时也会以选择题、填空题的形式出现，属中低档题.课时作业01知识梳理 诊断自测02考点探究 明晰规律03微突破 提升素养01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知识点一 抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)_的点的轨
2、迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的_，直线 l叫做抛物线的_数学表达式：_当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线距离相等焦点准线|MF|d(其中 d 为点 M 到准线的距离)知识点二 抛物线的标准方程及几何性质抛物线常见的几何性质1焦半径、通径：抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0的距离|PF|x0p2，也称为抛物线的焦半径过焦点垂直于对称轴的弦称为通径，通径长等于 2p，是过焦点最短的弦2直线 AB 过抛物线 y22px(p0)的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图可得y1y2p2，x1x2p24.|AB|x
3、1x2p，x1x22 x1x2p，即当 x1x2 时，弦长最短为 2p.1|AF|1|BF|为定值2p.弦长 AB 2psin2(为 AB 的倾斜角)以 AB 为直径的圆与准线相切焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90.1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线 y24x 的焦点到准线的距离是 4.()(3)若 一 抛 物 线 过 点 P(2,3)，其 标 准 方 程 可 写 为 y2 2px(p0)()2小题热身(1)以 x1 为准线的抛物线的标准方程为()Ay22x By22xC
4、y24x Dy24x(2)设抛物线 y22px(p0)的焦点在直线 2x3y80 上，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx2Cx3 Dx4DD解析：因为抛物线 y22px 的焦点p2，0 在 2x3y80 上，所以 p8，所以抛物线的准线方程为 x4，故选 D.(3)已知点 F14，0，直线 l：x14，点 B 是 l 上的动点若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是()A双曲线B椭圆C圆D抛物线D解析：由已知得|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点 M的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线(4)抛物线 8x2y0 的焦点坐标为_.
5、0，132解析：由 8x2y0，得 x218y.2p18，p 116，焦点为0，132.(5)若抛物线 y4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M的纵坐标是_.1516解析：M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程为 y 116，设 M(x，y)，则 y 1161，y1516.02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 抛物线的定义及应用【例 1】(1)(2020贵阳市监测考试)抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 到准线 l 的距离为 2，则 C 的焦点坐标为()A(4,0)B(2,0)C(1,0)D(12，0)(2)(2020广东七校联考)已知抛物线 y2
6、24ax(a0)上的点M(3，y0)到其焦点的距离是 5，则该抛物线的方程为()Ay28xBy212xCy216xDy220 xCA【解析】(1)因为抛物线焦点到准线的距离为 2，所以 p2，所以抛物线的方程为 y24x，抛物线的焦点坐标为(1,0)，选C.(2)抛物线 y224ax(a0)的准线方程为 x6a，点 M(3，y0)到其焦点的距离是 5，根据抛物线的定义可知，点 M(3，y0)到准线的距离也为 5，即 36a5，a13，y28x，故选 A.方法技巧1已知椭圆y25x21 与抛物线 x2ay 有相同的焦点 F，O为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|4
7、，则|PA|PO|的最小值为()A2 13B4 2C3 13D4 6A解析：椭圆y25x21，c2514，即 c2，则椭圆的焦点为(0，2)，不妨取焦点(0,2)，抛物线 x2ay，抛物线的焦点坐标为0，a4，椭圆y25x21 与抛物线 x2ay 有相同的焦点 F，a42，即 a8，则抛物线方程为 x28y，准线方程为 y2，|AF|4，由抛物线的定义得 A 到准线的距离为 4，y24，即点 A 的纵坐标 y2，又点 A 在抛物线上，x4，不妨取点 A 坐标为(4,2)，A 关于准线的对称点的坐标为B(4，6)，则|PA|PO|PB|PO|OB|，即 O，P，B 三点共线时，有最小值，最小值为
8、|OB|4262 1636 522 13，故选 A.2设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5.若以 MF 为直径的圆过点 A(0,2)，则 C 的方程为()Ay24x 或 y28xBy22x 或 y28xCy24x 或 y216xDy22x 或 y216xC解析：由已知得抛物线的焦点 Fp2，0，设点 M(x0，y0)，则AFp2，2，AM y202p，y02.由已知得，AFAM 0，即 y208y0160，因而 y04，M8p，4.由|MF|5，得8pp22165.又 p0，解得 p2 或 p8.考点二 抛物线的标准方程及几何性质【例 2】(1)设 F
9、为抛物线 C：y24x 的焦点，M 为抛物线C 上的一点，O 为原点，则使OFM 为等腰三角形的点 M 的个数为()A1 B2 C4 D6(2)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，以 F 为圆心的圆与抛物线交于 M，N 两点，与抛物线的准线交于 P，Q 两点，若四边形 MNPQ为矩形，则矩形 MNPQ 的面积是()A16 3B12 3C4 3D3CA【解析】(1)当|MO|MF|时，有 2 个点 M 满足题意；当|OM|OF|时，有 2 个点 M 满足题意所以点 M 的个数为 4，故选C.(2)根据题意，四边形 MNPQ 为矩形，可得|PQ|MN|，从而得圆心 F 到准线的距离与到 MN 的距
10、离相等，所以有 M 点的横坐标为 3，代入抛物线方程，从而求得 M(3,2 3)，N(3，2 3)，所以|MN|4 3，|NP|4，所以矩形 MNPQ 的面积 S44 316 3.方法技巧1涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化；2应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了用数形结合思想解题的直观性.1若抛物线 y24x 的焦点是 F，准线是 l，点 M(4，m)是抛物线上一点，则经过点 F，M 且与 l 相切的圆有()A0 个 B1 个 C2 个 D4 个D解析：因为点 M(4，m)在抛物线 y24x
11、 上，所以可得 m4.由于圆经过焦点 F 且与准线 l 相切，所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上又圆经过抛物线上的点 M，所以圆心在线段 FM的垂直平分线上，故圆心是线段 FM 的垂直平分线与抛物线的交点结合抛物线的性质知对于点 M(4,4)和(4，4)，线段 FM的垂直平分线与抛物线都各有 2 个交点，所以满足条件的圆有 4个，故选 D.2抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点已知抛物线 y24x 的焦点为 F，一平行于 x 轴的光线从点 M(3,1)射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经
12、抛物线上的另一点 B 射出，则直线 AB 的斜率为()A.43 B43 C43 D169B解析：将 y1，代入 y24x，可得 x14，即 A14，1.由抛物线的光学性质可知，直线 AB 经过焦点 F(1,0)，所以 kAB1014143，故选 B.考点三 直线与抛物线的位置关系命题方向 1 焦点弦问题【例 3】(1)过抛物线 y28x 的焦点 F 作倾斜角为 135的直线交抛物线于 A，B 两点，则弦 AB 的长为()A4 B8 C12 D16D(2)(2020重庆市调研抽测)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点F 与双曲线4x23 4y21 的右焦点相同，过点 F 分别作两条直线 l1
13、，l2，直线 l1 与抛物线 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与抛物线 C 交于D，E 两点，若 l1 与 l2 的斜率的平方和为 1，则|AB|DE|的最小值为()A16 B20 C24 D32C【解析】(1)抛物线 y28x 的焦点 F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为 135，故直线 AB 的方程为 yx2，代入抛物线方程 y28x，得 x212x40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB 的长|AB|x1x2412416.(2)由双曲线方程知其右焦点坐标为(1,0)，所以p21，即 p2，所以抛物线 C 的方程为 y24x.由题意可设直线 l1 的方程为yk1(
14、x1)(k10)，直线 l2 的方程为 yk2(x1)(k20)，则 k21k221，于是由yk1x1，y24x，消去 y，得 k21x2(2k214)xk210，所以 xAxB2k214k2124k21，同理可得，xDxE24k22.因为 F为抛物线的焦点，所以由抛物线的定义可得|AB|DE|(xAp2xBp2)(xDp2xEp2)xAxBxDxE2p24k2124k22484k21k22k21k228 4k21k2284k21k222224，当且仅当 k21k2212时，|AB|DE|取得最小值 24，故选 C.命题方向 2 直线与抛物线的位置关系【例 4】(2020重庆市七校联考)已知
15、A，B 是 x 轴正半轴上两点(A 在 B 的左侧)，且|AB|a(a0)，过 A，B 分别作 x 轴的垂线，与抛物线 y22px(p0)在第一象限分别交于 D，C 两点(1)若 ap，点 A 与抛物线 y22px 的焦点重合，求直线 CD的斜率；(2)若 O 为坐标原点，记OCD 的面积为 S1，梯形 ABCD 的面积为 S2，求S1S2的取值范围【解】(1)由题意知 A(p2，0)，则 B(p2a,0)，D(p2，p)，则C(p2a，p22pa)，又 ap，所以 kCD 3pp3p2 p2 31.(2)设直线 CD 的方程为 ykxb(k0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由ykxb
16、y22px，得 ky22py2pb0，所以 4p28pkb0，得 kb0，y1y22pbk 0，可知 k0，b0，因为|CD|1k2|x1x2|a 1k2，点 O 到直线 CD 的距离 d|b|1k2，所以 S112a 1k2|b|1k212ab.又 S212(y1y2)|x1x2|122pk aapk，所以S1S2kb2p，因为 0kbp2，所以 0S1S214.方法技巧直线与抛物线相交问题处理规律：1凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算，特别是有关弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p
17、，若不过焦点，则使用弦长公式 2对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图形结合几何性质作出解答，并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.(2019全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P.(1)若|AF|BF|4，求 l 的方程；(2)若AP3PB，求|AB|.解：设直线 l：y32xt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得 F(34，0)，故|AF|BF|x1x232，由题设可得x1x252.由y32xt，y23x可得 9x212(t1)x4t20，则 x1x212t19.从而12t1952，得 t78.所以 l 的方程为 y32x78.(2)由AP3PB可得 y13y2.由y32xt，y23x可得 y22y2t0.所以 y1y22.从而3y2y22，故 y21，y13.代入 C 的方程得 x13，x213.故|AB|4 133.温示提馨请 做：课时作业 58PPT文稿（点击进入）
