1、第 1 页绝密 启封并使用完毕前九江市 2020 届第二次高考模拟统一考试 文科数学试题解析版 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第卷（选择题 60 分）一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共
2、 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2,1,0,1,2A=-，2|2Bx x=，则 AB=I(C)A.0,1 B.1,1-C.1,0,1-D.0 解:|22Bxx=-Q，1,10AB=-I，故选 C.2.已知复数 z 满足()103 iz-=，则 z=(D)A.3i-B.3i-+C.3i-D.3i+解:1010(3i)3i3i(3i)(3i)z+=+-+，故选 D.3.已知等差数列 na的前 n 项和为nS，若11a=，46S=，则7S=(D)A.7 B.9 C.11 D.14 解:法一:由11a=，46S=，得4(4 1)4 162d-+=，解得13d
3、=，77(71)17 11423S-=+=，故选D.法二:1444()62aaS+=Q，又11a=，42a=，17477()7 21422aaaS+=，故选 D.4.已知sin21cosaa=+，则 tan a=(A)A.43-B.34-C.43 D.2 解:22sincossin22tan21cos22cos 2aaaaaa=+Q，22tan42tan31tan 2aaa=-，故选 A.5.已知 01ab，则下列结论正确的是(B)A.abbb B.bbab C.abaa D.aaba 解:法一:01abQ，byx=，ayx=在(,)0+上单调递增，xya=，xyb=在(,)0+上单调递减，故
4、选 B.法二:取14a=，12b=，则12aa=，12ba=，12bb=，412ab=，显然bbab，故选 B.6.将函数2cos(2)6yxp=+的图像向左平移 6p 个单位得到函数()f x，则函数()sinf xyxx=的图像大致为(D)第 2 页 解:依题意得()2cos()2cos()2sin222662f xxxxppp=+=+=-，则()2sin24cossinsinf xxxyxxxxx-=，xk p，k Z，显然该函数为奇函数，且当(0,)2x时，0y)的右焦点 F，若存在平行于 x 轴的直 线 l，与双曲线 E 相交于,A B 两点，使得四边形 ABOF 为菱形，则该双曲线
5、 E 的离心率为(B)A.2 3 1+B.31+C.3 D.2 3 解:如图，由对称性知 OAOB=，OAFD为边长为c 的等边三角形，3(,)22cc 在双曲线 E 上，22223144ccab-=，2222234cccaa-=-，222341eee-=-，解得 31e=+，故选 B.10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算 DBCAxyOAFBxyO2pp1-p2-2-p12DxyO2pp1-p2-2-p12CBxyO2pp1-p2-2-p12AxyO2pp1-p2-122-p否是cab=+开始输出
6、 S结束,ab bc=(1)iScSi-+=5i 1ii=+1i=0a=1b=0S=第 3 页珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字 65.若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为(C)A.13 B.49 C.59 D.23 解:依题意得所拨数字可能为610 601 511 160 151 115 106 61 16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为 59，故选 C.11.已知函数()lnf xxaxa=-+(Ra)有两个零点，则a 的取值范围是(B)A
7、.(e,+)B.2(e,)+C.23(e,e)D.22(e,2e)解:()1axafxxx-=-=(0 x),当0a 时，()0fx，()f x在(0,+)上单调递增，不合题意，当0a 时，0 xa时，()0fx时，()0fx，()f x在(0,)a 上单调递减，在(,)a+上单调递增，min()()2lnf xf aaaa=-，依题意得 2ln0aaa-，取1ex=，22xa=，则1xa，且1()(e)e0f xf=，222()()2 ln(2ln1)f xf aaaaaa aa=-+=-+，令()2 ln1g aaa=-+，则2()10g aa=-，()g a在2(e,)+上单调递增，22
8、()(e)e30g ag=-，2()0f x，故a 的取值范围是2(e,)+，故选 B.12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为 1234,l l l l，则(B)A.1234llll B.1234llll=C.1234llll=D.1234llll=解:正 n 边形的中心运动轨迹是由 n 段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为 2np，每段圆弧的半径r 为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长22lnrrnp=p，圆的中心运动轨迹长也为 2 rp，依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点
9、到中心距离及圆的半径满足 1234rrrr=，1234llll=，故选 B.第卷（非选择题 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量,a b 满足1=a，2=b，()-aab，则 a 与 b 的夹角为60.解:()-Qaab，20-=aa b，1 1 2cos,0-=a b，1cos,2=a b，a 与b的夹角为60.14.设,x y 满足约束条件220220 xyxyyx+-+，则32zxy=-的最大值是 23.解:不等
10、式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过 2 2(,)3 3 时取得最大值，即max22232333z=-=yx121112O第 4 页15.ABCD中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，若2228tanabcC+-=，则 ABCD的面积为 2 .解:由余弦定理知2222cosabcabC+-=，82costanabCC=，sin4abC=,1sin22ABCSabCD=.16.如图，在一个底面边长为 2,侧棱长为 10 的正四棱锥 PABCD-中，大球1O 内切于 该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为224 p.解:设O 为正方形
11、ABCD 的中心，AB的中点为 M，连接,PM OM PO，则1OM=，2210 13PMPAAM=-=-=，9 12 2PO=-=，如图，在截面 PMO 中，设 N 为球1O 与平面 PAB 的切点，则 N 在 PM 上，且1O NPM，设球1O 的半径 为 R，则1O NR=，1sin3OMMPOPM=Q，1113NOPO=，则13POR=，1142 2POPOOOR=+=，22R=，设球1O 与球2O 相切于点Q，则 PQ=22PORR-=，设球2O 的半径为 r，同理可得4PQr=，224Rr=，故小球2O 的 体积342324Vr=p=p.三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分
12、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)已知数列na满足11a=，212a=，122nnnaaa+=()求证:1nnaa+-为等比数列；()求na的通项公式 解:()由122nnnaaa+=，得2112()()nnnnaaaa+-=-，即+21+11()2nnnnaaaa+-=-2 分 又2112aa-=-，+21+112nnnnaaaa+-=-4 分 1nnaa+-是以12-为首项，12-为公比的等比数列5 分 ()由()知1+1111()()()222nnnnaa-=-=-6 分 111()2nnnaa-=-,2121()2nnnaa-=-，211()2aa-
13、=-(2n)，累加得221111()111112122()()()()()122223321()2nnnnnaa-=-+-+-+-=-L9 分 又11a=，1212211()()332332nnna=-=-(2n)11 分 又11a=也符合上式，221()332nna=-12 分 18.(本小题满分 12 分)BMI 指数（身体质量指数，英文为 Body Mass Index，简称BMI）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI=体重(kg)/身高(m)的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当 BMI28时为肥胖.某地区随机调查了1200 名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被
14、调查者的频率分布直方图如下：2OO1O2OPMQN1OPCBAD第 5 页 ()求被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值 m；()填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd-=+，nabcd=+.解:()根据频率分布直方图，200 名高血压患者中，BMI 值在28,30)的人数为0.1 2 20040=，在30,32)的人数为0.05 2 20020=，在32,34)的人数为0.025 2 20010=2 分 1000 名非高血压患者中，BMI 值在 28,30)的人数为 0.08 2 100
15、0160=，在 30,32)的人数为0.03 2 100060=，在32,34)的人数为0.005 2 100010=4 分 被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值(40160)29(2060)31(1010)3329.84020 10 16060 10m+=+6 分()由()知，200名高血压患者中，有40 20 1070+=人肥胖，200 70 130-=人不肥胖7 分 1000 名非高血压患者中，有160 60 10230+=人肥胖，1000 230770-=人不肥胖8 分 9 分 221200(70 770230 130)12.810.828200 1000 900 300K-=11 分
16、 有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关12 分 19.(本小题满分 12 分)如图所示的几何体111ABCA BC-中，四边形11ABB A 是正方形，四边形11BCC B 是梯形，11/B CBC，且1112B CBC=，ABAC=，平面11ABB A 平面 ABC.()求证：平面11ACC 平面11BCC B；()若2AB=，90BAC=，求几何体111ABCA BC-的体积.解:()取 BC 的中点 E，连接1,AE C E，ABAC=Q，AEBC1 分 11ABB AQ是正方形，1BBAB，又平面11ABB A 平面 ABC，1BB 平面 ABC，又AEQ平面 ABC
17、，1AEBB2 分 又1,BB BCQ平面11BCC B，1BBBCB=I，AE 平面11BCC B 3 分 2()P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 肥胖 不肥胖 合计 高血压 非高血压 合计 肥胖 不肥胖 合计 高血压 70 130 200 非高血压 230 770 1000 合计 300 900 1200 BMI频率组距18 20 22 24 26 28 30 32 340.0250.0500.100高血压 BMI频率组距18 20 22 24 26 28 30 32 340.0050.0300.080非高血压 ABC1A1B1C第 6
18、 页11/B CBEQ，四边形11BB C E 为平行四边形，111/C E B B A A，四边形11AAC E 为平行四边形 4 分 11/AE AC，11AC 平面11BCC B 5 分 又11AC 平面11ACC，平面11ACC 平面11BCC B 6 分()由()知所求几何体为四棱锥11CAAC E-和直三棱柱111ABEA B C-的 组合体7 分 CEAEQ，1CEAA，1,AA AE 平面11AAC E，CE 平面11AAC E，四棱锥11CAAC E-的体积1111111142223333AA C ECAA C EVSCEAAAE CE-=矩形9 分 直三棱柱111ABEA
19、B C-的体积1 111111222222ABEA B CABEVSAABE AE AA-=11 分 所求几何体111ABCA BC-的体积111 11410233CAA C EABEA B CVVV-=+=+=12 分 20.(本小题满分 12 分)过点(1,0)A的动直线l 与 y 轴交于点(0,)Tt，过点T 且垂直于l 的直线l 与直线2yt=相交于点 M ()求 M 的轨迹方程；()设 M 位于第一象限，以 AM 为直径的圆O 与 y 轴相交于点 N，且30NMA=，求 AM 的值 解:()(,)1 0AQ，(0,)Tt，当0t=时，M 的坐标为(,)0 0 1 分 当0t 时，01
20、 0ltkt-=-，11llkkt=-=，l 的方程为1yxtt=+2 分 由2yt=得2xt=，2(,2)M tt3 分 验证当0t=时，也满足2(,2)M tt 4 分 M的坐标满足方程24yx=，即 M 的轨迹方程为24yx=5 分()法一:设00(,)M xy(00,0 xy)，则2004yx=，001(,)22xyO+，圆O 的方程为00(1)()(0)()0 xxxyyy-+-=6 分 令0 x=得2000yy yx-+=，即220004yyy y-+=，02yy=，即0(0,)2yN，O Nx/轴8 分 30NMA=Q，60NO A=Q，3AMk=，直线 AM 的方程为3(1)y
21、x=-10 分 联立23(1)4yxyx=-=，消去 y 整理得231030 xx-+=，解得3x=或13x=(舍)，即03x=11 分 AQ为抛物线24yx=的焦点，014AMx=+=12 分 法二:作1O Oy轴于1O，1MMy轴于1M，则111()2O OMMOA=+6 分 又 A 为抛物线24yx=的焦点，112O OMA=，故圆O 与 y 轴相切于点 N 8 分 30NMA=Q，60NO A=Q，3AMk=，直线 AM 的方程为3(1)yx=-10 分 联立23(1)4yxyx=-=，消去 y 整理得231030 xx-+=，解得3x=或13x=(舍)，即03x=11 分 xyAMO
22、NO1MABC1A1B1CE第 7 页AQ为抛物线24yx=的焦点，014AMx=+=12 分 21.(本小题满分 12 分)已知函数()(1)lnf xxx=-.()求()f x 的单调性；()若不等式 e()exxf xxa+在(0,)+上恒成立，求实数 a 的取值范围 解:()法一：由()(1)lnf xxx=-，知1()ln1fxxx=+-1 分 当01x 时，1ln0,10 xx-，1ln10 xx+-，此时()0fx 时，1ln0,10 xx-，1ln10 xx+-，此时()0fx4 分()f x在(,)0 1 上单调递减，在(1,)+上单调递增5 分 法二：由()(1)lnf x
23、xx=-，知1()ln1fxxx=+-1 分 令1()()ln1h xfxxx=+-(0 x)，则22111()0 xh xxxx+=+=，()h x在(0,)+上单调递增3 分 1()ln1 1011h=+-=Q，当(,)0 1x 时，()0h x 4 分()f x在(,)0 1 上单调递减，在(1,)+上单调递增5 分()不等式 e()exxf xxa+等价于()exxaf x-7 分 令()exxg x=，则1()e xxgx-=，当01x，当1x 时，()0g x，()exxg x=在(,)0 1 上单调递增，在(1,)+上单调递减9 分 又()f xQ在(,)0 1 上单调递减，在(
24、1,)+上单调递增，()exxyf x=-在(,)0 1 上单调递减，在(1,)+上单调递增，即()exxyf x=-在1x=处取得最小值1e-11 分 1ea-，故实数 a 的取值范围是1(,e-12 分 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 E 的参数方程为12cos2sinxyjj=+=(j 为参数)，以O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 1l,2l 的极坐标方程分别为0qq=，02qqp=+(0(0,)q p)，1l 交曲线 E 于点,A B，2l
25、 交曲线 E 于点,C D.()求曲线 E 的普通方程及极坐标方程；()求22BCAD+的值.解:()由 E 的参数方程12cos2sinxyjj=+=(j 为参数)，知曲线 E 是以(1,0)为圆心，半径为 2 的圆，曲线 E 的普通方程为22(1)4xy-+=2 分 令cosxrq=，sinyrq=得222(cos1)cos4rqrq-+=，即曲线 E 极坐标方程为22 cos30rrq-=4 分 第 8 页()依题意得 1l 2l，根据勾股定理，222BCOBOC=+，222ADOAOD=+5 分 将0qq=，02qqp=+代入22 cos30rrq-=中，得202 cos30rrq-=
26、，202 sin30rrq+-=7 分 设点,A B C D 所对应的极径分别为1234,r rr r，则0122cosrrq+=，123r r=-，0342sinrrq+=-，123r r=-8 分 222222222222123412123434()2()2BCADOAOBOCODrrrrrrr rrrr r+=+=+=+-+-22004cos64sin616qq=+=10 分 23.选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分）已知函数12()21xxf xx+-=-的最大值为m ()求m 的值；()若,a b c 为正数，且abcm+=，求证:1bcacababc+.解:()()f x 的定义域为1R|2xx，12(1)(2)21xxxxx+-+-=-Q，当且仅当(1)(2)012xxx+-，即112x-或 122x时取等号3 分 21()121xf xx-=-，1m=5 分()由()知1abc+=6 分 22bcacbc accabab+=Q，22bcabbc abbacac+=，22acabac ababcbc+=8 分 相加得 2()2()bcacababcabc+，当且仅当13abc=时取等号9 分 1bcacababc+10 分 命题人：审稿人：