1、数学归纳法及其应用举例一、选择题(共49题，题分合计245分)1.用数学归纳法证明:1+1)时,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+12.球面上有n个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n个大圆所分成的部分为f(n),则下列猜想:f(n)=n,f(n)=f(n-1)+2n,f(n)=n2-n+2中,正确的是A.与 B.与 C.与 D.只有3.某个命题与自然数m有关,若m=k(kN)时该命题成立,那么可以推得m=k+1时该命题成立,现已知当m=5时,该命题不成立,那么可推得A.当m=6时该命题不成立 B.当m=
2、6时该命题成立C.当m=4时该命题不成立 D.当m=4时该命题成立4.设f(n)=(nN),那么f(n+1)-f(n)等于A. B. C.+ D.-5.用数学归纳法证明1+a+a2+=(nN,a1)中,在验证n=1时,左式应为A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a36.用数学归纳法证明5n-2n能被3整除的第二步中,n=k+1时,为了使用归纳假设,应把5 k+1 -2 k+1变形为A.(5k-2 k)+45 k -2 k B.5(5 k -2 k)+32 k C.(5 k -2 k)(5-2) D.2(5 k -2 k)-35 k7.平面内原有k条直线,它们把平面划分成f(
3、k)个区域,则增加第k+1条直线后,这k+1条直线把平面分成的区域至多增加A.k个 B.k+1个 C.f(k)个 D.f(k)+(k+1)个8.已知凸k边形的对角线条数为f(k)(k3)条,则凸k+1边形的对角线条数为A.f(k)+k B.f(k)+k+1 C.f(k)+k-1 D.f(k)+k-29.用数学归纳法证明(n+1)+(n+2)+(n+n)=的第二步中,n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于A.2k+2 B.4k+3 C.3k+2 D.k+110.下面四个判断中,正确的是A.式子1+k+k2+kn(nN),当n=1时恒为1B.式子1+k+k2+kn-1(nN),当n=1时
4、恒为1+kC.式子+(nN),当n=1时恒为D.设f(x)=(nN),则f(k+1)=f(k)+11.用数字归纳法证1+x+x2+xn+1=(x1),在验证n=1成立时,左边所得的代数式是A.1 B.1+x C.1+x+x2 D.1+x+x2+x312.用数字归纳法证明1+2+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+413.用数学归纳法证明当n是非负数时,34n+2+52n+1能被14整除的第二步中,为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形为A.34k+281+52k+125 B.34k+1243+
5、52k125 C.25(34k+2+52k+1)+5634k+2 D.34k+49+52k+2514.用数学归纳法证明+= (nN)时,从n=k到n=k+1,等式左边需增添的项是A. B. C. D. 15.利用数学归纳法证明不等式,(n2,nN)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项16.用数学归纳法证明5n-2n能被3整除的第二步中，n=k1时，为了使用假设，应将5k+1-2k+1变形为A.(5k-2k)45k-2k B.5(5k-2k)32k C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-35k17.平面内原有k条直线,它们的交
6、点个数记为f(k),则增加一条直线后,它们的交点个数最多为A.f(k)+1 B.f(k)+k C.f(k)+k+1 D.kf(k)18.已知一个命题P(k),k=2n(nN),若n=1,2,1000时,P(k)成立,且当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是A.P(k)对k=2004成立 B.P(k)对每一个自然数k成立C.P(k)对每一个正偶数k成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立19.用数学归纳法证明:,从k到k+1需在不等式两边加上A. B. C. D. 20.设,则f(2k)变形到f(2k+1)需增添项数为A.2k+1项 B.2k项 C.2项 D.1项21.欲用数学归纳法证
7、明：对于足够大的自然数n，总有2nn3,n0为验证的第一个值，则A.n0=1 B.n0为大于1小于10的某个整数 C.n010 D.n0=222.某同学回答用数字归纳法证明n+1(nN)的过程如下：证明：(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设n=k时有3)条直线,其中有k-1条直线互相平行,剩下一条与它们不平行,则这k条直线将平面分成区域的个数为A.k个 B.k+2个 C.2k个 D.2k+2个24.已知凸k边形的对角线条数为f(k)(k3)，则凸k1边形的对角线条数为A.f(k)k B.f(k)k1 C.f(k)k-1 D.f(k)k-225.平面内原有k条直线，它们将平面分成f(k
8、)个区域，则增加第k1条直线后，这k1条直线将平面分成的区域最多会增加A.k个 B.k1个 C.f(k)个 D.f(k)1个26.同一平面内有n个圆,其中每两个圆都有两个不同交点,并且三个圆不过同一点,则这n个圆把平面分成A.2n部分 B.n2部分 C.2n2部分 D.n2n2部分27.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，这n个圆把平面分成f(n)个部分，则满足上述条件的n1个圆把平面分成的部分f(n1)与f(n)的关系是A.f(n1)=f(n)n B.f(n1)=f(n)2n C.f(n1)=f(n)n1 D.f(n1)=f(n)n228.用数学归纳法证明
9、不等式成立时，应取的第一个值为A.1 B.3 C.4 D.529.若，则等于A. B.C. D.30.设凸n边形的内角和为f (n)，则f (n+1) - f (n) 等于A. B. C. D.31.用数学归纳法证明不等式成立,则n的第一个值应取A.7 B.8 C.9 D.1032.等于A. B. C. D.33.已知ab是不相等的正数,若,则b的取值范围是A.0b2 B.0b234.利用数学归纳法证明对任意偶数n,an-bn能被a+b整除时,其第二步论证,应该是A.假设n=k时命题成立,再证n=k+1时命题也成立B.假设n=2k时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立C.假设n=k时命题成立
10、,再证n=k+2时命题也成立D.假设n=2k时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立35.用数学归纳法证明42n-1+3n+1(nN)能被13整除的第二步中,当n=k+1时为了使用假设,对42k+1+3k+2变形正确的是A.16(42k-1+3k+1)-133k+1 B.442k+93kC.(42k-1+3k+1)+1542k-1+23k+1 D.3(42k-1+3k+1)-1342k-136.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN)时,从两边同乘以一个代数式,它是A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) C. D. 37.用数学归纳法证明某命题时,左
11、式为+cos+cos3+cos(2n-1)(k,kZ,nN),在验证n=1时,左边所得的代数式为A. B. +cos C. +cos+cos 3 D. +cos+cos 3+cos 538.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)时,第二步n=k+1时的左边应是n=k时的左边乘以A.(k+1+k+1) B.(k+1+k)(k+1+k+1) C. D. 39.设Sk=+,则Sk+1为A. B. C. D. 40.用数字归纳法证明某命题时,左式为1-+,从n=k到n=k+1,应将左边加上A. B. C. D.41.用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除
12、时,第二步应是A.假设n=k(kN)时命题成立,推得n=k+1时命题成立B.假设n=2k+1(kN)时命题成立,推得n=2k+3时命题成立C.假设k=2k-1(kN)时命题成立,推得n=2k+1时命题成立D.假设nk(k1,kN)时命题成立,推得n=k+2时命题成立42.设p(k):1+ (kN),则p(k+1)为A. B. C. D.上述均不正确43.k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱有对角面的个数为A.2f(k) B.k1f(k) C.f(k)k D.f(k)244.已知，则等于A. B.C. D.45.用数学归纳法证明，在验证n=1等式成立时，左边计算所得的项是A. B. C. D.4
13、6.用数学归纳法证明某不等式，其中证时不等式成立的关键一步是：，括号中应填的式子是A. B. C. D.47.对于不等式，某人的证明过程如下：当时，不等式成立。假设时不等式成立，即，则时，。当时，不等式成立。上述证法A.过程全都正确 B.验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从到的推理不正确48.某个命题与自然数n有关,如果当n=k(kN)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立49.利用数学归纳法证明不等式时,由假设n=k时命题成立到当n=
14、k+1时,正确的步骤是A. B. C. D. 二、填空题(共9题，题分合计36分)1.用数学归纳法证明:当nN,1+2+22+23+25n-1是31倍数时,当n=1时,原式为_.从n=k到n=k+1时需增添的项是_.2.用数学归纳法证明1 n(n1)，在验证n2成立时，左式是_.3.不等式 中，当nknk1时，不等式左边增加的项是_，少掉的项是_. 4.平面上原有k个圆，它们的交点个数记为f(k)，则增加第k1个圆后，交点个数最多增加_个. 5.用数学归纳法证明，从到一步时，等式两边应增添的式子是_.6.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,nN+)时,假设n=k时不等式(*)成立,再推证n=k
15、+1时不等式也成立的关键是将(*)式_.7.用数学归纳法证明能被14整除时，当时，对于应变形为_.8.用数学归纳法证明时，第一步验证为_.9.用数学归纳法证明时，当时，应证明的等式为_.三、解答题(共36题，题分合计362分)1.已知数列an的前n项和为Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且满足a1=1，3Sn=(n+2)an对一切自然数n都成立?试证明你的结论.2.平面上有几个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆都不相交于同一点,求证这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2个部分.3.设an是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并对一切自然数n有, (1)写出数列前3项;(2
16、)求数列an的通项公式(予以证明).4.已知数列计算S1 、S2、S3由此推测Sn 的公式，然后用数学归纳法证明.5.求最大的正整数m,使得f(n)=(2n+7)3n+9对任意的正整数n,都能被m整除,并证明你的结论.6.当nN时,Sn=1-+-+-,Tn=+.对于相同的n,试比较Sn与Tn的大小关系,并证明你的结论.7.已知函数f(n)=-2+2(n4)(1)试求反函数f-1(n),并指出其定义域;(2)如果数列an(an0)中a1=2,前n项和为Sn(nN)且Sn=f-1(Sn-1),求an的通项公式;(3)求的值.8.已知数列an的前n项和为Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn
17、+c,且满足a1=1，3Sn=(n+2)an对一切自然数n都成立?试证明你的结论.9.已知:x-1且x0,nN,n2求证:(1+x)n1+nx.10.求证:二项式x2n-y2n(nN)能被x+y整除.11.是否存在常数a，b使等式1n+2(n-1)+3(n-2)+(n-2)3+(n-1)2+n1=n(n+a)(n+b)对一切自然数N都成立，并证明你的结论.12.已知x10,x11,且xn+1=(n=1,2,3).试证:数列xn或者对任意的自然数n都满足xnxn+1,或者对任意的自然数n都满足xn+1x.13.是否存在常数abc,使得等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切
18、自然数n成立?并证明你的结论.14.证明不等式:1+(nN).15.平面上有n条直线,其中无两条平行也无三条共点求证:这n条直线(1)彼此分成n2段;(2)把平面分成个部分.16.用数归纳法证明(3n+1)7n-1是9的倍数 (nN).17.用数学归纳法证明(x+3)n-1能被（x+2）整除.18.用数学归纳法证明：1232 nn(2n1)( nN) .19.下列所给条件，写出数列an的前四项，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.已知a1=1，Sn= n2an (n2).20.下列所给条件，写出数列an的前四项，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.已知a1=1，且an、an+1、2a1成等
19、差数列.21.对于任意自然数n，n3+11n能被6整除.22.已知数列bn是等差数列,(1)求数列bn的通项.(2)设数列an的通项(其中)记Sn是数列an的前n项和,试比较Sn与的大小,并证明你的理论.23.用数学归纳法证明已知：24.25.设,是否存在关于n的整式g(n)使对大于1的一切正整数n都成立?并证明你的结论.26.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,(1)设这n条直线互相分割成f (n) 条线段或射线,猜想f (n) 的表达式并给以证明.(2)求证:这n条直线把平面分成个区域.27.数列an中,设.(1)试求出的值;(2)猜想出,并用数学归纳法证明.28.是否存
20、在常数a、b、c使等式对一切自然数n都成立，并证明结论29.在各项都为正数的数列an中，其前n项和为Sn，且( nN)，试由a1，a2，a3的值推测an的计算公式，并证明之.30.已知f(x)=2x+b，f1 (x)= f f(x)，fn (x)= fn-1 f(x) (nN，n2)，试求ab，x表示的f1 (x)，f2 (x)，f3 (x)的式子，并推测fn (x)以b，x，n表示的式子，证明你的结论31.设函数 , 若数列满足,求证：当32.用数学归纳法证明(nN)33.用数学归纳法证明|sinn|n|sin|.34.试比较An与Bn的大小，并说明理由.35.已知等差数列an的第2项为8,
21、前10项的和为185.(1)求数列an的通项公式.(2)若从数列an中依次取出第2项,第4项,第8项,.,第2n项,.按原来顺序排成一个新的数列,求此数列的前n项和Sn.(3)设Tn= n(an +9),试比较Sn与Tn的大小,并说明理由.36.数列an的通项公式an=,f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)(1-an).(1)求f(1),f(2),f(3),f(4),并猜想f(n)的表达式;(2)用数字归纳法证明你的结论.数学归纳法及其应用举例答案一、选择题(共49题，合计245分)1. C 2. C 3. C 4. D 5. C 6. B 7. B 8. C 9.B 10.C 11
22、.C 12.C13.C 14.C 15.D 16.B 17. B 18.D 19.C 20.B 21.C 22.D 23.C 24.C25.B 26.D 27.B 28.D 29.D 30.C 31.B 32.B 33. B 34.D 35.A 36.D37.B 38. D 39.C 40.D 41.C 42.C 43. B 44. C 45. B 46.C 47.D48. C 49.D二、填空题(共9题，合计36分)1. 1+2+22+23+242. 3. 4. 2k5. 6.两边同时乘以7. 8.当时，左边， 右边 不等式成立9. 三、解答题(共36题，合计362分)1.见注释2.见注释3
23、.见注释4.见注释5. m=366.相等7. (1) (2) (3)18.见注释9.见注释10见注释11.见注释12.见注释13.见注释14.见注释15.见注释16.见注释17.见注释18.见注释19. 20.21.见注释22.见注释23.见注释24.见注释25.见注释26.见注释27.见注释28.令n=1，n=2，n=3，列方程组求得a=3，b=11，c=10再用数学归纳法证明.29.a1=1，a2=，a3=，推测并用数学归纳法证明.30. f1 (x)=22 x+(2+1) b，f2 (x)=23 x+(22+2+1) b，f3 (x)=24 x+(23+22+2+1) b，推测fn (x)= 2n+1 x+(2n+2n-1+2+1) b31.见注释32.见注释33.见注释34.见注释35.见注释36. (1)f(1)=,f(2)=,f(3)=,f(4)=,故猜想f(n)=w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
