1、向量的数量积【考点导读】1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义.2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律.3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式.4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.【基础练习】1.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么2.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，则的可能值个数为2个3.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的垂心（填重心、垂心、外心、内心）。4. 若,，与的夹角为，若，则的值为5.若，且，则向量与的夹角为 120【范例导析】例1、 已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角的余弦值。分析:利用及求解.解：由题意
2、，且与的夹角为，所以，同理可得 而，设为与的夹角，则 点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。例2.已知平面上三个向量、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120，（1）求证：；（2）若，求的取值范围.分析:问题（1）通过证明证明,问题（2）可以利用解：（1） ，且、之间的夹角均为120， （2） ，即 也就是 ， 所以 或解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.例3.如图，在直角ABC中，已知，若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得,再结合直角三角形和各线段长度特征法解
3、决问题解：例3 点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算.例4.平面上有以O为圆心，以1为半径的圆，圆上有三点A,B,C,向量满足等式,这里.（1） 若证明：；（2） 若证明：为正三角形.分析:对于问题（1）,抓住所证结论的特征,可将题目所给表达式两边同平方证得, 对于问题（2）,由于是有关三角形形状的问题可以结合余弦定理解决.解：（1）由两边平方得=,又,（3） 由（1）知，而，=3,同理可得，,即AB=BC=CA,为正三角形.点拨:要注意平面向量与三
4、角、平几、解几等知识的综合运用，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。反馈练习：1.已知下列命题中：（1）若，且，则或，（2）若，则或（3）若不平行的两个非零向量，满足，则（4）若与平行，则,其中真命题的个数是2.已知向量满足则与的夹角为 3.在直角中，是斜边上的高，有下列结论：（1）；（2） ；（3）；（4） ，则其中不成立的是（3）第4题4.如图，在四边形ABCD中，则的值为45.已知向量，对任意tR，恒有，则06.若向量满足,的夹角为60，则=7.若向量,则8.已知向量的夹角为，,则6 9.在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_-2
5、_。10.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求： ab ；(2ab) (a+3b)解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2，（2）（2ab）（a+3b）=2a2+5ab3b2=2|a|2+5ab3|b|2=242+5（10）352=93. 11.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.解：且a+3b与7a-5b垂直，a4b与7a2b垂直，（a+3b）（7a-5b）=0，（a4b）（7a2b）=07a216 ab15 b2=0，7a230 ab8 b2=0，b2=2 ab，|a|=|b| 1
6、2.四边形ABCD中,= a, = b,= c, = d,且ab=bc=cd=d a，判断四边形ABCD是什么图形？分析：在四边形ABCD中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件，对a+b=（c+d），两边平方后，用ab=bc=dc代入，从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状.解：a+b+c+d=0，a+b=（c+d），（a+b）2=（c+d）2，即|a|2+2ab+|b|2=|c|2+2cd+|d|2，ab=cd，|a|2+|b|2=|c|2+|d|2同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2，两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2，即|b|=|d|，|a|=|c|. ABCD为平行四边形. 又ab=bc，即b（ac）=0，而a=c，b（2a）=0 ab，四边形ABCD为矩形. 高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )