1、第五章数列第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲考情分析1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1.以选择题、填空题的形式考查平面区域问题，常常与图形面积、函数图象、曲线与方程、几何概型等问题联系在一起命题2二元一次不等式(组)表示的平面区域，求线性目标函数的最值是高考命题的热点，难度中等偏下，主要考查可行域的画法、目标函数最值的求法、由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及数形结合的思想.课时作业01知识梳理 诊断自测02考点探究 明晰规律01
2、知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知识点一 二元一次不等式表示的平面区域1一般地，二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧所有点组成的我们把直线画成虚线以表示区域边界直线当我们在坐标系中画不等式 AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应边界直线，则把边界直线画成平面区域不包括包括实线2由于对直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 AxByC，所得的符号都，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0By0C 的即可判断 AxByC0 表示的是直线 AxByC0 哪一侧的平面区域相同符号知识
3、点二 简单的线性规划1线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量 x，y 组成的线性约束条件由 x，y 的不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于 x，y 的函数，如 z2x3y 等线性目标函数关于 x，y 的解析式不等式(组)一次解析式一次可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的或问题(x，y)集合最大值最小值最大值最小值2.求二元一次函数 zaxby(ab0)的最值的方法将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值(1)当 b0 时，截距zb取最大
4、值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值；(2)当 b0 表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的上方()(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()解析：(1)当 B0 表示的平面区域在直线 AxByC0 的下方(2)当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时，就无法表示平面上的一个区域(3)当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时，最优解无穷多2小题热身(1)不等式组x3y60，xy20表示的平面区域是()B解析：x3y60 表示直线 x3y60 及其右下方部分，xy20，且不等式组yx2，ykx1，y
5、0所表示的平面区域如图所示直线 ykx1 与 x 轴的交点为1k，0，直线 ykx1 与直线 yx2 的交点为3k1，2k1k1，三角形的面积为1221k 2k1k1 14，解得 k1 或 k27，经检验，k27不符合题意，k1.考点二 线性规划中的最值问题命题方向 1 求线性目标函数的最值【例 2】(2019北京卷)若 x，y 满足|x|1y，且 y1，则 3xy 的最大值为()A7 B1C5 D7C【解析】令 z3xy，画出约束条件|x|1y，y1，即x1y，x0，y1或x1y，x0，y1表 示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线 y3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点 C(
6、2，1)时，z3xy 取得最大值，zmax3215.故选 C.命题方向 2 非线性目标函数的最值【例 3】(1)若 x，y 满足约束条件xy20，2y10，x10，则 zx22xy2 的最小值为()A.12B.14C12D34D(2)实数 x，y 满足不等式组xy20，2xy50，xy40，则 z|x2y4|的最大值为_21【解析】(1)画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，zx22xy2(x1)2y21，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(1,0)的距离的平方再减去 1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(1,0)的距离的最小值为12，故 zx22xy2 的最小值为 zmi
7、n14134，故选 D.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z|x2y4|x2y4|5 5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x2y40 的距离的 5倍由xy20，2xy50，得 B 点坐标为(7,9)，显然点 B 到直线 x2y40 的距离最大，此时 zmax21.方法技巧1(方向 1)(2020郑州预测)设变量 x，y 满足约束条件y2，xy1，xy1则目标函数 z133xy的最大值为()A.1311B.133C3 D4C解析：可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z133xy，设 u3xy，欲求 z133xy的最大值，等价于求 u3xy 的最小值u3xy 可化为 y3xu，
8、该直线的纵截距为 u，作出直线 y3x 并平移，当直线 y3xu 经过点 B(1,2)时，纵截距 u 取得最小值 umin3(1)21，所以 z133xy的最大值 zmax1313.故选 C.2(方向 2)(2020洛阳统考)如果点 P(x，y)满足2xy20，x2y10，xy20点Q 在曲线 x2(y2)21 上，则|PQ|的取值范围是()A 51，101 B 51，101C 101,5 D 51,5D解析：作出点 P 满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点 Q 所在圆的圆心为 M(0，2)，所以|PM|取得最小值的最优解为(1,0)，取得最大值的最优解为(0,2)，
9、所以|PM|的最小值为 5，最大值为 4，又圆 M 的半径为 1，所以|PQ|的取值范围是 51,5，故选 D.3(方向 2)(2020江西八校联考)已知实数 x，y 满足 xy10，xy10，x3则 zxy4x1 的最小值是()A.14B2C.54D2C解析：作出不等式组xy10，xy10，x3表示的平面区域如图中阴影部分所示目标函数 zxy4x1 1y3x1，其中y3x1表示点 P(1，3)和点(x，y)的连线的斜率结合图象得目标函数 z1y3x1在点 A 处取得最小值，由xy10，x3得x3，y2，即 A(3，2)，所以目标函数 z 的最小值为 12331 54，故选C.考点三 线性规划
10、的实际应用【例 4】某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品 1 件需消耗 A原料 1 千克，B 原料 2 千克；生产乙产品 1 件需消耗 A 原料 2 千克，B原料 1 千克；每件甲产品的利润是 300 元，每件乙产品的利润是 400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A，B 原料都不超过 12 千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800 元B2 400 元C2 800 元D3 100 元C【解析】设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件，依题意有 x2y12，2xy12，x，yN，目标函数 z300 x400y，作出x2y12，2xy
11、12的可行域，其中 A(0,6)，B(4,4)，C(6,0)，如图所示由 z300 x400y 得 y34x z400，由图可知，目标函数在点 B(4,4)取得最大值，最大值为 2 800.所以公司共可获得的最大利润是 2 800元故选 C.方法技巧求解线性规划应用题的三个注意点1明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号.2注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数 x，y 的取值范围，特别注意分析 x，y 是否为整数、是否为非负数等.3正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.某蔬菜收购点租用车辆，将 100 吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别
12、为 10 辆和 20 辆若每辆卡车载重 8 吨，运费960 元，每辆农用车载重 2.5 吨，运费 360 元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为()A11 280 元B12 480 元C10 280 元D11 480 元B解析：设租用的卡车和农用车分别为 x 辆和 y 辆，运完全部黄瓜支出的运费为 z 元，则0 x10，0y20，8x2.5y100，xN，yN，目标函数 z960 x360y.如图所示，不等式组表示的平面区域是ABC 内横坐标和纵坐标均为整数的点，其中 A(10,8)，B(10,20)，C(6.25,20)当直线l：z960 x360y 经过点 A(10,8)时，运费最低，且最低运费为 zmin96010360812 480(元)，故选 B.温示提馨请 做：课时作业 40PPT文稿（点击进入）
