1、第三章单元质量评估(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1对于空间向量，有以下命题：单位向量的模为1，但方向不确定；如果一个向量和它的相反向量相等，那么该向量的模为0；若ab，bc，则ac；若六面体ABCDABCD为平行六面体，则.其中真命题的个数为(C)A1B2C3D4解析：为真命题，模为1的向量叫单位向量，其方向不唯一；为真命题，相反向量的模相等且方向相反，所以如果一个向量和它的相反向量相等，那么该向量为零向量，模为0；为假命题，当b为零向量时，不符合；为真命题，与方向相同且大小相等，所以是相等向量2已知空间四边形ABCD
2、中，G为CD的中点，则()等于(A)A. B.C. D.3在四面体OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，(A)A0 B.C D.解析：本题主要考查异面直线垂直的判断方法以及向量数量积的运算.()|cos60|cos600，故选A.4已知a(2，1,3)，b(4,2，x)，c(1，x,2)，若(ab)c，则x等于(B)A4 B4C. D65已知空间三点A(1,0,3)，B(1,1,4)，C(2，1,3)若，且|，则点P的坐标为(C)A(4，2,2) B(2,2,4)C(4，2,2)或(2,2,4) D(4,2，2)或(2，2,4)解析：，可设.易知(3，2，1)，则(3，2，)又|，解得
3、1.(3，2，1)或(3,2,1)设点P的坐标为(x，y，z)，则(x1，y，z3)，或解得或故点P的坐标为(4，2,2)或(2,2,4)6已知ABC的三个顶点A(3,3,2)，B(4，3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线AD的长为(B)A2 B3C. D.解析：BC的中点D的坐标为(2,1,4)，(1，2,2)，|3.7在直角坐标系xOy中，设A(2,2)，B(2，3)，沿y轴把坐标平面折成120的二面角后，AB的长是(A)A. B6C3 D.解析：过A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|2，|2，|5，60，所以2()222224254222cos6037.|.故选A.8已知空
4、间三点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BHOA，则点H的坐标为(C)A(2,2,0) B(2，2,0)C. D.解析：由(1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(，0)，则(，1，1)又BHOA，0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，H，故选C.9已知O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若()(2)0，则ABC是(B)A以AB为底边的等腰三角形 B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形 D以BC为斜边的直角三角形解析：()(2)0()0，则ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选B.10直三棱柱ABCA1B1C
5、1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成角为(C)A30 B45C60 D90解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AB1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(0,1,1)cos，.，60，即异面直线BA1与AC1所成角为60.11.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为(B)A B.C D.解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)所以(2，2,0)，(0,0,2)，(2
6、,0,1)设平面B1BD的法向量为n(x，y，z)因为n，n，所以所以令y1，则n(1,1,0)所以cosn，设直线BE与平面B1BD所成角为，则sin|cosn，|.故选B.12如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GDEF，则线段DF的长度的取值范围为(A)A. B.C. D，解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E，G，设D(x,0,0)，F(0，y,0)，0x1,0y1.GDEF，0，0，即2xy10，|，0x1,0y1，由y12x得0x，当x
7、时，线段DF的长度最小，最小值是，当x0时，|1，又0x，x0不能取到，即DF的长度不能等于1.故线段DF的长度的取值范围是.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13已知向量a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值分别是，.解析：ab，存在实数k，使得akb，即(1,0,2)k(6,21,2)，解得k，.14已知平面的一个法向量为(1,0，1)，平面的一个法向量为(0，1,1)，则平面与平面夹角的大小为.(平面夹角的范围为)解析：设n1(1,0，1)，n2(0，1,1)，则cosn1，n2，n1，n2.因为平面与平面的夹角与n1，n2相等或
8、互补，所以平面与平面的夹角的大小为.15已知半径为1的球O内切于正四面体ABCD，线段MN是球O的一条动直径(M，N是直径的两端点)，点P是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则的取值范围是12，4解析：设正四面体的边长为a，O为球心，连接AO并延长，交平面BCD于点E，则AEa，BEa，OEa，AOa.因为内切球的半径为1，所以a1，解得a2，所以AE4，AO3.易得|cos(ABD)(2)2cos12.由M，N是直径的两端点，可得0，1，又()()2()21|21.所以|213.易知|1,3，所以的取值范围是12，416.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰
9、三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AEa或2a.解析：建立如图所示的坐标系，则B1(0,0,3a)，D，C(0，a,0)设E(a,0，z)(0z3a)，则(a，a，z)，(a,0，z3a)由题意得2a2z23az0，解得za或2a.故AEa或2a.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)如图所示，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60，N是CM的中点，设a，b，c，试用a，b，c表示出向量，并求BN的长解：()()，abc
10、.|222(a2b2c22ab2ac2bc)，|，即BN的长为.18(12分)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABAC2，AA14，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解：(1)以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)，(2,0，4)，(1，1，4)，cos，异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)易知(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量
11、，设平面ADC1的法向量为n(x，y，z)，(1,1,0)，AC1(0,2,4)，即取x2，则n(2，2,1)设平面ADC1与平面ABA1所成二面角为，则|cos|cos，n|，sin，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.19(12分)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值解：(1)证明：由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF，垂足为H.由(1)得，
12、PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，故PEPF.可得PH，EH.则H(0,0,0)，P，D，为平面ABFD的法向量设DP与平面ABFD所成角为，则sin.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.20(12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值解：(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为
13、BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，M(0,1,1)，(2,1,1)，(0,2,0)，(2,0,0)设n(x，y，z)是平面MAB的法向量，则，即，所以可取n(1,0,2)是平面MCD的法向量，因此cosn，sinn，.所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.2
14、1(12分)如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M为所求的一个点理由如下：由已知，BCED，且BCED.所以四边形BCDE是平行四边形从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)由已知
15、，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角所以PDA45.由PAAB，可得PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2)，设平面PCE的法向量为n(x，y，z)，则，即，取x2，则n(2，2,1)设直线PA与平面PCE所成的角为，则sin.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.22(12分)如图，在三
16、棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.(1)求证：MN平面BDE；(2)求二面角CEMN的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长解：(1)证明：如图，以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则，即不妨设z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.(2)易知n1(1,0,0)为平面CEM的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面EMN的法向量，则.因为(0，2，1)，(1,2，1)，所以.不妨设y11，可得n2(4,1，2)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以二面角CEMN的正弦值为.(3)依题意，设AHh(0h4)，则H(0,0，h)，进而可得(1，2，h)，(2,2,2)由已知，得|cos，|，整理得10h221h80，解得h或.所以线段AH的长为或.
