1、第三章单元质量评估(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1在长方体ABCDA1B1C1D1中，等于(A)A.B.C.D.2已知a3i2jk，bij2k，则5a与3b的数量积等于(A)A15 B5C3 D13已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于(D)A. B9C. D.解析：本题考查向量共面a，b，c三向量共面，存在实数m，n，使得cmanb，即，.故选D.4在三棱柱ABCA1B1C1中，D，F分别是CC1，A1B的中点，且，则(A)A，1 B，1C1， D1，解析：本题主要
2、考查空间向量基本定理如图，取AB中点E，连接EF，CE，则EF綊CC1.又D为C1C的中点，则EF綊DC，四边形DCEF为平行四边形，则，因此，1，故选A.5如图，在正四棱锥PABCD中，已知a，b，c，则(A)A.abc B.abcCabc Dabc解析：本题主要考查空间向量基本定理如图，连接AC，BD，交点为O，再连接PO，则ac.又b，所以acb，故acb，从而abc，故选A.6如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M在AC上，且AMMC，N在A1D上，且A1N2ND.设a，b，c，则(A)Aabc BabcC.abc Dabc解析：因为M在AC上，且AMMC，N在A1D上，且A
3、1N2ND，所以，.又ABCDA1B1C1D1为平行六面体，且a，b，c，所以ab，bc，所以(ab)c(bc)abc.7将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，则下列结论错误的是(C)AACBD BACD是等边三角形CAB与平面BCD所成的角为90 DAB与CD所成的角为60解析：如图，取BD的中点O，连接AO，CO，AC，则AOBD，COBD.又AOCOO，BD平面AOC，又AC平面AOC，ACBD，A中结论正确；ACAOADCD，ACD是等边三角形，B中结论正确；AO平面BCD，ABD是AB与平面BCD所成的角，为45，C中结论错误；，不妨设AB1，则2()2222222，11
4、21222cos，cos，60，即AB与CD所成的角为60，D中结论正确故选C.8.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，且A1MANa，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(B)A斜交 B平行C垂直 D不能确定解析：设a，b，c.由题意，知A1BACa.又A1MANa，(ab)，(bc)，则a(bc)(ab)ac，因此，与，共面，MN平面AA1D1D，从而MN平面BB1C1C.9.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2，D为AA1上一点若二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为(A)A. B.C2 D.解析：本题
5、考查空间向量在立体几何中的应用如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，B1(0,2,2)设ADa，则点D的坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)设平面B1CD的一个法向量为m(x，y，z)，则令z1，得m(a,1，1)又平面C1DC的一个法向量为(0,1,0)，记为n，则由cos60，得，即a，故AD.故选A.10设P是60的二面角l内一点，PA，PB，A，B是垂足，PA4，PB2，则AB的长度为(D)A2 B2C2 D2解析：本题主要考查空间向量的模的求解方法，考查空间向量的数量积运算由已知，得，120，|
6、2|2|2|22|cos，28，则|2，故选D.11三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱长等于底面边长，A1在底面的射影是ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于(B)A. B.C. D.解析：如图，设A1在底面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设ABC边长为1，则A，B1，所以.平面ABC的法向量n(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为sin|cos，n|.故选B.12在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PA平面ABC，且PAAB，则二面角APBC的平面角的正切值为(A)A. B.C. D.解析：设PAAB2，建立
7、如图所示的空间直角坐标系则B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)所以(0，2,2)，(，1,0)设n(x，y，z)是平面PBC的一个法向量则即令y1.则x，z1.即n.易知m(1,0,0)是平面PAB的一个法向量则cosm，n.所以正切值tanm，n.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13已知a(3，6，6)，b(1,3,2)为两平行平面的法向量，则2.解析：由题意知ab，所以，解得2.14.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E为底面正方形ABCD的中心，设xy，则xy1.解析：本题主要考查空间向量基本定理.，因而xy，
8、所以xy1.15空间四点A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(3,1,0)，则点D到平面ABC的距离是.解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间点到平面的距离的求法由已知，得(2，2,1)，(4,0,6)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则即令x3，则y2，z2，所以n(3,2，2)，(1，2，1)，所以点D到平面ABC的距离为.16在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PDAB1，G为ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值为.解析：本题主要考查向量法求线面角，考查三角形重心的坐标公式如图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴
9、、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，则重心G，因而(0,0,1)，那么sin|cos，|.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)如图，正方体ABCDABCD中，点E是上底面ABCD的中心，用向量，表示向量，.解：.().18(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG4，AGGD，BGGC，GBGC2，E是BC的中点(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；(2)若F是棱PC上一点，且D
10、FGC，求的值解：(1)以G点为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则G(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,4)，故E(1,1,0)，(1,1,0)，(0,2，4)cos，GE与PC所成角的余弦值为.(2)，D.设F(0，y，z)，则(0，y，z).，0，即(0,2,0)2y30，y.又点F在PC上，即(0,2，4)，z1，故F，3.19(12分)如图，在多面体EFABCD中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ABCD，ADCD，ABAD1，CD2，M，N分别为EC和BD的中点(1)求证：BC平面BDE；(2)求直线MN
11、与平面BMC所成角的正弦值解：(1)证明：如图，在梯形ABCD中，取CD的中点H，连接BH.因为ADAB，ABCD，ADCD，AB1，CD2，所以四边形ADHB为正方形又BD2AD2AB22，BC2HC2HB22，所以CD2BD2BC2，所以BCBD.Z又平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，DEAD，所以DE平面ABCD，所以BCDE.又BDDED，故BC平面BDE.(2)由(1)，知DE平面ABCD，ADCD，所以DE，DA，DC两两垂直以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0,2,0)，B(1,1,0)，M，N，所以(1,1,0)，.设n(x，y，
12、z)为平面BMC的法向量，则，即，可取n(1,1,2)又M，所以cosn，所以直线MN与平面BMC所成角的正弦值为.20(12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SAABBC2，AD1，M是棱SB的中点(1)求证：AM平面SCD；(2)求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；(3)设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求sin的最大值解：(1)证明：以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，M(0,1,1)，(0
13、,1,1)，(1,0，2)，(1，2,0)，设平面SCD的法向量为n(x，y，z)，则，令z1，得n(2，1,1)n0，n，AM平面SCD.(2)易知平面SAB的一个法向量为n1(1,0,0)，设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，易知090，则cos，平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值为.(3)设N(x,2x2,0)(1x2)，则(x,2x3，1)，平面SAB的一个法向量为n1(1,0,0)，sin，当，即x时，sin取得最大值，最大值为.21(12分)如图在直角梯形ABCP中，BCAP，ABBC，CDAP，ADDCPD2，E，F，G分别是线段PC，PD，BC的中点，现将PDC折起
14、，使平面PDC平面ABCD.(如图)(1)求证：AP平面EFG；(2)求二面角GEFD的大小解：(1)证明：因为在图中，APCD，所以在图中PDCD，ADCD，所以ADP是二面角PDCA的平面角，因为平面PDC平面ABCD，所以ADP90，即PDDA，又ADDCD，所以PD平面ABCD.如图以D为坐标原点，直线DA，DC，DP分别为x，y与z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，G(1,2,0)所以(2,0,2)，(0，1,0)，(1,2，1)，设平面GEF的法向量n(x，y，z)，
15、由法向量的定义得不妨设z1，则n(1,0,1)，n2120120，所以n，点P平面EFG，所以AP平面EFG.(2)由(1)知平面GEF的法向量n(1,0,1)，因平面EFD与坐标平面PDC重合，则它的一个法向量为i(1,0,0)，由图形观察二面角GEFD为锐角，设二面角GEFD为，则cos.故二面角GEFD的大小为45.22(12分)如图，在ABC中，C90，ACBCa，点P在AB上，PEBC交AC于点E，PFAC交BC于点F.沿PE将APE翻折成APE，使平面APE平面 FCEP，沿PF将BPF翻折成BPF，使平面BPF平面FCEP.(1)求证：BC平面APE；(2)设，当为何值时，二面角CABP的大小为60？解：(1)证明：因为FCPE，FC平面APE，所以FC平面AEP.因为平面APE平面FCEP，且AEPE，所以AE平面FCEP.同理，BF平面FCEP，所以BFAE，从而BF平面APE.又FCBFF，所以平面BCF平面APE，从而BC平面APE.(2)以点C为坐标原点，CF所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，过C且垂直于平面FCEP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则C(0,0,0)，A，B，P，平面CAB的一个法向量为m，平面PAB的一个法向量为n(1,1,1)由cos60，化简得2890，解得.
