1、4.2.2 等差数列的前n项和公式第1课时 等差数列的前n项和新课程标准学业水平要求1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系2能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题1.借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程(数学运算)2借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的关系(数学运算)3掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用(数学运算)4能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题(数学运算、数学建模)必备知识自主学习1.等差数列的前n项和公式导思1.什么是等差数列的前n项和公式？2怎样推导等差数列的前n项和公
2、式？已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn_Sn _1nn(aa)21n(n1)nad2在等差数列an中，涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？提示：求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选用公式Snn（a1an）2；若已知首项、公差和项数，则选用公式Snna1n（n1）2d.2等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将等差数列前n项和公式Snna1n（n1）2d整理成
3、关于n的函数可得Snd2 n2a1d2 n.等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗？提示：不一定，当公差d0时，前n项和是n的二次函数，当公差d0时，前n项和是n的一次函数【基础小测】1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和()(2)数列n2可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和()(3)若数列an的前n项和为Snn22n1，则数列an一定不是等差数列()(4)在等差数列an中，当项数为偶数2n时，S偶S奇an1()提示：(1)不管公差是不是零，都可应用公式求和(2)因为数列n2不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式求和(3)等差数
4、列的前n项和是关于n的缺常数项的二次函数，Snn22n1中有常数项，故不是等差数列(4)当项数为偶数2n时，S偶S奇nd.2已知等差数列an的首项a11，公差d2，则前10项和S10()A20 B40 C60 D80【解析】选D.由等差数列前n项和公式得，S1010112 109(2)80.3已知等差数列an中，a12，a178，则S17()A.85 B170 C75 D150【解析】选A.S1712 17(28)85.4已知等差数列an中，a11，S864，则d_【解析】S88112 87d64，解得d2.答案：2关键能力合作学习类型一 等差数列前n项和的计算(数学运算)1已知a132，d1
5、2，Sn15，求n和a12.【解析】因为Snn32 n（n1）212 15，整理得n27n600.解得n12或n5(舍去).所以a1232(121)12 4.2已知a11，an512，Sn1 022，求公差d.【解析】由Snn（a1an）2n（1512）21 022，解得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.3已知a16，a3a50，求S6.【解析】由a3a52a40，得a40，a4a13d6，d2.故S66a115d6615(2)6.等差数列中基本量计算的两个技巧(1)利用基本量求值等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式
6、列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)利用等差数列的性质解题等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq，常与求和公式Snn（a1an）2结合使用【补偿训练】1.(2021青岛高二检测)等差数列 an的前n项和为Sn，若a148，S99，则S18()A162 B1 C3 D81【解析】选D.设等差数列 an的公差为d，因为a148，S99，所以a113d89a136d9，化简得a113d8，a14d1，所以a1199，d79，所以S1818a1153d81.2已知等差数列an满足a11，am99，d2，则其前m项和Sm等于
7、_【解析】由ama1(m1)d，得991(m1)2，解得m50，所以S505015049222 500.答案：2 5003(1)已知a156，a1532，Sn5，求d和n；(2)已知a14，S8172，求a8和d.【解析】(1)因为a1556(151)d32，所以d16.又Snna1n（n1）2d5，所以56 nn（n1）216 5，解得n15或n4(舍).(2)由已知，得S88（a1a8）28（4a8）2172，解得a839，又因为a84(81)d39，所以d5.类型二 等差数列前n项和的性质(数学运算)【典例】在等差数列an中(1)若a42，求S7；(2)若S53，S107，求S15；(3
8、)若S10100，S10010，求S110.四步内容理解题意条件：a4，S5，S10，S100结论：S7，S15，S110思路探求(1)利用a1a72a4；(2)根据S5，S10S5，S15S10成等差数列求S15；(3)根据所给条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d可得S110，也可利用S10，S20S10，S30S20，S110S100成等差数列求解，也可以设Sn的关系式，利用方程组求解书写表达(1)S712 7(a1a7)12 72a47a47214.(2)数列S5，S10S5，S15S10成等差数列，即3，73，S157成等差数列，所以2(73)3S157，解得S1512.(3)方
9、法一：设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则Snna1n（n1）2d.由已知得1110 910ad 100,2100 99100ad 102，10，整理得d1150，代入得a11 099100.书写表达所以 S110110a11101092d1101 099100110109211501101 09910911100110.故此数列的前 110 项和为110.方法二：数列 S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100 成等差数列，设其公差为 D，前 10 项和 10S101092DS10010，解得D22，书写表达所以S110S100S10(111)D10010(
10、22)120.所以S110120S100110.方法三：因为数列an是等差数列，故其前n项和Sn可设为SnAn2Bn.由S10100，S10010，得100A 10B 10010 000A 100B 10，解得A 11100，B11110，故Sn 11100 n211110 n，故S110 11100 110211110 110110.题后反思等差数列前n项和具有“片段和”性质：Sn，S2nSn，S3nS2n，构成公差为 n2d 的等差数列，在解决单纯的前 n 项和问题时有简化运算的功效等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2kSk，S3kS2k组成公差为k2d的等
11、差数列(2)数列an是等差数列Snan2bn(a，b为常数)数列Snn为等差数列(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d.当项数为偶数2n时，S偶S奇nd，S奇S偶 anan1；当项数为奇数2n1时，S奇S偶an，S奇S偶 nn1.1(2021茂名高二检测)设等差数列an的前n项和为Sn，若S48，S820，则a11a12a13a14()A18 B17 C16 D15【解析】选A.设an的公差为d，则a5a6a7a8S8S412，(a5a6a7a8)S416d，解得d14，a11a12a13a14S440d18.2等差数列an的通项公式是an2n1，其前n项和为Sn，则数列Sn
12、n的前10项和为_【解析】因为an2n1，所以a13，所以Snn（32n1）2n22n，所以Snn n2，所以Snn是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3101092175.答案：753两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn 7n2n3，则a5b5 的值为_【解析】a5b5 2a52b5 9（a1a9）9（b1b9）S9T9 79293 6512.答案：6512类型三 等差数列前n项和的应用(数学运算)角度1 等差数列前n项和的最值【典例】在等差数列an中，a1018，前5项的和S515.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和的最小值，并指出何
13、时取最小值【思路导引】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解【解析】(1)由题意得11a9d 18545ad152，解得a19，d3，所以an3n12.(2)方法一：Snn（a1an）212(3n221n)32 n7221478，所以当n3或4时，前n项的和取得最小值S3S418.方法二：设Sn最小，则nn1a0a0，即 3n 1203(n 1)120，解得3n4，又nN，所以当n3或4时，前n项的和取得最小值S3S418.(变条
14、件)把例题中的条件“S1515”改为“S5125”，其余不变，则数列an的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值【解析】S512 5(a1a5)12 52a35a3125，故a325，a10a37d，即d10，故Sn有最大值，ana3(n3)d28n.设Sn最大，则nn1a0a0，解得27n28，即S27和S28最大，又a127，故S27S28378.求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略(1)将Snna1n（n1）2dd2 n2a1d2 n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决(2)邻项变号法当a10，d0时，满足nn1a0a0，的项数n使Sn取最大值；当a
15、10时，满足nn1a0a0，的项数n使Sn取最小值角度2 等差数列前n项和的实际应用【典例】某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？【思路导引】每月付的款构成等差数列，最后的全部款项是该数列的前n项和【解析】设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则a1501 0001%60(元)，a250(1 00050)1%59.5(元)，a1050(1 000950)1%55.5(元
16、)，即第10个月应付款55.5元由题知，20个月贷款还清由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，所以有S2060（60190.5）2201 105(元)，即全部付清后实际付款1 1051501 255(元).应用等差数列解决实际问题的一般思路1(2021平顶山高二检测)设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A6 B7 C8 D9【解析】选A.设等差数列的公差为d，因为a4a66，所以2a56，所以a53.又因为a111，所以3114d，所以d2.所以Sn11nn（n1）22n212n(n6)236，故当n6时，Sn取得最小值2为了贯彻落
17、实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n(nN*)年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于_(盈利额总收入总成本)【解析】设每年的运营成本为数列an，依题意该数列为等差数列，且a13，d2.所以n年后总运营成本Snn22n，因此，年平均盈利额为：20n（n22n）16nn16n 182n16n 1810，当且仅当n4时等号成立答案：4【补偿训练】在等差数列an中，a125，S17S9，求前n项和Sn的最大值【解析】由S17S9，
18、得251717（171）2d2599（91）2d，解得d2，方法一：Sn25nn（n1）2(2)(n13)2169.由二次函数性质得，当n13时，Sn有最大值169.方法二：因为a1250，d20，由an252（n1）0，an1252n0，得n1312，n1212，即1212 n1312.又nN*，所以当n13时，Sn有最大值169.课堂检测素养达标1已知数列an的通项公式为an23n，则an的前n项和Sn等于()A32 n2n2 B32 n2n2C32 n2n2 D32 n2n2【解析】选A.因为an23n，所以a1231，所以Snn（123n）232 n2n2.2若等差数列an的前5项的和
19、S525，且a23，则a7等于()A12 B13 C14 D15【解析】选B.因为S55a325，所以a35.所以da3a2532，所以a7a25d31013.3在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A765 B763 C665 D663【解析】选C.设符合题意的数所组成的等差数列为an因为a12，d7，2(n1)7100，所以n15，所以符合题意的数共14个，故S1414212 14137665.4若等差数列an的前n项和为SnAn2Bn，则该数列的公差为_【解析】数列an的前n项和为SnAn2Bn，所以当n2时，anSnSn1An2BnA(n1)2B(n1)2AnBA，当n1时满足，所以d2A.答案：2A5设等差数列an的前n项和为Sn，且Sm2，Sm10，Sm23，则m_【解析】因为Sn是等差数列an的前n项和，所以数列Snn是等差数列，所以Smm Sm2m2 2Sm1m1，即2m 3m2 0，解得m4.经检验，m4符合题意答案：4
