1、阶段复习课第二章类型 一平面向量的线性运算向量的线性运算(1)向量的加法平行四边形法则.三角形法则:首尾相接,起点指终点.(2)向量的减法三角形法则:共起点,连终点,指被减.(3)向量的数乘a长度方向长度是向量a的长度的|倍0与a同向=0是0,方向任意0与a反向【典例1】已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足则()ABC.D【解析】选A.依题意得：类型 二向量的共线问题证明共线问题常用的方法(1)向量a，b(a0)共线存在唯一实数,使b=a.(2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线x1y2-x2y1=0.(3)向量a与b共线|ab|=|a|b|.(4)向量a与b共
2、线存在不全为零的实数1,2，使1a+2b=0.【典例2】设两个非零向量a与b不共线，(1)若求证：A,B,D三点共线.(2)试确定实数k，使kab和akb共线【解析】(1)因为所以又所以所以与共线，又与有公共点B，所以A,B,D三点共线.(2)若kab和akb共线，则存在实数使kab=(akb),所以(k-)a=(k-1)b,又因为a与b不共线,所以解得k=1.类型 三平面向量的数量积及模、夹角问题1.平面向量数量积的定义(1)非零向量a与b的数量积(或内积)ab=|a|b|cos，其中是a与b的夹角(2)零向量与任一向量的数量积为02.平面向量数量积的坐标运算设向量a=(x1,y1),b=(
3、x2,y2).则ab=x1x2+y1y2.3.求向量的模(1)由aa=|a|2得|a|=(2)设a=(x,y)，则|a|2=x2+y2或|a|=4.求向量的夹角设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，两向量夹角(0)的余弦cos【典例3】(1)已知向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|则|b|_.(2)已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_【解析】(1)因为|a+b|=所以|a+b|2=13,即(a+b)2=13,|a|2+2ab+|b|2=13.又因为a与b的夹角为120，|a|=3,所以9+23|b|cos 120+|b|2=13，
4、|b|2-3|b|-4=0，解得|b|=4或|b|=-1(舍).答案：4(2)设a与b的夹角为，依题意有(a2b)(ab)a2ab2b272cos 6，所以cos 因为0，所以答案：类型 四平面向量基本定理和平面向量的坐标运算1.平面向量基本定理的应用(1)含义.平面内任意向量都可以用两个不共线的向量线性表示，而且表示方法是唯一的.(2)应用.根据平面向量基本定理中的“唯一性”可以建立方程组求某些参数的值.2.平面向量的坐标运算若a(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2).ab=x1x2+y1y2.若a=(x,y),R,则a=
5、(x,y).【典例4】(1)在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若 ，则()A1 B.C.D.(2)已知平面向量，a=(2,4)，3a+2b=(4,8)，则ab=()A-10 B10 C-20 D20(3)若则【解析】(1)选D.即故(2)选A.因为a=(2,4)，3a+2b=(4,8)，所以2b=(4,8)3a=(4,8)3(2,4)=(2,4),b=(1,2),所以ab=(2,4)(1,2)=2(1)+4(2)=10.(3)因为所以答案：(3,2)类型 五平面向量在几何和物理方面的应用平面向量两个方面的应用(1)物理应用：速度、位移、力、功.(2)平
6、面几何应用：向量几何问题共线向量点共线问题直线与直线平行数乘向量求线段长度之比数量积线段长度 直线与直线的夹角【典例5】已知正方形ABCD，P为对角线AC上任一点，PEAB于点E，PFBC于点F.求证：DPEF.【证明】以A为原点，AB,AD分别为x轴、y轴建立直角坐标系，设正方形边长为1，则由已知，可设(a，a)，并可得(1a,0)，因为(a，a1)(1a，a)(1a)aa(a1)0.所以因此DPEF.类型 六数形结合思想平面向量问题中的数形结合思想向量的几何表示、三角形法则、平行四边形法则使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又让向量具备数的特征.所以，向量融“数”“形”于一体，具
7、有几何形式与代数形式的“双重身份”.因此研究向量问题或用向量解决数学问题时，如果恰到好处地应用数形结合的思想，可以将许多复杂问题简单化，抽象问题直观化.【典例6】在四边形ABCD中，则四边形ABCD的面积是_【解析】因为所以四边形ABCD是平行四边形,如图所示，表示与同向单位向量，表示与同向单位向量，表示与同向单位向量，以为邻边作平行四边形BEGF，则在BEG中所以所以所以BEG是等腰直角三角形,四边形BEGF是正方形，故四边形ABCD是正方形，其面积为答案：2【跟踪训练】1.如图所示，在ABC中，若则等于()【解析】选B.因为所以因为所以所以2.已知向量a(1,0)，b(0,1)，ckab(
8、kR)，dab，如果cd，那么()A.k1且c与d同向B.k1且c与d反向C.k1且c与d同向D.k1且c与d反向【解析】选D.c(k,0)(0,1)(k,1)，d(1,0)(0,1)(1，1)，cdk(1)110，所以k1.所以c(1,1)与d反向.3.(2013德州高一检测)设e是单位向量,则四边形ABCD是()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形【解析】选B.因为所以所以即ABCD，即AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形.又因为所以AB=AD，所以四边形ABCD是菱形.4.(2012重庆高考)设x,yR,向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,4)且ac,bc,则|a+b|=(
9、)A.5 B.10 C.25 D.10【解析】选B.因为ac，所以ac=(x,1)(2,4)=2x4=0，x=2.因为bc，所以1(4)2y=0，y=2,所以a+b=(2,1)+(1,2)=(3,1),所以5.(2013牡丹江高一检测)已知ABC,点H,O为ABC所在平面内的点，且则点O为ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】选B.因为所以所以AHCB.同理由可得BHAC，所以点H是ABC的垂心.因为所以设D为AC的中点，则故所以ODBH或直线OD与BH重合.所以ODAC,点O在线段AC的垂直平分线上.同理可证，点O在线段BC的垂直平分线上，所以点O为ABC的外心.6.设E，F分
10、别是RtABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则【解析】因为E，F分别是BC上的两个三等分点，所以又因为ABAC，所以答案：107.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始，沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2，-1)开始，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1+2e2|，设P，Q在t=0 s时分别在P0，Q0处，当时所需的时间t为_.【解析】因为e1=(1,0),e2=(0,1).所以e1+e2=(1,1),3e1+2e2=(3,2).结合物理学中速度的合成与分解的关系，易知t秒时点P的坐标为(t-1,t+2),点Q的坐标为(3t-2,2t-1),所以=(2t-1,t-3),又=(-1,-3).由可知即2t-1+3t-9=0,解得t=2.故当时，所需时间t为2 s.答案：2秒8.(2013玉溪高一检测)已知e1，e2是平面上的一组基底，若a=e1+e2，b=2e1e2，(1)若a与b共线，求的值.(2)若e1,e2是夹角为60的单位向量，当0时，求ab的最大值.【解析】(1)因为ab，所以存在实数，使得b=a,所以解得(2)因为e1e2=ab=(e1+e2)(2e1-e2)=23在0,+)上是减函数.所以=0时，ab取最大值
